信号与系统的复习题6

4.3 拉普拉斯反变换 4.3.1 逆变换表法 4.3.2 部分分式展开法 4.4 LTI系统的复频域分析 4.4.1 微分方程的拉氏变换解法 4.4.2 拉普拉斯变换法分析电路、S域元件模型,4.3.1 逆变换表法,利用常见信号的拉普拉斯变换表，查出对应的原函数信号，或者借助拉普拉斯变换若干性质，配合查表，求出原时间信号。【例】 已知拉普拉斯变换 ，求其原函数 。 解: 由变换表可知所以,【例】 求 的原函数。 解: 因为其中 与 由卷积定理可知,4.3.2 部分分式展开法,对线性系统而言，响应的象函数 常具有有理分式的形 式，它可以表示为两个实系数的的多项式之比，即式中， 和 均为实系数，n和 m为正整数，分母多项式称为系统的特征多项式 ，方程 称为特征方程，它的根称为特征根. 若 ，则 为有理真分式;,若 时， 则是假分式,需要用长除法将其分成多项式 与真分式之和，即令 ， 由于多项式 的拉普拉斯反变换是冲激函数及其各阶导 数，它们可直接求得，即为,（1） 的所有根均为单实根可分解为以下形式式中, 为待定系数。 按下述方法确定：将上式两边乘以因子 ， 再令 ，于是上式右边仅留下项 ，即将 代入，查表可求其反变换（时域函数）为,【例】 求 的原函数 。解 由于 是一个假分式，首先分解出真分式，为此采用长除法运算得其中，真分式又可展成以下部分分式,求得系数为代入原式可得 故,（2） D(S)=0具有共轭复根且无重复根若 式中 ，其中 为D(S)=0的互不相等的实根。二次多项式 中，若 ，则构成一对共轭复根。 因此F(s)可写成,假设其共轭复根为： 与 ， 则其展开式将含有如下两项呈共轭关系. 假定 则,【例】 求 的拉普拉斯反变换。解: （1）方法一：配方法查附表可得,（2）方法二：用部分分式展开法 共轭复根： 故 可以展开为可得也即 ，得到其反变换为,4.4 LTI系统的复频域分析,4.4.1 微分方程的拉氏变换解法 4.4.2 拉普拉斯变换法分析电路、S域元件模型,当用拉普拉斯变换分析法求解常系数线性微分方程时， 其特点是：拉普拉斯变换分析法能将时域中的微分方程变换为复频域中的代数方程，使求解简化；微分方程的初始条件可以自动地包含到象函数中，从而可一举求得方程的完全解；用拉普拉斯变换分析电网络系统时，甚至不必列写出系统的微分方程，而直接利用电路的域模型列写其电路方程，就可以获得响应的象函数，再反变换就可得原函数。,4.4.1 微分方程的拉氏变换解法,设线性时不变系统的输入（激励）为 ，输出（响 应）为 ，描述n阶系统的输入输出微分方程的一般 形式可写为:设系统的初始状态为 。 令 。 根据时域微分定理，及其各阶导数的拉普拉斯变换为,由于 是在 时接入，因而在 时 及其各阶导 数均为零。则及其各阶导数的拉普拉斯变换为对微分方程两边取拉普拉斯变换,得由此可得,第1项仅与系统的初始状态有关而与输入无关，因而是 零输入响应 的象函数. 第2项仅与输入有关而与系统的初始状态无关，因而是 零状态响应 的象函数.系统的全响应为,【例】 描述某线性时不变系统的微分方程为： 已知输入 ，求系统的全响应。 解: 对原微分方程两边逐项取拉普拉斯变换，可得现将 代入上式，则得即 解得 故再取反变换就得,【例】 如图所示电路，求回路电流 。 已知 时开关闭合，电感有初始电流 ,电容有初始电 压 。 解: 利用基尔霍夫定律可得系统的数学模型为,其中 分别为 的拉氏变换，而即 对上式进行拉普拉斯反变换，即可得系统的的回路电流:,拉普拉斯变换求解微分方程步骤为：1. 对微分方程逐项取拉普拉斯变换，利用微分、积分性质代入初始状态； 2. 对拉普拉斯变换方程进行代数运算，求出响应的象函数； 3. 对响应的象函数进行拉普拉斯反变换，得到全响应的时域表示。,4.4.2 拉普拉斯变换法分析电路和 S域元件模型,电路基本元件的S模型1）电阻元件R电阻R的时域模型电阻R的S域模型 电阻R的运算阻抗可表示为,2) 电容元件C其中 和 分别称为电容的s域阻抗和s域导纳，或称为 运算阻抗和运算导纳。反映了c上初始储能对响应的影响。,3) 电感元件L其中 和 分别为电感的运算阻抗和运算导纳;反映了L中的初始储能对响应的影响。,4) 耦合电感 用与电感相似的处理方法可以获得耦合电感的s域模型， 其中sM称为互感运算阻抗，两电压源分别为,2. S域中的电路定律基尔霍夫电流定律（KCL）: 对任意节点，在任一时刻流入（或流出）该节点电流的代数 和恒等于零，基尔霍夫电压定律（KVL）： 对于任意回路，有 分别对两式取拉普拉斯变换，可得基氏定律的S域形式和,3. 拉普拉斯变换法分析电路建立域模型电路：首先把电路中的元件用S域模型表示；各电压、电流均用象函数表示； 使用电阻电路中所讲述的分析线性时不变电路的各种方法、定理，解出所求量的象函数，取其拉普拉斯反变换便可得到所需要求的响应时间函数。,【例】 如图所示电路当 ，求全响应电流 ,解： 将电路元件用其s域模型替代，激励用其象函数替代，作出该电路的运算等效电路。由基尔霍夫定律的s域形式