内江市2012年中考数学试题精析

- 1 -2012 年中考数学精析系列内江卷（本试卷满分 160 分，考试时间 120 分钟）A 卷（共 100 分）1、选择题（每小题 3 分，36 分）1. （2012 四川内江 3 分）6 的相反数为【 】A.6 B. C. D. 61【答案】A。【考点】相反数。【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0 的相反数还是 0。因此6 的相反数是 6。故选 A。2.（2012 四川内江 3 分）下列计算正确的是【 】A. B. C. D.642aab532632a236a【答案】C。【考点】合并同类项，乘法分配律，幂的乘方，同底幂除法。【分析】根据合并同类项，乘法分配律，幂的乘方，同底幂除法运算法则逐一计算作出判断：A. 和 不是同类项，不可合并，选项错误；2a4B. 和 不是同类项，不可合并，选项错误；3bC. ，选项正确；26aD. ，选项错误。633a故选 C。3.（2012 四川内江 3 分）已知反比例函数 的图像经过点（1，2），则 的值为【 xkyk】A.2 B. C.1 D.221【答案】D。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。- 2 -【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，得 ，故选 D。221k4.（2012 四川内江 3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有【 】A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个【答案】C。【考点】轴对称和中心对称图形。【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转 180 度后与原图重合。因此，四个图形都是轴对称图形，同时第二、四个又是中心对称图形。故选 C。5.（2012 四川内江 3 分）如图， 【 3,1402,651,/0则ba】A. B. C. D.010501015【答案】B。【考点】平行的性质，三角形外角性质。【分析】如图，反向延长 ，形成 4。b ，3=180 04。/a又2=14，即4=21。 。故选 B。0000381846516.（2012 四川内江 3 分）一组数据 4，3，6，9，6，5 的中位数和众数分别是【 】A. 5 和 5.5 B. 5.5 和 6 C. 5 和 6 D. 6 和 6【答案】B。【考点】中位数，众数。- 3 -【分析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。由此将这组数据重新排序为 3，4，5，6， 6，9，中位数是按从小到大排列后第 3、4 个数的平均数为：5.5。众 数 是 在 一 组 数 据 中 ， 出 现 次 数 最 多 的 数 据 ， 这 组 数 据 中 ， 出 现 次 数 最 多 的 是6， 故 这组数据的众数为 6。故选 B。7.（2012 四川内江 3 分）函数 的图像在【 】1yxA.第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限【答案】A。【考点】函数的图象，函数的定义域和值域，平面直角坐标系中各象限点的特征。【分析】函数 的定义域为 ， ，根据面直角坐标系中各象限点1yx0xy的特征知图像在第一象限，故选 A。8.（2012 四川内江 3 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDA，CDB=30 0，CD= ，23则阴影部分图形的面积为【 】A. B. C. D.4223【答案】D。【考点】垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积公式。【分析】连接 OD。CDAB ，CD= ，CE =DE= （垂径定理）。231CD32 。阴影部分的面积等于扇形 OBD 的面积。OCEDS又CDB=30，COB=BOD，BOD =60（圆周角定理）。- 4 -OC=2。 ，即阴影部分的面积为 。故选 D。2OBD60 S3、 239.（2012 四川内江 3 分）甲车行驶 30 千米与乙车行驶 40 千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶 15 千米，设甲车的速度为 千米/ 小时，依据题意列方程正确的是【 x】A. B. C. D. 30415x30415x30415x30415x【答案】C。【考点】由实际问题抽象出方程（行程问题）。【分析】甲车的速度为 千米 /小时，则乙甲车的速度为 千米/小时x15x甲车行驶 30 千米的时间为 ，乙车行驶 40 千米的时间为 ，30x40x根据甲车行驶 30 千米与乙车行驶 40 千米所用时间相同得 。