公司的投资问题

公司的投资问题摘要本文主要解决的是公司在制定投资计划时，在不考虑风险损失和考虑风险损失两种不同的情况下，如何合理、有效地利用金融资源来安排投资，以取得最大经济效益的问题。对于问题一:本文建立单目标线性规划模型，利用 lingo 软件进行求解，得到在不考虑投资风险的情况下，20 亿的可用投资资金在第五年末的最大利润为12.87 亿元，具体的投资方案见 5.3 中的表 3 所示。对于问题二：本文首先对题给表 2 和表 3 中的数据使用 excel 进行统计分析，分别计算得出历年项目独立投资以及同时投资的到期利润率。然后建立了两个模型。针对预测今后五年的到期利润率的问题建立了灰色预测模型，分别得到了未来五年独立投资和同时投资的到期利润率，其中独立投资的到期利润率见 6.1.4 中的表 7 所示，项目相互影响下的投资的到期利润率见 6.1.4 中的表8 所示；针对风险损失率的问题建立了方差分析模型，最后得到独立投资下的风险损失率，见 6.2.2 中的表 9，一些项目同时投资时的风险损失率见 6.2.2 中的表 10。对于问题三：在问题一基础上，由于项目 1 的捐赠和项目 5 的固定投资，使得约束条件发生改变，各项目独立投资和同时投资下的到期利润率不同，使得目标函数发生改变，最后我们根据改变后的约束条件和目标函数建立起单目标线性规划模型，得到在不考虑投资风险的情况下，20 亿的可用投资资金在第五年末的最大利润为 34.9 亿元，具体的投资方案见 7.3 中的表 11 所示。对于问题四：由于风险损失因素的影响，既要使得利润最大，同时风险损失要达到最小，为此通过转换将双目标线性规划变为单目标线性规划模型，得到在考虑风险损失的情况下，20 亿的可用投资资金在第五年末的最大利润为 22.1亿元，具体的投资方案见 8.2 中的表 12 所示对于问题五：由于在实际投资过程中要考虑到资金的周转问题，本文在问题四的基础上，将银行的存款额和贷款额考虑到约束条件中，最后得到目标函数不同的线性规划模型，求解出最佳的投资方案，最大利润为 39.1 亿元，具体的投资方案见 9.3 的表 13 所示。关键词 单目标线性规划模型 灰色预测 方差分析 1 问题重述1.1 问题背景某公司现有数额为 20 亿的一笔资金可作为未来 5 年内的投资资金，市场上有 8 个投资项目（如股票、债券、房地产、）可供公司作投资选择。其中项目 1、项目 2 每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润） ；项目 3、项目 4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目 5、项目 6 每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目 7 只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目 8 只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。1.2 需要解决的问题一、公司财务分析人员给出一组实验数据，见附录一。试根据实验数据确定 5 年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？二、公司财务分析人员收集了 8 个项目近 20 年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。8 个项目独立投资的往年数据见表附录一。同时对项目 3 和项目 4 投资的往年数据；同时对项目 5 和项目 6 投资的往年数据；同时对项目 5、项目 6 和项目 8 投资的往年数据见表检附录二。(注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目)试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。 三、未来 5 年的投资计划中，还包含一些其他情况。 对投资项目 1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目 1 中投资超过20000 万，则同时可获得该笔投资金额的 1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。项目 5 的投资额固定，为 500 万，可重复投资。各投资项目的投资上限见附录二。 在此情况下，根据问题二预测结果，确定 5 年内如何安排 20 亿的投资？使得第五年末所得利润最大？ 四、考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？五、为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对 5 年的投资进行决策?2 问题假设与符号说明2.1 问题假设假设一：题目所给数据是合理的，正确的假设二：前一年项目投资所获得的利润可以用于下一年的投资，即可以重复投资假设三：市场稳定，在第五年末能收回本利假设四：银行在五年内，贷款利息和存款利息稳定不变假设五：存款和贷款都是逐年进行的2.2 符号说明ijX第 年投资在第 个项目上的金额ijN第 年年初投资的金额iK已投资项目第 年年末的回收本利iM第 年年初可用投资的金额iQ第 5 年末各个项目的总利润1iY第 年项目 1 的获赠资金jZ第 年第 个项目的到期利润率ijL第 个项目的风险损失率iD第 年从银行贷款金额iH第 年存入银行的金额h银行存款的年利率d银行贷款的年利率3 问题分析本文是研究公司在一定的流动资金下，根据各个项目的盈利状况选择最优投资安排的问题。