信号与系统的复习题

4.5 系统函数H(s) 4.6 系统的稳定性,4.5 系统函数H(s),4.5.1 H(s)的定义与性质 4.5.2 利用系统函数求解连续时间LTI系统的响应 4.5.3 系统的方框图表示与模拟 4.5.4 系统函数的零、极点与系统特性的关系,4.5.1 H(s)的定义与性质,LTI系统的输入-输出信号之间的关系可由n阶常系数线性微分方 程描述，即设输入 为在 时刻加入的有始信号，且系统为零状态， 则有微分方程两边进行拉普拉斯变换,得到系统的零状态响应,定义系统函数如下：系统函数 定义为系统的零状态响应的象函数 与激励的象函数 之比. H(S)的一般形式是两个的S多项式之比，即,冲激响应h(t)与输入f(t)的卷积为yZS(t)，即由卷积定理,即,若系统的激励为est，系统的零状态响应由时域卷 积，得：表明：若激励信号为指数函数est，则系统的零状态响应仍是相同复频率的指数函数，只是幅度变成H(s).,系统函数有如下性质： H(s)取决于系统的结构与元件参数，它确定了系统在S域的特征； H(s)是一个实系数有理分式，其分子分母多项式的根均为实数或共轭复数； 系统函数为系统冲激响应的拉氏变换。,4.5.2 利用系统函数求解连续时间LTI系统的响应,步骤如下： 计算 ； 求激励 的象函数 ； 求出响应 的象函数 ； 对 求拉氏反变换即得时域响应 。,【例】 图所示为常用的有源系统的等效电路，设 ，试求系统的电压传递函数 当 时，求冲激响应h(t)和阶跃响应g(t) 。 解: 由图可得,联立上述三式求解，并代入参数，可得当 时，得 故 因为 故从积分定理可得故得阶跃响应,【例】 设LTI系统的阶跃响应 ，为使系统的零状态响应 ，问系统的输入信号 应是什么？解: 首先由阶跃响应求冲激响应，即故 又因 所以 求上式反拉普拉斯变换，得,【例】 设有 加到如图所示RC串联电路输入端,求电容上的电压 。,解: 由运算等效电路模型可得所以又因为 则 所以,4.5.3 系统的方框图表示与模拟,子系统的基本联接方式有级联、并联及反馈联接三种。（1）级联 若两个子系统的系统函数分别为 H1(s)和 H2(s) ， 整个系统的系统函数为,（2）并联 当系统由两个子系统并联构成时，图中表示加法器或称 “和点”在X(s)右侧的A点叫做“分点”。则有,（3）反馈当两个子系统反馈联接时:“+”代表正反馈，即输入信号与反馈信号相加；“- ”代表负反馈，即输入信号与反馈信号相减 开环系统：没有反馈通路的系统； 闭环系统：具有反馈通路的系统故有从而得整个系统的系统函数为,模拟：指用一些基本的运算单元相互连接构成一个系统，与所讨论的实际系统具有相同的数学模型,设系统函数令 ，并不失一般性，可将上式改写为故响应 设一中间变量 ，则有,展开上式，得,【例】 已知某连续系统的系统函数试画出该系统的S域模拟框图。 解: 由系统函数定义知由此得,【例】 下图为某线性时不变连续系统的模拟框图。试求 （1）系统函数和冲激响应 ； （2）写出系统的微分方程； （3）若输入 ，求零状态响应,解: （1）假设零状态，画S域模拟框图如图（b）所示。设图（b）左边输入端加法器的输出为X(s),各积分器的输出如图所示。由此可得输出端的加法器输出为即可得,由此得系统函数将系统函数求拉普拉斯反变换即得冲激响应（2）由(1)可得即得系统的微分方程为,（3）当 时，输入的象函数为由系统函数定义可得对上式求拉普拉斯反变换即得系统的零状态响应,4.5.4 系统函数的零、极点与系统特性的关系, 零点与极点的概念 将系统函数H(s)的分子、分母进行因式分解，可得式中 是一常数，是系统函数分子多项式 的根,称为系统函数 的零点。是系统函数分母多项式 的根,称为系统函数 的极点。