故选315C。10.（2012 四川内江 3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5 点 E、F 分别在AB、CD 上，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A、D 分别落在矩形 ABCD 外部的点 A1、D 1处，则阴影部分图形的周长为【 】A.15 B.20 C.25 D.30【答案】D。【考点】翻折变换（折叠问题），矩形和折叠的性质。【分析】根据矩形和折叠的性质，得 A1E=AE，A 1D1=AD，D 1F=DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长，为 2（10+5）=30。故选 D。11.（2012 四川内江 3 分）如图 4 所示，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 的值sinA为【 】- 5 -A. B. C. D.1251025【答案】B。【考点】网格问题，锐角三角函数的定义，勾股定理。【分析】如图：作点 C 关于 AB 的对称点 D，连接 CD 交 AB 于 O，根据网格的特点，CDAB，在 RtAOC 中， ，22O1AC130；则 。故选 B。5sinAC012.（2012 四川内江 3 分）如图，正ABC 的边长为 3cm,动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm的速度，沿 的方向运动，到达点 C 时停止，设运动时间为 x（秒），B,则 y 关于 x 的函数的图像大致为【 】2PA. B. C. D. 【答案】C。【考点】动点问题的函数图象，正三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。【分析】如图，过点 C 作 CD 垂直 AB 于点 D，则正ABC 的边长为 3，A= B =C =60，AC=3。- 6 -AD= ，CD= 。32当 0x3 时，即点 P 在线段 AB 上时，AP=x，PD = （0x3）。32 （0x3）。2223yC+9该函数图象在 0x3 上是开口向上的抛物线。当 3x6 时，即点 P 在线段 BC 上时，PC =（6x）（3x6）；y=（6x） 2=（x -6） 2（3x6），该函数的图象在 3x6 上是开口向上的抛物线。综上所述，该函数为 。符合此条件的图象为 C。故2+90x3y6（ ）（ ） （ ）选 C。2、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13. （2012 四川内江 5 分）分解因式： 34ab【答案】 。2ab【考点】提取公因式法和公式法因式分解。【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，。32442abbab14.由一些大小相同的小正方形组成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需的小正方形的个数最少为 【答案】4。【考点】由三视图判断几何体。【分析】由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层；由俯视图可知左侧一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，也可能两行都是两层。- 7 -图中的小正方体最少 4 块，最多 5 块。15. （2012 四川内江 5 分）如图所示，A、B 是边长为 1 的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点 C，恰好能使 ABC 的面积为 1 的概率是 【答案】 29【考点】网格问题，三角形的面积，概率公式。【分析】如图，在 66 的网格中共有 36 个格点，而使得三角形面积为 1 的格点有8 个，能使ABC 的面积为 1 的概率是 。8236916. （2012 四川内江 5 分）如图，四边形 ABCD 是梯形，BD=AC，且 BDAC 若AB=2，CD=4 则 ABCDS梯 形 【答案】9。【考点】梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】如图，过点 B 作 BEAC 交 DC 的延长线于点 E，过点 B 作 BFDC 于点 F，则 AC=BE，DE=DC+ CE=DC+AB=6。又BD= AC 且 BDAC，BDE 是等腰直角三角形。BF= DE=3。12梯形 ABCD 的面积为 （AB+CD）BF=9。123、解答题（共 44 分）17.