公司在投资各个项目时，不仅要考虑各个项目的盈利状况，还要考虑各个项目投资相互影响，同时公司还承担投资风险，公司需要考虑各种影响因素下，如何选择最优投资决策使未来五年投资收获利润最大。针对问题一：公司年初可用 20 亿的资金作为为未来五年的投资资金，要使5 年末所获利润最大，则必须求解出最优的投资决策。首先各个项目的投资都有不同的投资和收益时间，项目 1、项目 2 每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润） ；项目 3、项目 4 每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目 5、项目 6 每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目 7 只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目 8 只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。根据各个项目的投资规则，第 年年初投资额应小于第 年的年n1n末总本利，并且各个项目 5 年的累计投资额不超过该项目的累积投资上限，然后以第 5 年年末的总利润为目标函数建立起最优化线性规划模型。最后运用编程求解。lingo针对问题二：题中要求预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。首先我们根据 20 年投资额与投资利润的数据表，在各个项目投资相互独立的条件下，利用 求出每年各个项目的excl到期利润率，然后建立灰色预测模型，以前 20 年的各个项目的到期利润率预测2006 年到 2010 年的各个项目的到期利润率；然后在投资相互影响下，同样利用 求出每年各项目的到期利润率，运用灰色预测模型预测 2006 年到 2010excl年的到期利润率。然后将独立投资的到期利润率与相互影响下的到期利润率相比较，得出那种情况下到期利润率较优。同理可以求出各项目相互独立和各项目相互影响下的风险投资率，最终比较两种情况下的风险投资率。针对问题三：题中要求根据问题二预测结果，确定如何投资。在问题一基础上，若在项目 1 中投资超过 20000 万，则同时可获得该笔投资金额的 1%的捐赠，捐赠又用来投资，我们运用数学的方法可以列出每年获得捐赠的函数。同时项目 5 的投资额固定，为 500 万，可重复投资，此为约束条件。当项目 3,4和项目 5,6 和项目 5,6,8 分别同时投资时，各项目的利润率为同时投资时的利润率；当各项目单独投资时，各项目的利润率为单独投资的利润率。然后以五年末总利润为目标函数，建立单目标线性规划模型，最后利用 编程求出 5lingo年内的投资安排和最大利润。针对问题四：投资有利润，同时也有风险。考虑到投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。由于风险损失因素的影响，既要使得利润最大，同时风险损失要达到最小，为此通过转换将双目标线性规划变为单目标线性规划模型，用最大利润减去最小风险作为最终的目标函数建立单目标线性规划模型，最后利用 编程求其最大值。lingo针对问题五：在问题四的基础上，公司可以通过向银行存款来降低投资的风险，也可以通过向银行贷款扩大投资金额，通过上网查询得出一年期存款利率为 3.5%，贷款年利率为 6.56%，并且在新的约束条件下，我们可以在问题四的目标函数的基础上加以修正，得到问题五最终的目标函数，然后建立单目标线性规划模型，最后利用 编程求出 5 年内的投资安排和最大利润。lingo4 数据分析与处理我们将题目所给表 2（参见附录 1）中的 8 个项目近 20 年的投资额和到期利润数据进行统计，利用 算出 20 年中，各项目独立投资时每年的利润率excl如下表 1 所示表 1：8 个项目独立投资时历年的投资到期利润率项目 1 项目 2 项目 3 项目 4 项目 5 项目 6 项目 7 项目 81986 0.1595 0.0219 0.3107 0.1581 -1.8279 1.8527 3.2379 1.79991987 0.1675 0.0238 0.4359 0.1941 0.6743 -0.212 2.1 1.94581988 0.1516 0.1112 0.3811 0.1641 -0.6035 -1.3409 7.2863 2.30061989 0.1483 0.096 0.132 0.2394 2.0032 0.6691 2.6132 -1.77571990 0.1547 0.0689 0.5371 0.2041 3.5852 1.371 -3.2187 -0.51181991 0.1727 0.1219 0.4268 0.2137 0.7418 -1.4385 2.8636 0.43141992 0.1304 0.1195 