向量组的线性相关性的判定

向量组的线性相关性的判定摘 要：向量组的线性相关性是线性代数中的一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其它许多理论.本文利用线性相关性的定义，行列式的值，矩阵的秩，齐次线性方程组的解，弗朗斯基判别法等知识对向量组的线性相关性进行了判定，并比较了几种不同判定方法的适用条件.关键词：向量组；线性相关；行列式引言向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用.线性相关性这个概念在许多数学专业课程中都有体现，如微分几何，高等代数和偏微分方程等等.它是线性代数理论的基本概念，它与向量空间(包括基，维数） ，子空间等概念有密切关系，同时在微分几何以及偏微分方程中都有广泛的应用.因此，掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义，也是解决其它问题的重要理论依据.向量组的线性相关与线性无关判定方法是非常灵活的.本文参考文献2介绍了线性相关的定义及其性质，并给出了证明.文献1、3、4、5 则是介绍了关于向量组线性相关判定的几种方法，给出了证明并举出了几个例子.本文从线性相关性的定义出发，分别运用了定义法、线性关系、向量空间的性质、矩阵的秩、行列式的值、反证法、线性变换的性质等几种方法对向量组的线性相关性进行了判定.如果向量组是函数，那么可用弗朗斯基判别法判定.特别是反证法，线性变换的性质，弗朗斯基判别法运用于一些复杂和特殊的题目，是比较方便的.1.向量组线性相关性的相关定义及性质定义 1.1 定义在 上的线性空间 ，对于给定的一组向量 ,1PV12,nx如果存在 个不全为 0 的数 ，使得n12,n.20nxx那么称 是线性相关的 .否则称 是线性无关的.12,nx 12,n性质 1.1 若 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余 个12,nx 1n向量线性表示.证明 若这 个向量线性相关，那么)n，120nxx其中 不全为 0，不妨设 ，那么可解得i0i.1niiixx所以该结论是成立的.如果其中一个向量可由其余向量线性表示，那么这 个向量是线性相关)n的.这是因为如果设，1211i iinxkxkxkx 那么移项得.1211()0iini 显然， 的系数为-1，那么由线性相关的定义知，这 个向量是线性相关ix的.性质 1.2 含有零向量的向量组必是线性相关的.性质 1.3 单个向量线性相关的充要条件是这个向量是零向量.性质 1.4 若向量组 线性无关， 线性相关，那么12,n 12,n可由 线性表示 . 12,n性质 1.5 如果向量组 的部分组12,m12(1,2)kkjn 线性相关，那么 也一定是线性相关的.即部分组线性相关，则整体线12,n性相关.向量组的线性相关与线性无关的概念也可应用于线性方程组.当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，那么称方程组是线性相关的.反之，它们是线性无关的.2.向量组线性相关性的判定方法2.1 定义法定义法是判定向量组的线性相关性的最基本的方法.对给定的 个向量n， 只需令12,nx.120nxx根据题中的条件去求 即可.12,n当 不全为 0 时， 是线性相关的.当 全为 012,n 12,nx 12,n时， 是线性无关的 .x例 1 设 线性无关，证明 也线性无关.123,1231,证明 设对于任意的 ，有123,k.2331()()()0k整理得.131223()()()kk由于 线性无关，得123,1320,.k解得 1230,.k所以 也线性无关.1231,例 2 设 ，判断它们的线性相关性.2nxPx解 设 ，令123,k，2123()(1)0kxk整理得,21233()x所以有 1230,.k解得.1230k从而 是线性无关的.21,x2.2 利用向量空间的性质进行判定利用向量组的线性相关性的性质也可以判定很多题目.例 3 判断 的相关性.12301,证明 由题意可得，312那么由性质 1.1 知， 是线性相关的.123,这种判定方法适用于具体的题目，一般不用于理论分析.定理 2.2.2 维向量空间中任意 个向量是线性相关的.n1n例 4 设 是 上的线性空间， 是 上的线性变换.证明 是线VPV22,n性相关的.证明 设 是 上所有的线性变换组成的集合， 关于线性变换的()L ()LV加法和数乘运算构成一个向量空间.而 的维数为 ，又因为()LV2n，22,n所以由定理 2.2.2 知 是线性相关的.2,从上面的例题可以看出，运用线性相关性的性质判断相关性是比较方便的，因此熟练地掌握线性相关性的性质显得尤其重要.2.3 利用齐次线性方程组的解进行判定在应用定义法解一个齐次线性方程组时，需由该方程组的解去判定这个向量组的相关性.即用定义法的同时也应用了齐次线性方程组的解进行了判定.一般地，要判断一个向量组 12(,)iiina是否线性相关就是看方程（1）120nxx有无非零解.从这里可以看出，如果向量组线性无关，那么在每一个向量上添加一个分量得到的 维的向量组 也是线性无关的.n121(,)iiinaa把（1）写出来就是（2）,12112120,.nnnxaxa 因之， （1）线性相关的充要条件是（2）有非零解 .2因此具体判断一个向量组是线性还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.例 5 设 ,试判断它们是否线性相关.123(,)(,1)(,21)xxx解 令.1230kk即 123,0.k解得 1230,.k故 是线性无关的.123,x2.4 利用矩阵的秩判定向量组的线性相关性定理 2.4.1 设向量组 是由 个 维列向量所组成的向量组，则12,m n向量组 的线性相关性可由该向量组所构成的矩阵12,m 12,(),mA的秩来决定 . 