（2012 四川内江 44 分）计算：0120131()864- 8 -【答案】解：原式 。231432【考点】实数的运算，绝对值，有理数的乘方，零指数幂，立方根化简，负整数指数幂。【分析】针对绝对值，有理数的乘方，零指数幂，立方根化简，负整数指数幂 5 个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。18.（2012 四川内江 9 分）水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形 ABCD.如图所示，已知迎水坡面 AB 的长为 16 米，B=60 0，背水坡面 CD的长为 米，加固后大坝的横截面积为梯形 ABED，CE 的长为 8 米。163（1）已知需加固的大坝长为 150 米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后的大坝背水坡面 DE 的坡度。【答案】解：（1）如图，分别过 A、D 作AFBC，DG BC，垂点分别为 F、G 。在 RtABF 中，AB=16 米， B =60，sinB ，即 DG= 。3AF168 28 3又CE=8， 。DCE11SG 32 2又需加固的大坝长为 150，需要填方： 。50=480答：需要填土石方 立方米。1503=483- 9 -19.（2012 四川内江 9 分）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的 4200 盆甲种花卉和 3090 盆乙种花卉，搭配 A、B 两种园艺造型共 60 个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上述信息，解答下列问题：（1）符合题意的搭配方案有几种？（2）如果搭配一个 A 种造型的成本为 1000 元，搭配一个 B 种造型的成本为 1500 元，试说明选用那种方案成本最低？最低成本为多少元？ 造型花卉 甲 乙A 80 40B 50 70【答案】解：（1）设需要搭配 x 个 A 种造型，则需要搭配 B 种造型（60x）个，则有 ，解得 37x40，8056420 4739x 为正整数，x =37 或 38 或 39 或 40。符合题意的搭配方案有 4 种：第一方案：A 种造型 37 个，B 种造型 23 个；第二种方案：A 种造型 38 个，B 种造型 22 个；第三种方案：A 种造型 39 个，B 种造型 21 个第四种方案：A 种造型 40 个，B 种造型 20 个。（2）设 A、B 两种园艺造型分别为 x，（50x ）个时的成本为 z 元，- 10 -则： 。z10x50x=5705000，成本 z 随着 x 的增大而减小。当 x=40 时，成本最低。最低成本为 70000。答：选择第四种方案成本最低，最低位 70000 元。 【考点】一元一次不等式组和一次函数的应用。【分析】（1）设需要搭配 x 个 A 种造型，则需要搭配 B 种造型（60x）个，根据“4200盆甲种花卉”“3090 盆乙种花卉”列不等式求解，取整数值即可。（2）列出成本 z 关于 A 种造型个数 x 的函数关系式，根据一次函数的增减性求出答案。20. （2012 四川内江 10 分）某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图 10 所示的两幅不完整的统计图，已知 B、E 两组发言人数的比为 5:2,请结合图中相关数据回答下列问题：（1）求出样本容量，并补全直方图；（2）该年级共有学生 500 人，请估计全年级在这天里发言次数不少于 12 的次数；（3）已知 A 组发言的学生中恰有 1 位女生，E 组发言的学生中有 2 位男生，现从 A 组与E 组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率。【答案】解：（1）由发言人数直方图可知 B 组发言人为 10 人，又已知 B、E 两组发言人数的比为 5:2，E 组发言人为 4 人。 又由发言人数扇形统计图可知 E 组为 8，发言人总数为 48%=50人。- 11 -由扇形统计图知 A 组、C 组、 D 组分别为 3 人，15 人，13 人。F 组为 5031015134=5 人。样本容量为 50 人。补全直方图为：(2) 在统计的 50 人中，发言次数大于 12 的有 45=9 人，在这天里发言次数不少于 12 的频率为 950=18%。全年级 500 人中，在这天里发言次数不少于 12 的次数为50018%=90（次）。（3）A 组发言的学生为 3 人，有 1 位女生，2 位男生。E 组发言的学生： 4 人，有 2 位女生，2 位男生。由题意可画树状图为：共有 12 种情况，所抽的两位学生恰好是一男一女的情况有 6 种，所抽的两位学生恰好是一男一女的概率为 。