0.2423 0.1801 1.6101 0.2004 -9.5445 4.22521993 0.2135 0.1748 0.4581 0.3214 1.6473 0.9475 5.6174 4.06471994 0.0858 0.1622 0.3729 0.2391 1.3885 -0.3611 -5.7808 1.50131995 0.1509 0.181 0.2029 0.1741 1.3926 0.3061 13.5167 3.02831996 0.1348 0.193 0.5492 0.3361 1.3781 1.3683 -3.1578 1.01141997 0.1472 0.1521 0.2333 0.2942 0.699 0.7515 18.4486 2.4941998 0.1843 0.1896 0.2513 0.3317 0.737 1.3867 -4.277 -1.19811999 0.1037 0.1855 0.2556 0.3082 -0.1614 1.4925 -4.8448 -1.37172000 0.1445 0.2107 0.5192 0.2598 1.0399 1.2999 2.8296 5.1862001 0.1817 0.2458 0.5164 0.321 1.2155 1.3099 -9.6076 2.67362002 0.147 0.1973 0.2677 0.3412 0.6483 1.0457 17.5468 -2.13942003 0.1039 0.1812 0.264 0.37 0.9291 1.108 3.90192004 0.1908 0.1804 0.3183 0.41592005 0.1308 0.1548然后根据此表利用 得出各个项目历年到期利润率走势图如下图：excl由图可知：项目 1 至项目 6 利润率随时间走势稳定，而项目 7 项目 8 的利润率走势随时间成波浪形，不稳定。同时我们根据表三一些投资项目同时投资时历年的投资额及到期利润，我们对表进行了处理得出每年一些项目同时投资时的到期利润率如下表：表 2：一些项目同时投资时历年的投资到期利润率项目同时投资项目3、4同时投资项目5、6 同时投资项目 5、6、8年份 3 4 5 6 5 6 81986 0.2382 0.4667 0.3313 0.8736 1.5345 0.8431 -0.62991987 0.4316 0.4487 0.4023 0.5373 -0.5162 2.7677 2.74741988 0.4909 0.4289 0.0741 3.1593 0.8019 0.4133 -0.74561989 0.3237 0.4116 0.0853 0.6051 0.7442 0.2096 2.64421990 0.2939 0.4705 0.0966 -1.0626 -0.137 -0.7665 -0.30231991 0.4576 0.4856 1.4893 1.4686 2.98 0.8915 1.14961992 0.6754 0.4382 0.0547 0.1653 0.8173 -0.0272 2.3941993 0.4721 0.4819 0.9247 -0.6552 0.5672 -0.0525 4.05041994 0.3255 0.4587 -0.1934 0.3803 1.4398 3.0087 2.3211995 0.5396 0.393 1.2451 0.0109 0.7058 0.4242 1.65381996 0.6391 0.3232 0.182 0.2019 -0.5106 1.5149 2.58471997 0.3096 0.4485 -0.0167 2.1279 -0.5783 0.7833 1.70641998 0.7319 0.3939 0.9724 0.3619 1.0159 0.8719 2.6031999 0.5624 0.4364 1.9492 -0.6544 -0.2483 2.0649 -0.54392000 0.2636 0.3911 1.0063 1.6944 0.8807 0.3874 2.38952001 0.5209 0.3821 1.3142 -1.0841 1.7369 -0.7481 -1.00642002 0.6167 0.4531 0.285 3.311 0.615 0.1688 0.8263各 项 目 独 立 投 资 利 润 率 走 势 图-15-10-5051015201986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004年 份数据项 目 1项 目 2项 目 3项 目 4项 目 5项 目 6项 目 7项 目 82003 0.465 0.4419 1.2785 1.5493 2.1836 0.9168 0.71112004 0.4709 0.47452005然后根据此表利用 得出一些项目先互影响下投资的利润率风险率走势入excl下图：由图可知：项目 3,4 同时投资时，利润率走势图波动小，呈正相关。项目5,6 同时投资时，项目 5,6 利润率增幅较大，相关性小。项目 5,6,8 同时投资时，项目 5,6 利润率增幅明显。整体来看，同时投资较独立投资利润率增幅大。