3（1）若 , 是无关的;()RA12,m（2）若 ，那么 就是相关的.,定理 2.4.2 设 是阶梯型矩阵，矩阵 经过一系列的行消法变换之后得4BA到 ，即 B.12.TTmB那么 元向量组 线性相关的充要条件是矩阵 中出现零行n12,m推论 向量组 线性无关的充要条件是矩阵 中不出现零行.6 B对矩阵 进行初等行变换化为阶梯型矩阵 的过程，实质上是对TA进行行向量的线性运算.如果 中出现零行，那么 中一12,m B12,m定有某个向量能被其余的 个向量线性表示，即 线性相关.相反112,地，若 中无零行，那么可知 是线性无关的.B2,m例 6 判断向量组 的相123(346)(,45,)(4,678,3)关性.解 将 以行排成矩阵，且经过一系列行消法变换，即123,.23462134625309781A由于矩阵 化为阶梯型之后没有出现零行，所以它们线性无关.例 7 设12 4(2,4),(1,0,)(,12),(1,)(1,2) ，试判断它们的线性相关性并求它们的一个极大无关组.解 将 写成列向量，拼成一个矩阵，并进行初等行变换，, 34， ， ，将此矩阵化为阶梯型. .210-1-220-3- 0-411-220-003-3-1所以 是线性相关的，从最后一个矩阵可以看出， 为, 34， ， ， 123,向量组的一个极大无关组.本方法把对向量组相关性的判别方法转化为矩阵的初等行变换，简单易懂.但该方法只适用于对 中的向量组进行判定，有很大的局限性.nP2.5 利用行列式的值来判定向量组的线性相关性定理 2.5.1 如果向量组 是由 个 维列向量所组成的向量组，12,n且向量组所构成的矩阵 ，也就是说， 为 阶方阵，那么()A An（1)若 ，则向量组 是线性相关的；0A12,n（2)若 ，则向量组 是线性无关的.例 8 已知 ,试讨论它们的线性相关性.123,42证明 由于 123,A140，12035所以 线性无关.123,行列式的值的判定性质实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解，然后再对向量组的线性相关性作出判定.但是该方法的局限性在于只有符合向量组的个数和单个向量的分量个数相等的条件时才用此法.2.6 反证法在有些题目中，直接的给出证明结论往往比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知的定义，定理，公里相悖的结果，从而说明原结论成立.例 9 设向量组 中任一向量不是它前面向量的线性组合，且12,n，证明向量组 是线性无关的.10证明 如果此向量组线性相关，则存在不全为 0 的 个数，使得n.12nkk假设 ,那么由上式可得0nk.112nnnkk即可由它前面 个向量线性表示，.故与题设矛盾，所以 0nk且.121nk同理可得，1220nk所以有 .由于 ，所以 ，即10k.12nkk这与 不全为 0 相矛盾.所以该向量组是线性无关的.ik2.7 利用线性变换的性质进行判定引理 2.7.1 设 是数域 上的线性空间， 是 上的一个线性变换，VPV，若 线性相关，则 也是线性相12,n 12,n 12(),()n关的.证明 由于 线性相关，那么存在不全为 0 的数 使得12,n 12,nk.12nkk由于 是 上的线性变换，那么有V.12()0n即.12()()()nkk因此， 是线性相关的.12(),n但是该定理反过来不一定成立.即 线性相关，12(),()n并不一定也是线性相关的.若 为零变换，假设 是线性无12,n 12,n关的，零变换把 全部变成零向量，它们是线性相关的，从而满足该12,n条件，但是 是线性无关的.推论 设 是数域 上的线性空间， 是 上的一个线性变换，若VPV是线性无关的，那么 也是线性无关的.12(),()n 12,n定理 2.7.1 设 是数域 上的线性空间， 是 上的一个线性变换，且是 V 中可逆的线性变换,线性空间 V 中的向量组 线性相关的充要12,n条件是它们的象 线性相关. 12(),()n证明 若 线性相关，则存在不全为 0 的数 ，使得n 12,nk.12nkk那么.12)0(nkk所以 是线性相关的.12),(n若 线性相关，则存在不全为 0 的数 ，使),)( 12,nk得，12)(nkk由于 是可逆的，那么有 ，12()0nk从而.12n所以 也是线性相关的 .12,n综上所述，该定理是成立的.2.8 运用弗朗斯基判别法进行判定如果向量组是由函数组成的话该怎么判定呢？而弗朗斯基判别法主要是判定多项式的相关性的. 定理 2.8.1（弗朗斯基判别法） 设 是 个 次可导的(),(),fxghwx n1函数，若， (1)(1)(1)(1)()()().()0.nnnnfxghxxf w则 就是线性无关的.(),.fxghwx例 10 判断 的相关性.1cos,in解 可以用弗朗斯基判别法进行判别.具体判断如下;因为，1cosin0i10ix所以它们是线性无关的.运用弗朗斯基判别法的一个缺点就是所要判定的函数必须具有高阶的导数才能判定，缺少了这个条件是不能判定的.结束语本文主要对向量组线性相关性的定义以及性质进行了分析，并且给出了一些判定方法，由于向量组的线性相关性是一个基础和重点问题，仅限于这些讨论是远远不够的，还有待我们作进一步的研究.参考文献1杨燕新，王文斌.关于向量组线性相关的几种判定J.山西农业大学学报， 2005（8151）：292-294.2罗秀芹，董福安，郑铁军.关于向量组的线性相关性的学习探讨J.高等数学研究，2005（9）：18-19.3李先富，胡劲松.判断向量组线性相关性的另一种方法J.四川理工学院学报（自然科学版） ，2005（9）：94-95.4肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法J.伊犁师范学报（自然科学版） ，2008（3）：58-59.5栾召平.证明向量组线性相关性的几种方法J.山东电大学报，2002（2）：61-626张文彬，余