61=2【考点】频数分布表，频数分布直方图，扇形统计图，频数、频率和总量的关系，用样本估计总体，列表法或树状图法，概率。【分析】（1）根据 B、E 两组的发言人数的比求出 B 组发言人数所占的百分比，再根据条形统计图中 B 组的人数为 10，列式计算即可求出被抽取的学生人数，然后求出 C 组的人数，从而求出 F 组人数，补全直方图即可。（2）根据扇形统计图求出 F 组人数所占的百分比，再用总人数乘以 E、F 两组人- 12 -数所占的百分比，计算即可得解。（3）分别求出 E、F 两组的人数，确定出各组的男女生人数，然后列表或画树状图，再根据概率公式计算即可。21.（2012 四川内江 9 分）如图，矩形 ABCD 中，E 是 BD 上的一点，BAE=BCE ，AED =CED ，点 G 是 BC、AE 延长线的交点，AG 与 CD 相交于点 F。（1）求证：四边形 ABCD 是正方形；（2）当 AE=2EF 时，判断 FG 与 EF 有何数量关系？并证明你的结论。【答案】（1）证明：CED 是BCE 的外角，AED 是ABE 的外角，CED=CBE+ BCE ，AED=BAE+ ABE。BAE =BCE ，AED = CED，CBE=ABE 。四边形 ABCD 是矩形，ABC= BCD=BAD =90，AB=CD。CBE= ABE =45。 ABD 与BCD 是等腰直角三角形。AB=AD= BC=CD，四边形 ABCD 是正方形。（2）解：当 AE=2EF 时，FG =3EF。证明如下：四边形 ABCD 是正方形，ABCD，ADBC，ABEFDE，ADEGBE 。AE=2EF，BE ：DE=AE：EF=2。BC：AD=BE：DE=2，即BG=2AD。BC=AD，CG= AD。ADFGCF，FG ：AF=CG：AD ，即 FG=AF=AE+EF=3EF。【考点】矩形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定，- 13 -相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由BAE= BCE，AED=CED，利用三角形外角的性质，即可得CBE=ABE ，又由四边形 ABCD 是矩形，即可证得 ABD 与BCD 是等腰直角三角形，继而证得四边形 ABCD 是正方形。（2）由题意易证得ABEFDE，ADEGBE ，ADFGCF，由 AE=2EF，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得 FG=3EF。B 卷（共 60 分）4、填空题（每小题 6 分，共 24 分）22. （2012 四川内江 6 分）已知三个数 x, y, z,满足442,33xyyzz则 【答案】4。【考点】分式的化简求值，比例的性质。【分析】将该题中所有分式的分子和分母颠倒位置，化简后求出 的值，从而得xyz到 的值：xyz ，442,33yzzx 111x三式相加，得 ，即 。224xyz114xyz 。 。11xyzyxxyz23. （2012 四川内江 6 分）已知反比例函数 的图象，当 x 取 1，2，3，n 时，对应在反比例图象上的点分别为 M1，M 2，M 3，M n，则= 1223n1nPM PPSS - 14 -【答案】 。n12【考点】反比例函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系。【分析】如图，延长 MnPn-1 交 M1P1 于 N， 当 x=1 时，y =1，M 1 的坐标为（ 1，1）；当 x=n 时，y = ，M n的坐标为（ n， ）。1223n1nPM PP1223n1nSSPMPPM2 1 1N2 、。24. （2012 四川内江 6 分）已知 （ =1,2, ,2012)满足ia0，1968201321 a使直线 （ =1,2, ,2012)的图像经过一、二、四象限的 概率是 ixyi ia【答案】 。106【考点】绝对值，一次函数图象与系数的关系，概率公式。【分析】 （ =1,2, ,2012)，且iai， 12320129680124a 中有 22 个为负，1990 个为正。ia直线 （ =1,2, ,2012)的图像经过一、二、四象限， 只需 。iyxi 0ia- 15 -所求概率为 。210625. （ 2012 四川内江 6 分）已知 A（1，5），B（3，1）两点，在 x 轴上取一点 M，使AMBN 取得最大值时，则 M 的坐标为 【答案】（ ，0）。72【考点】一次函数综合题，线段中垂线的性质，三角形三边关系，关于 x 轴对称的点的坐标，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。【分析】如图，作点 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 AB并延长与 x 轴的交点，即为所求的 M 点。