5 问题一的解答5.1 模型一的建立5.1.1 确定目标函数该模型是求解如何安排投资使利润最大的问题，为了使利润最大，将 5 年的所有 8 个项目投资总利润相加。则目标函数为： 15max()*,2,346,7,1,5845,2ijijiQXZijiji当 时当 时当 时当 时当 时5.1.2 确定约束条件(1)横向约束条件根据各个项目的投资规则,我们对 5 年的投资进行了分析，首先设定第 年i投资在第 个项目上的金额为 ，第 i 年年初的投资金额 不超过本年可用投j ijXiN资金额 .于是从横向确定约束条件iM第一年：该公司年初拥有 20 亿投资资金则 =20000(万元)1M一 些 项 目 同 时 投 资 利 润 率 走 势 图-2-10123451986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004年 份数据3456568121341561XXM第二年：项目 1, 项目 2 上一年的投资金额可在第一年年末收回本利，同时上一年剩余资金为 , 则第二年年初可用投314516( )XX资金额 = ,由于投资不2M112234516( )超过可用投资金额则： 213245627XX第三年：项目 1、项目 2 第二年的投资和项目 3、项目 4 的投资可在第二年年末收回本利，同时上一年剩余资金为， 则第三年年初可用投资金额212345267( )X+ +32 221.X,由于投资不超过可用投资金额则：15.7X123435638M第四年：项目 1、项目 2 第三年的投资和项目 3、项目 4 的投资和项目 5、项目 6 的投资可在第三年年末收回本利，同时上一年剩余资金,第四年年初可用投资金额 3132345368( )MXX4 3 1516X,由于投资不超过可用投资金额则：224.1.7X12434第五年：项目 1、项目 2 第四年的投资和项目 3、项目 4 的投资和项目 5、项目 6 的投资可在第三年年末收回本利，同时上一年剩余资金,则第四年年初可用投资金额414234()X+5 4142334.51.27MXX,由于投资金额不超过总金额则：26X15(2)纵向约束条件此外，由于每个投资项目都有投资上限., 于是从纵向确定约束条件1245678603023iiiiXX5.2 综上所述，得问题一的优化模型总利润的目标函数为：15max()*,2,346,7,1,5845,2ijijiQXZijiji当 时当 时当 时当 时当 时横向约束条件： 12134156122723 33841243455.XXMXstM纵向约束条件： 1245678603.023iiiiXstX5.3 模型一的求解将总利润 Q 作为目标函数，根据优化模型的横向、纵向约束条件，运用编程得 5 年的安排投资如下表：（程序见附录三）lingo表 3：根据实验数据 8 个项目 5 年的投资安排项目 1 项目 2 项目 3 项目 4 项目 5 项目 6 项目 7 项目 8第一年 60000 30000 0 0 9300 20000 0 0第二年 60000 30000 0 0 30000 20000 40000 0第三年 39300 30000 0 0 0 0 0 30000第四年 46530 30000 0 0 0 0 0 0第五年 54483 30000 0 0 0 0 0 0此时 5 年末的最大总利润 Q=12.87 万元。5.4 模型一的结果分析在模型一中，影响最终利润大小的共有三个因素：预计到期利润率，投资金额的上限，投资资金。通过控制变量法对其中的因素进行灵敏性分析，判断它们对最终利润的影响。 预期到期利润率的灵敏性分析预计到期利润率的改变会直接导致模型一中目标函数的改变，当其他两个因素不变，对预计到期利润率进行改变发现，利润率越大，最后得到的利润也越大，也就是说，在没有风险的情况下，利润率与利润呈现正比关系。 投资资金的灵敏性分析利润=投资金额*利润率，所以利润的大小与投资金额也是密切相关的，在其他两个因素不变时，对投资金额进行改变，来观测最终利润的变化，具体数据下表七所示：表 4：投资金额与利润率的关系（亿）投资金额 16 17 18 19 19.8 20利润 11.07 11.5 11.97 12.42 12.87 12.87我们作出上表所对应的曲线图,如下所示：由上表中的数据和对应的图形可以看出：当投资资金小于或等于 19.87 时，投资资金越多，所获得利润越多；当投资资金大于 19.87 时，利润的多少与投资资金的增多没有关系。通过以上分析发现，这两个因素的改变对最终利润的变化均与现实生活吻合，所以模型一具有一定的现实合理性。6 问题二的解答6.1 到期利润率预测模型的建立与求解6.1.1 灰色预测模型的引入首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据列做必要的检验处理。设参考数据为 。 计算数列的级比(0)()(0)(0)1,2,Xxxn(0),3xkn若级比 均落在可容覆盖 内，则数列 可以作为 模() 21(,)ne(0)X(1,)GM型的数据进行灰色预测。否则，需要对数列 做必要的变换处理，使其落(0)利 润101112131416 17 18 19 19.8 20投 资 金 额利润 利 润入可容覆盖内。即取适当的常数 c ，作平移变换 。