圆和半平面上的迪利希莱（dirichlet）问题—泊松积分公式

圆和半平面上的迪利希莱（Dirichlet）问题泊松积分公式在第一章的2.5 中，我们曾讨论过调和函数与解析函数之间的密切联系。在这一节中，我们将继续阐述这种联系。具有物理应用的一类重要的数学问题是迪利希莱（Dirichlet）问题，即要找一个未知函数，它在某个区域内是调和的，而且在这个区域的边界上取得预先指定的值。例如图 2.8 所示，一半径为 1 的圆柱体充满导热的物质。我们知道，圆柱体内的温度是由调和函数 T(r, )来描述的。若圆柱体表面的温度是已知的，是由 sin cos 所给定的，2由于 T(r, )在 0r 1,0 2 上是连续的，因此，我们的问题是要求一个单位圆上的调和函数 T(r, )，使得 T(1, )= sin cos 。这2就是我们所要解的迪利希莱问题。图 2.8我们刚才所讨论的迪利希莱问题，其边界是简单的几何形状，如在大多数关于偏微分方程的教科书中所述的，通常用变量分离法来解，对更复杂的形状，有时要用共形映照的方法。这种方法将在以后讨论。在这节里，我们只讨论区域的边界是圆周或无限直线的情况。一圆的迪利希莱问题对解边界为圆周的迪利希莱问题，柯西积分公式是有帮助的。考虑 z-复平面上半径为 R，中心为原点的圆（见图 2.9）设 f(z)是在圆周=R 上及其内解析的函数。z图 2.9对这函数 f(z)和这圆周应用柯西积分公式，对圆内的任何一点 z，我们有f(z)= dw. (2-25)i21Rwzf)(令 z= ，它位于过圆点和点 z 的射线上，且 = R，因此，zR2 1zR2位于圆 R 的外部。于是，由柯西定理，我们有10= dw = . (2-i21Rwzf1)( dwzRfiw2)(226)将式(2-25)与式(2-26)的两边分别相减，我们获得f(z)= (2-27).)(212dwzRwfiR令 w=Re ，z=re ,于是 。将它们代入(2-27)式，我们有ii irezf(z)= .derRref iiii iiii 20 22)(R)1将分子和分母同时乘以 ，则分子=R ，分母=(Re)(ir2，于是，最后我们)cos(2e)(Re2)( rrrriii有f(z)= 。.)(Re)cos(2(2102 dfRri现将解析函数 f(z)表示成其实部 U 和 V，于是，f(re , f(Re ,上述方程成为)(),()riVUi )(),()Ii U(r, dRiVURririV ),(),(cos(221),()02 由于这个方程两边的实部必相等，于是我们得到下列泊松（Poisson）公式U(r, (2-28) 2022)cos(),(1) dRrU对 V(r, 与 V(R, ，我们也有类似的公式。泊松积分公式（2-28）是重要的。这个公式告诉我们：当 U 在圆周 上的取值 U(R, 已知时，则调和函数 U(r, 在这圆内任意一Rw) )点的值由公式(2-28)所给出。由于我们要求 f(z)在这半径为 R 的圆周上及其内部是解析的，因此读者必须假定方程(2-28)中的函数 U(R, 是连续的。事实上，这条)件可放宽成允许 U(R, 有有限个“跳跃的 ”不连续点，泊松公式仍)成立。例 2-6 如图 2.10 所示，设一根半径为 1 的导电的管子被无限裂缝分成两半。上半管（R=1，00 的区域)上是调和的,而在实数轴 =0 上 必须满v v足欲先给定的边界条件 .)0,(设 在 上是解析的.考虑闭围道 ,它由半),()vuiwfRC径为 R 的上半圆周 和实数轴上的线段 所组成。RRl,图 2.11令 z 是 C 內任何一点，由柯西积分公式，我们有R. (2-32)dwzfizfRC)(21)(由于 z 位于上半平面，则 必位于下半平面，因此，它必在 C的外部。于是，据柯西定理，有R. (2-33)dwzfiRC)(210将（2-32 ）式和（2-33）式的两边分别相减，我们获得RCzwfizf1)(21)(d)=， RRR lC dwzfidzfidzwfi )(21)(21)(21 令 z=x+iy，则 。上式右端的第二个积分 I 等于iyxz 2. （2-35）Rudf2)(记（2-34 ）右端的第一个积分为 I ，在 上 ，我们有1Ritwe。 021 .)(e)( dtzfydzwfyIitititR若在上半平面 v 上 ，则得 。于是，对任Mf) 21)(RMI意给定的点 z，我们有. (2-36)01limIR由于（2-34）式对任何 C 都是成立的，因此,我们有)(zR.221)()()(liyxudfyIzfR将 f(z)和 f(w)用它们的实部和虚部来表示，f(z)= ，f(w)= ，由（2-37）式，我们有),(),(yxi),(),(vi=,iyx duyxu2)(0于是，取实部，我们既得对上半平面的泊松积分公式:（2-38）),(yxduyxu2)(0,关于 与 也有相似的公式。,当 在整个实数轴上的值完全已知时，泊松积分公式（2-38）给出了调和函数 在上半平面内每一点的值。我们能证明，在上半平面),(yx上有界的迪利希莱问题的解是唯一的。若没有这个限制，还能找到其他的解。在我们的推导过程中，我们假定， 是在闭上半平面),(vu上解析的函数 f(u,v)的实部，这要求方程（2-38 ）中的函数0wIvm对 0 上，温度保持在 0 ，而在边界 v=0,u0，上，温度保持C在 。求整个导体的稳定的温度分布 。CT0 ),(yx图 2.12解 我们知道，温度 是一个调和函数，泊松积分公式（2-),(yx38）是直接可用的。我们有 ，又 ，于是;0,uT0,