此时 AMBM=AM BM=AB。不妨在 x 轴上任取一个另一点 M，连接 MA、MB、M B则 MAM B=MAMB AB（三角形两边之差小于第三边）。M AM BAM -BM，即此时 AMBM 最大。B 是 B（3，1）关于 x 轴的对称点，B（3，1）。设直线 AB解析式为 y=kx+b，把 A（1，5）和 B（3，1）代入得：，解得 。直线 AB解析式为 y=2x+7。kb531k2 7令 y=0，解得 x= 。M 点坐标为（ ，0）。5、解答题（每小题 12 分，共 36 分）26. （2012 四川内江 12 分）已知ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点D 不与 B、C 重合），以 AD 为边作菱形 ADEF（A、D、E、F 按逆时针排列），使DAF=60，连接 CF（1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：BD= CF；AC=CF +CD；（2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系- 16 -【答案】解：（1）证明：四边形 AFED 是菱形，AF=AD。ABC 是等边三角形，AB=AC =BC，BAC=60= DAF。BACDAC=DAF DAC，即BAD=CAF 。在BAD 和CAF 中， AB=AC，BAD =CAF，AD=AF ，BADCAF（SAS）。CF =BD。CF+CD =BD+CD=BC=AC。即BD= CF，AC= CF+CD。（2）AC= CF+CD 不成立，AC、CF 、CD 之间存在的数量关系是AC=CFCD 。理由如下：由（1）知：AB=AC=BC，AD =AF，BAC=DAF=60，BAC+ DAC= DAF +DAC，即BAD=CAF。在BAD 和CAF 中，AC =AB，BAD =CAF ，AD=AF，BADCAF（SAS）。BD= CF。CFCD=BDCD =BC=AC，即 AC=CFCD。（3）补全图形如下，AC、CF、CD 之间的数量关系为 AC=CDCF。【考点】等边三角形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质- 17 -【分析】（1）根据已知得出 AF=AD，AB=BC=AC ，BAC=DAF =60，求出BAD=CAF ，由 SAS 证BADCAF，推出 CF=BD 即可。（2）求出BAD=CAF，根据 SAS 证BADCAF，推出 BD=CF 即可。（3）画出图形后，根据 SAS 证BADCAF，推出 CF=BD 即可：BAC= DAF =60，DAB=CAF ，在BAD 和CAF 中， AB=AC，DAB =CAF， AD=AF，BADCAF（SAS）。CF =BD。CDCF =CDBD =BC=AC。27.（2012 四川内江 12 分）如果方程 的两个根是 ，那么20xpq12,x请根据以上结论，解决下列问题：1212,.,xpxq（1）已知关于 的方程 求出一个一元二次方程，使它的两个根分2,(),mxn别是已知方程两根的倒数；（2）已知 满足 ,求 ；a、 b2215a0,150bab的 值（3）已知 满足 求正数 的最小值。、 、 c6bcc【答案】解：（1）设关于 的方程 的两根为 ，则有：x2,()mxn12,x，且由已知所求方程的两根为1212,.12, ， 。1212xn121xn所求方程为 ，即 。0m0()mx（2） 满足 ，a、 b225,5ab 是方程 的两根。 。、 1x15,ab 。222 247abab（3） 且 。0,16c0c16,cab 是一元二次方程 的两个根，a、 b2160x代简，得 。2cxc- 18 -又此方程必有实数根，此方程的 ，即 ，024160c。340c又 。 。c3404c正数 的最小值为 4。【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。【分析】（1）设方程 的两根为 ，得出 ，20,()xmn12,x12mxn，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答12xn案。（2）根据 满足 ，得出 是一元二次方程a、 b22150,150aba、 b的两个根，由 ，即可求出 的值。150x（3）根据 ，得出 ， 是一元二次方,6c 16,c、程 的两个根，再根据 ，即可求出 c 的最小值。26cx028.（2012 四川内江 12 分）如图 14，已知点 A（1，0），B（4，0），点 C 在 y 轴的正半轴上，且ACB=90 0，抛物线 经过 A、B、C 三点，其顶点为 M.2yaxb(1)求抛物线 的解析式；2yaxbc(2)试判断直线 CM 与以 AB 为直径的圆的位