(0)(0),12,ykxckn则使数列 的级比(0)()(0)(0)1,2,Yyyn() ,3kX通过级比检验，项目1,2的级比均落在可容覆盖 内，而项目3(0.91,5)到项目8的级比均不在可容覆盖内，于是对数列 做必要的变换处理，引入)X，使其落在可容覆盖内。10c 计算生成序列 ，用 GM(1,1)建模时，首先我们对原始数据 作一(1) (0)X次累加得到 序列(1)X()(0)1,2.)imxin可以得到相应的 的递增系列jK()(1)(1(1),Xxxn 得到模型的白化方程，首先对 计算紧邻均值生成 ：jZ(1)(1)(1).(2,)2jzxm接着我们根据 GM(1,1)建模，写出灰色函数： 01xkazb根据最小二乘参数估计法估计参数矩阵再利用离散数据系列建立近似的微分方程模型，得到 GM(1,1)的白化方程即：11dtt 白化方程的求解，得到预测值 表达式，其白化方程的解为时间响(0)X应函数 11atbxke通过改变 的值我们可以得出原始数据序列 的预测值为：k (0)011(,2.xxn6.1.2 模型的精度检验根据上述灰色预测模型对项目 1 的预测值，同原始值对照进行检验，这里仅列举项目 1 的检验过程，其他项目检验类似。表5：项目1模型数据同原始值的对照检验表 项目一结果序号 年份 原始值 模型值 残差 相对误差 级比偏差1 1986 0.1595072 0.1595 0 0 2 1987 0.1674502 0.1563 0.0111 0.0665 0.05213 1988 0.1515695 0.1556 -0.004 0.0263 -0.09944 1989 0.1482668 0.1548 -0.0065 0.044 -0.01735 1990 0.1546661 0.154 0.0006 0.004 0.0466 1991 0.1726816 0.1533 0.0194 0.1122 0.10877 1992 0.1304348 0.1526 -0.0221 0.1696 -0.31758 1993 0.2135073 0.1518 0.0617 0.2889 0.3929 1994 0.0857629 0.1511 -0.0653 0.7616 -1.477410 1995 0.1508848 0.1503 0.0005 0.0036 0.434411 1996 0.1347652 0.1496 -0.0149 0.1102 -0.114212 1997 0.1471649 0.1489 -0.0017 0.0117 0.088713 1998 0.1843148 0.1482 0.0361 0.1961 0.205414 1999 0.1037037 0.1475 -0.0437 0.4219 -0.768715 2000 0.1444977 0.1467 -0.0022 0.0155 0.285816 2001 0.1817146 0.146 0.0357 0.1964 0.208717 2002 0.1469945 0.1453 0.0017 0.0114 -0.230218 2003 0.1038787 0.1446 -0.0407 0.3921 -0.408219 2004 0.1907967 0.1439 0.0469 0.2457 0.458220 2005 0.130759 0.1432 -0.0125 0.0953 -0.4521（1）残差检验：令残差为 ，计算()k(0)(0),12,3.xkn如果 ，则可认为达到一般要求；如果 ，则认为达到较高的要.2()0.1k求。（2）关联度合格检验设x(0)为原始序列，x(0) 为相应的灰色模型预测（模拟）序列， 为x (0)与x(0)的绝对关联度。若对于给定的 ，有 ，则称模型为关联度合格模型。00（3）级比偏差值检验：首先由参考数据 ， 计算出级比 ，()1xk(0)xk()k再用发展系数a 求出相应的级比偏差10.5()()akk如果 ，则可认为达到一般要求；如果 ，则认为达到较高的.2()0.1k要求。（4）误差概率合格检验小误差概率为 10.6745kPSY对于给定的 ，当 时，称模型为小误差概率合格模型0P然后对四个指标进行检验，得到检验精度如下表：表 6：灰色预测检验精度表相对误差 0.15 二级(Qualified)关联度 0.87 二级 (Good)均方差比 C0.32 一级 (Good)小误差概 P0.97 一级 (Good)6.1.3 综上所述，可得到期利润率预测模型到期利润率的预测函数： (0) (0)1(1aakbXkeXe各个项目的 值不同，以项目 1 为例，项目 1 的到期利润率预测函数：,b 0.48652e*n986 0.48652e*n198732.968.3732.8.37y 6.1.4 模型二的求解与结果分析在已知投资项目独立投资和同时投资 20 年的投资额及到期利润的前提下，可以求出每年的各项目的到期利润率，然后利用灰色预测模型对 8 个项目未来5 年的到期利润率进行预测，运用 MATLAB 编程得到 2006 年到 2010 年的各项目独立投资和一些项目同时投资时到期利润率如下（程序见附录四）表 7：各项目单独投资未来 5 年到期利润率预测汇总年份 一 二 三 四 五 六 七 八2006 0.1425 0.2292 0.3284 0.4173 0.7159 1.865 3.4477 1.85672007 0.1418 