,系统函数的零、极点分布图: 零点用“”表示，极点用“ ”表示。 若为重零点或极点，则注以 。 实际系统的系统函数必定是复变量的实有理函数，它的零点或 极点一定是实数或成对出现的共轭复数。,例，某系统的系统函数为 ， 将其分子分母多项式进行因式分解，变成的形式零点为： 极点为：,H(s)的 二重极点, 系统零极点分布对系统时域响应特性的影响 1）零、极点分布确定系统的冲激响应的模式 系统函数 与冲激响应 是一拉普拉斯变换对。 单阶极点 极点位于原点处,pi=0,H(s)的形式为1/s(t),冲击响应为阶跃函数.极点位于S平面实轴上,pi=,H(s)的形式为1/(s- )et(t);0,冲击响应为增长指数函数0,冲击响应为衰减指数函数极点位于S平面虚轴上,pi= 0,H(s)的形式为0 /(s2+ 0 2 )sin 0 t(t);冲击响应为等幅振荡,极点位于S平面共轭复数处, (a)极点位于S右半平面，如 冲击响应的模式为增幅振荡.(b)极点位于S左半平面，如 冲击响应的模式为减幅振荡.,多重极点 若极点在坐标原点处： （a）当极点是二重极点时，则 （b）当极点是三重极点时，则 。 位于实轴上的二重极点，则其是t与指数函数的 乘积，如位于虚轴上的二重共轭极点给出幅度线性增长 的振荡,如,结论：(1) 当系统函数的极点位于左半S平面时，系统单位冲激响应满足 ； (2) 若系统函数的极点落在j轴上，当极点为单极点时，系统单位冲激响应的模式是等幅振荡或直流；若为重极点时，h(t)为增幅响应。 (3) 若系统函数的极点有一个落在右S半平面，则系统单位冲激响应就是增幅响应。 (4) 零点分布可影响系统单位冲激响应的幅度和相位，但不影响系统单位冲激响应的模式。,3. 系统函数的零、极点位置与频域特性的对应关系,系统的频率特性H()可以直接由系统函数H(s)得到， 令s=j, 由此可写出系统的幅频特性为相频特性,若把矢量差写作极坐标形式，则 式中 ， 为矢量 与实轴正方向的夹角;, 为矢量 与实轴正方向的夹角,当角频率从零起渐渐增大并最后趋于无穷大时，对应动点j 自原点沿虚轴向上移动直到无限远,各个矢量的长度和夹角也随之改变,例:求电路的幅频相频特性.,4.6 系统的稳定性,4.6.1 系统稳定的概念 4.6.2 稳定性判据,4.6.1 系统稳定的概念,当一个系统受到某种干扰信号作用时，其所引起的系统响应在 干扰消失后会最终消失，即系统仍能回到干扰作用前的原状 态，则系统就是稳定的。 稳定性是系统本身固有的特性，与输入（激励）信号无关。 对一般系统，稳定的充要条件是冲激响应绝对可积，即,由H(s)的极点分布可以给出系统稳定性的如下结论：稳定：若H(s)的全部极点位于S的左半平面，则系统是稳定的；临界稳定：若H(s)在虚轴上有p=0的单极点或一对共轭单极点，其余极点全在S的左半平面，则系统是临界稳定的；不稳定：只要H(s)有一个极点位于S的右半平面，或在虚轴上有二阶或二阶以上的重极点，则系统是不稳定的。,【例】 已知某线性时不变系统的系统函数为试判断该系统是否是稳定系统。 解： 令应用二次求根公式得两极点均在左半平面，故判断该系统是稳定的。,【例】 如图所示反馈系统的S域模拟框图，已知 ，K为实常数。为使系统是稳定的，试确定K值的允许范围。,解 ：由图可知由上式可得 将 代入上式，得求得其极点为为使系统稳定，极点应全部在S左半平面，应要求故当 时，系统是稳定的。,4.6.2 稳定性判据,劳斯判据设线性连续系统函数为H(s)，则系统稳定的必要条件是 H(s)的分母多项式的全部系数非零且均为正实数。对于三阶系统，设H(s)的分母多项式则系统稳定的充要条件是D(s)各项系统全为正，且满足:,2. 赫尔维茨判据 将系统的特征方程写成如下标准形式现以它的各项系数写成如下行列式,