0.2386 0.3261 0.4357 0.6799 1.9825 3.5725 1.88782008 0.1411 0.2484 0.3238 0.4548 0.6438 2.1002 3.6975 1.91892009 0.1405 0.2586 0.3216 0.4748 0.6078 2.2181 3.8226 1.94992010 0.1398 0.2691 0.3193 0.4956 0.5718 2.3361 3.9479 1.981平均值 0.14114 0.24878 0.32384 0.45564 0.64384 2.10038 3.69764 1.91886表 8：一些项目同时投资未来 5 年到期利润率预测汇总项目三四同时投资 项目五六同时投资 项目五六八同时投资年份 三 四 五 六 五 六 八2006 0.5361 0.418 1.2909 0.9916 1.1346 0.5142 0.83092007 0.5421 0.416 1.3489 1.0171 1.171 0.4924 0.7722008 0.5482 0.4155 1.4069 1.0425 1.2074 0.4706 0.7132009 0.5544 0.4143 1.4649 1.0679 1.2438 0.4487 0.65432010 0.5607 0.4131 1.523 1.0933 1.2803 0.4269 0.5955平均值 0.5483 0.41538 1.40692 1.04248 1.20742 0.47056 0.713146.1.5 模型二的结果分析对比表 7 和表 8：项目 3,4 同时投资时，项目 4 的利润率没变，但项目 3 的利润率相对独立投资时明显增大；项目 5,6,8 同时投资时项目 6,8 利润率变小，项目 5 的利润率明显变大。以上数据验证了，混合投资有益于收益率的增加。在独立投资的收益率中项目 7 的收益率最高，同时分析附录 1 中的数据，可以知道项目 7 的亏损的可能性也最大。这一点证明了收益越大风险越大这一事实。6.2 风险损失率预测模型的建立与求解6.2.1 方差分析模型的建立今后五年各项目相互独立投资和项目之间，公司财务分析人员收集的 8 个项目近 20 年的投资额与到期利润数据 在投资学中，最常见的方式是用方差来反映收益率实际可能取值的分散程度，即不确定性程度风险，因此我们可用可能收益率对期望收益率的偏离程度来度量投资的风险，根据风险损失率的定义得： 2051986()jijijiZL6.2.2 模型三的求解与结果分析通过上述模型表达式，利用 matlab 软件进行编程求解（程序见附录五） ，求解结果如下表所示：表 9：各项目独立投资时的风险损失率年份 一 二 三 四 五 六 七 八风险损失率 0.0302 0.0585 0.1229 0.0754 1.0881 0.927 8.2525 2.159表 10：一些项目同时投资时的风险损失率年份 三 四 五 六 五 六 八风险损失率 0.1403 0.0405 0.6177 1.2572 0.9418 1.0091 1.4577通过对比上两表可得：各项目独立投资时项目 7 的风险损失率最高。项目3,4 同时投资时，项目 4 的风险明显降低；项目 5,6 同时投资时，项目 5 的风险明显降低；项目 5,6,8 同时投资时，项目 5,8 的风险明显降低。组合投资总体风险率降低，也说明了投资越分散，总的风险越小。7 问题三的解答7.1 模型三的建立7.1.1 确定目标函数在问题二中，模型二已预测了 06 年到 10 年各个项目的到期利润率，于是我们定义第 i 年第 j 个项目的到期利润率为 ，ijZ初该模型是求解如何安排投资使利润最大的问题，为了使利润最大，将 5年的所有 8 个项目投资总利润相加。则目标函数为： 15max()*,2,346,7,1,5845,2ijijiQXZijiji当 时当 时当 时当 时当 时7.1.2 确定约束条件(1)横向约束条件根据各个项目的投资规则,我们对 5 年的投资进行了分析，设定第 i 年投资在第 j 个项目上的金额为 ，则项目 1 第 i 年的投资额为 ，对投资项目 1，ijX1iX公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目 1 中投资超过 20000 万，则同时可获得该笔投资金额的 1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。则设第 i 年可获得的捐赠资金为 ，根据题意可得：1iY11120(20)%*i ii iXY根据各个项目的投资状况，各个项目同时投资和单独投资的利润率不同，当项目 3,4 和项目 5,6 和项目 5,6,8 同时投资时则运用同时投资的利润率，当各项目单独投资时则用单独投资的利润率，于是可以求得每年年末回收本利 。iK由于第 i 年年初的投资金额 不超过本年可用投资金额 .于是可得横向iNiM确定约束条件第一年：该公司年初拥有 20 亿投资资金则 =20000(万元)+ 11Y121341561XXM第二年：项目 1, 项目 2 上一年的投资金额第一年年末收回本利为 ，同2K时上一年剩余资金为 , 则第二年年初可用11314516( )XX投资金额 = ,由于投资不超过可2M2 2Y用投资金额则： 21345627XX第三年：项目 1、项目 2 第二年的投资和项目 3、项目 4 的第一年的投资在第二年年末收回本利为 ，项目 1 获赠资金 ，同时上一年剩余资金为3K1， 则第三年年初可用投资金额212245267( )X+ ,由于投资不超过可用3 23K1Y投资金额则： 123435638XXM第四年：项目 1、项目 2 第三年的投资和项目 3、项目 4 第二年的投资和项目 5、项目 6 第一年的投资在第四年年末收回本利为 ，项目 1 获赠资金 ，41Y同时上一年剩余资金 ,第四年年初可3132345368( )XX用投资金额 + +4M 41K,由于投资不超过可用投资金额则： 4123546XX第五年：项目 1、项目 2 第四年的投资和项目 3、项目 4 第三年的投资和项目 5、项目 6 第二年的投资在第五年年末收回本利 ，项目 1 获赠资金 ，同5K51Y时上一年剩余资金 则第五年年初可用投资41423446( )XX金额 +54123565( )M 1Y,由于投资金额不超过总金额则： 1235XX(2)纵向约束条件此外，由于每个投资项目都有投资上限，且项目 5 的投资固定为 500 万，可重复投资，于是从纵向确定约束条件12456785603030*,iiiiiXXn为 整 数 且 607.2 综上所述，得问题三的优化模型总利润的目标函数 15max()*,2,346,7,1,5845,2ijijiQXZijiji当 时当 时当 时当 时当 时横向约束条件 12134156122723 33841243455.XXMXstM纵向约束条件 12456785603.030*,iiiiiXstXn为 整 数 且 607.3 模型三的求解与结果分析将总利润 Q 作为目标函数，根据优化模型的横向、纵向约束条件，运用编程得 5 年的安排投资如下表：（程序见附录六）lingo表 11：根据实验数据 8 个项目 5 年的投资安排（万元）项目 1 项目 2 项目 3 项目 4 项目 5 项目 6 项目 7 项目 8第一年 60000 60000 35000 5600 0 40000 0 0第二年 0 1936.8 35000 30000 0 40000 30000 0第三年 60000 60000 35000 30000 0 40000 0 30000第四年 60000 60000 35000 30000 0 0 0 0第五年 60000 60000 35000 30000 0 0 0 0此时 5 年末的最大总利润 亿元。63.1Q8 问题四的解答针对问题四我们建立了模型五8.1 模型五的建立8.1.1 确定目标函数经过分析可知，问题四是在问题三的基础上引入了风险损失率，第 i 年投资组合中最大的风险损失率为 ，于是预计到期利润要考虑到投资的风险，则iL实际利润率=预测到期利润率-预测最大风险损失率。于是可得目标函数为 15max()*(),2,346,7,1,5845,2ijijiiQXZijiji当 时当 时当 时当 时当 时8.1.2 确定约束条件经分析可知问题四在问题三的基础上引入了投资风险，并且同时投资时总体投资风险用项目中最大风险来度量。于是第 i 年投资组合中最大的风险损失率为 ，各项目风险损失率因单独投资和同时投资而不同，根据第二问求得的iL风险投资率可得：当各项目单独投资时，各项目风险损失率如下：项目 12L34L56L78L风险损失率 0.0302 0.0585 0.1229 0.0754 1.0881 0.927 8.2525 2.159当一些项目同时投资时，各项目的风险损失率如下： 年份 三 四 五 六 五 六 八风险损失率 0.1403 0.0405 0.6177 1.2572 0.9418 1.0091 1.4577由于实际利润率=预测到期利润率 预测到期风险投资率,则每年年末的回收本利 为各个项目的投资额与实际利润率的乘积。其他约束条件的得出同问iK题三中类似。8.2 问题四的求解与结果分析将总利润 Q 作为目标函数，根据优化模型的横向、纵向约束条件，运用编程得 5 年的安排投资如下表：（程序见附录七）lingo表 12：根据实验数据 8 个项目 5 年的安排项目 1 项目 2 项目 3 项目 4 项目 5 项目 6 项目 7 项目 8第一年 0 60000 35000 30000 30000 40000 0 0第二年 0 0 0 0 0 0 0 0第三年 0 0 0 0 0 0 0 30000第四年 60000 60000 35000 30000 0 0 0 0第五年 60000 60000 0 0 0 0 0 0此时 5 年末的最大总利润 万元，由于组合投资时项目 7 的风险最271Q大，于是项目 7 投资的年份里，其他项目都不投资，考虑到投资的风险较高。9 问题五的解答针对问题五我们建立模型六9.1 模型六的建立9.1.1 确定目标函数设定第 i 年年初贷款为 ，银行还贷利息为 ，第 i 年年初存在银行的金额iDd为 ，银行存款利息为 ，则在问题四的基础上，通过分析建立模型六，则以iHh五年末的最大利润为目标函数 建立最优化模型。于是可得目标函数为：555111max()()()*(),2,346,7,58415,2i iiijji iiQXZLHhDijiji当 时当 时当 时当 时当 时9.1.2 确定约束条件在问题四的基础上，增加了每年年初贷款 ，每年年初存款为 ，每年年iDiH末还贷和从银行取回本利。于是可以确定横向约束条件。第一年：该公司第一年年初可用投资金额 =20000(万元)+ + 由1M1Y1D于投资不超过可用投资金额则： 121341561XX第二年：公司第二年可用投资金额 = + +2121()()dh2K，由于投资不超过可用投资金额则： 21Y2342567X第三年：公司第三年可用投资金额 + +3M232(1)(1)DdHh3K，由于投资不超过可用投资金额则：31Y2343568XXX第四年：第四年年初可用投资金额 +4343()()41Y+ 由于投资不超过可用投资金额则：4K12434第五年：第五年年初可用投资金额 +5M454(1)()DdHh51+ ，由于投资金额不超过总金额则：5152XM其他纵向约束条件同模型五一样9.2 综上所述，的问题五的最优化模型目标函数： 555111max()()()*(),2,346,7,58415,2i iiijji iiQXZLHhDdijiji当 时当 时当 时当 时当 时横向约束条件： 12134156122723 33841243455.XXMXstM纵向约束条件： 12456785603.030*,iiiiiXstXn为 整 数 且 609.3 模型的求解将总利润 Q 作为目标函数，根据优化模型的横向、纵向约束条件，运用编程得 5 年的安排投资如下表：（程序见附录八）lingo表 13：根据实验数据 8 个项目 5 年的安排项目 1 项目 2 项目 3 项目 4 项目 5 项目 6 项目 7 项目 8各年存款各年贷款第一年 5000 60000 35000 30000 30000 40000 0 0 0 0第二年 0 0 0 0 0 0 30000 0 46809 0第三年 0 0 0 0 0 0 0 30000 44553 0第四年 60000 60000 35000 30000 0 0 0 0 5949 0第五年 0 60000 0 0 0 0 0 0 81660 0此时 5 年末的最大总利润 万元，根据求的的数据可知，各年不需39142.Q要贷款并且每年多的钱存在银行可增加总利润。10. 模型的评价、改进及推广10.1 模型的评价优点：（1） 对题中数据进行了处理，并得出了各项目利润率走势图，能够清楚的看到利润率走势，并对所得的结果分别进行了分析和对比，把理论模型同实际相结合。 （2） 模型二利用灰色预测模型对未来 5 年数据进行了预测，并且从不同方向对模型精度进行检验，证明了模型的可行性。（3） 所建模型考虑了单独投资、同时投资的利润率和风险率的不同，考虑周密。缺点：由于所给的数据有限，同时求利润率时有些年份的偏差很大，在利用灰色系统模型时剔除了这些量，以致使得在利用这些数据进行预测未来五年的数据时不是很准确。10.2 模型的改进（1）查询更多的数据，以使灰色预测模型预测的更准确，也可使计算机模拟更少的数据或不模拟以减少不确定性。（2）通过市场调查、查询损失当年的政策因素综合考虑，预测风险损失发生的概率。10.3 模型的推广本文所建立的模型不仅仅可以用于公司的投资安排，还可以用于对证券的投资，资源的安排等实际问题。11 参考文献：1宋来忠，数学建模与实验，北京：科学出版社，20052徐权智，杨晋浩，数学建模，北京：高等教育出版社，20043韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，20054牛东晓等编，灰色系统理论教程，武汉：华中理工大学出版社，19905薛定宇，高等应用数学问题的 matlab 求解（第二版），北京：清华大学出版社，200412 附录附录一： 各投资项目独立投资时历年的投资额及到期利润（万元）. 问题一中投资项目预计到期利润率及投资上限项目 1 2 3 4 5 6 7 8预计到期利润率 0.1 0.11 0.25 0.27 0.45 0.5 0.8 0.55上限（万元） 60000 30000 40000 30000 30000 20000 40000 30000各投资项目独立投资时历年的投资额及到期利润（万元）项目 1 2 3 4 5 6 7 8投资额 3003 5741 4307 5755 4352 3015 6977 49931986 到期利润 479 126 1338 910 -7955 5586 22591 8987投资额 7232 6886 5070 7929 7480 5463 3041 48301987 到期利润 1211 164 2210 1539 5044 -1158 6386 9398投资额 3345 5659 6665 7513 5978 4558 5055 45011988 到期利润 507 629 2540 1233 -3608 -6112 36832 10355投资额 5308 6272 6333 6749 4034 7392 6442 40921989 到期利润 787 602 836 1616 8081 4946 16834 -7266投资额 4597 5294 5148 5384 6220 6068 6095 52701990 到期利润 711 365 2765 1099 22300 8319 -19618 -2697投资额 4378 5095 5973 7294 6916 6276 7763 63351991 到期利润 756 62