山东省高考文科函数与导数二轮复习策略

1山东省高考文科函数与导数二轮复习策略一、近三年高考分析年山东高考文科数学双向细目表从近三年数学试题函数与导数分值分布统计表不难看出，试题坚持对基础知识、数学思想方法进行考查，重点考查了高中数学的主体内容，兼顾考查新课标的新增内容，在此基础上，突出了对考生数学思维能力和数学应用意识的考查，体现了新课程改革的理念。1整体稳定主要考察函数的性质与图像、函数的零点、导数极值，单调性，几何意义，恒成立问题，分类讨论思想。如 2009 年（6） 函数xey的图像大致为（ ）. 解析：本题考查对函数图象的判断，其方法一般是结合函数的性质：定义域、值域、单调性与奇偶性或一些特殊点来作出正确判断据已知函数解析式可得 )()(xff，即函数为考查内容2009 年分值考点明细 2010年分值 考点明细 2011年分值考点明细函数6.7.12.1419分函数图像，分段函数，函数的奇偶性、周期性，函数的零点，能力要求高3.5.11.15分复合函数，函数奇偶性，函数图像中档要求10.16.9分函数图像，函数的零点中档要求导数及其应用21 12分导数的应用中档偏难要求8.10.2122分导数最值，推理，几何意义和利用导数研究函数的性质中档偏难要求4.21.17分导数几何意义，导数实际应用求最值，分类讨论中档偏难要求2奇函数，其图象关于原点对称，从而排除 D又 12)(2xxeef ，易知当 0x时，12)(xef，且函数为减函数，故排除 B，C；只有 A 选项符合上述条件，故选 A2010 年（5） 设 ()f为定义在 R上的奇函数当 0x时， ()2()xfb为 常 数 ，则(1)f（ ）A. -3 B. -1 C. 1 D. 3解析：因为 xf为奇函数，所以 xff， 0f，则 1b， 12xf，3121f，故选 A本题考查利用函数的奇偶性求函数值，考查学生对函数基础知识的掌握属容易题2重视基础，难度适中，突出重点知识重点考查试题以考查函数与导数基础知识为主线，在基础中考查能力。如：2010 年（4）曲线 31yx在点 P(1，12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是（ ）A.-9 B.-3C.9 D.15思路分析：考点解剖：本题考查导数的运算、几何意义、直线方程等基础知识，考查基本运算能力和数形结合思想。解题思路：直接求出导函数，利用导数几何意义可得.解答过程：因为 23yx，且点为 (1,2)，所以切线斜率为 21|3xy，故切线方程为：)1(2xy即 9，令 0x，则 9y，答案为 C.规律总结：记住导数几何意义和常见函数的导数公式3考查新增内容，体现新课改理念如导数、函数的零点如 2009 年（14）若函数 f（x）a xxa（a0 且 a1）有两个零点，则实数 a 的取值范围是 解析：本题考查函数与方程的知识，注意函数的零点及方程的根和图象的交点三者之间的转3化，本题注意数形结合及分类讨论思想的应用若函数 )1a,0()(且xaf 有两个零点，等价于函数 axhaxg)(,)(的图象有两个不同的交点，如图当 时，易知两函数图象只有一个交点，不合题意舍去；当 1a时，由于函数 xag)(的图象过点（0，1） 而 axh)(与 y 轴的交点一定在（0，1）上方，且随着自变量的增大，指数函数的增长趋势大于一次函数的增长趋势，故如图可知两函数的图象一定有两个交点故 a 的取值范围是（1， ） 2011 年（16）已知函数 ()fx=log(0a1).axb ， 且 当 2a3b4 时，函数()fx的零点 *0(,1,nnN则 _.思路分析：考点解剖：本题考查函数的应用、函数零点的基础知识，考查分析问题解决问题的能力，考查数形结合思想解题思路：先假设出方程的根，再把方程根看做直线 )43(bxy与log(23)ayx的交点横坐标，推理可得.解答过程：设方程 log(0a1)axb ， 且 =0 的根为 0x,即函数 log(23)ayx的图象与函数 )4(by的交点横坐标为 0x,且 *(1)nN,结合图象,因为当(23)xa时, 1y,此时对应直线上 y的点的横坐标 )(bx，故所求的 2n.规律总结：函数与方程之间关联较多，复杂的方程问题一般都要回到函数上来，利用函数4的图像和性质解决问题.4突出通性通法、理性思维和思想方法的考查，考查导数的应用。如 2011 年（21）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米） ，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为 803立方米，且 2lr .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 (3)c .设该容器的建造费用为 y千元.（1）写出 y关于 r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的 r.思路分析：考点解剖：本题考查空间几何体的体积和面积，考查函数建模解决最值问题，考查导数在解决实际问题中的应用.解题思路：首先根据容积（体积）求出 lr,的关系，即使用 r表示 l，根据 rl2即可求出 r的取值范围，根据一个圆柱的侧面积和一个球的表面积建立建造费用 y与 的函数关系，然后使用导数求解这个函数的最小值.解答过程：解：（1）设容器的容积为 V，由题意知 23480,rlV又故322248040()3Vrl rr，由于 l，因此 0.所以建造费用 2 223()4,yrlcrrc因此 1604(),.（2）由（1）得 3228()08() ),2.cycrrr5由于 3,20,c所 以 当 33220,.rrcc时 令 3,m则 m0所以 2228() ().ymr当 90c即 时，当 r=时 , ;当 ()时 y .所以 rm是函数 y 的极小值点，也是最小值点。当 即 93c时，当 (0,2),ry时 函数单调递减，所以 r=2 是函数 y 的最小值点，综上所述，当 932c时，建造费用最小时 2;r当 9c时，建造费用最小时 320.rc规律总结：利用函数研究实际问题的最值的关键在于建立数学模型，因此要认真审题，分析各个量的关系，列出函数 ()yfr，再运用对应方法求解.二、2012 年高考函数函数导数部分预测函数与导数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，在近几年的高考中， 函数类试题在试题中所占分值一般为 22-35 分一般为 2个选择题或 2 个填空题，1 个解答题 ，而且常考常新。在选择题和填空题中通常考查函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。其主要表现在：1通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象。2在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。3从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查。4对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。5涌现了一些函数新题型。66函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。7多项式求导（结合不等式求参数取值范围） ，和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题。8求极值， 函数单调性，应用题，与立体几何等的结合。附 2012 高考预测题目及解析选择题：1.已知函数 f(x)Error!若 f(a)f(1)0，则实数 a 的值等于( )A3 B1 C1 D3【解析】 由已知，得 f(1)2；又当 x0 时，f(x)2 x1，而 f(a)f(1)0，f(a)2，且 a1 且 x1，故选 C.3.下列函数中，既是偶函数又在(0，)单调递增的函数是( )Ayx 3 By|x|1 Cyx 21 Dy2 |x|【解析】 A 选项中，函数 yx 3是奇函数；B 选项中，y 1 是偶函数，且在|x|上是增函 数；C 选项中，yx 21 是偶函数，但在 上是减函数；D 选项(0， ) (0， )中，y2 |x| |x|是偶函数，但在 上是减函数故选 B.(12) (0， )4.设 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0x1 时，f(x)2x(1x)，则 f ( ) (52)A B C. D.12 14 14 12【解析】 因为函数的周期为 2，所以 f f f ，又函数是奇函数，f(52) (2 12) (12) 12f ，故选 A.(52) (52) 1275.若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)g(x)e x，则 g(x)( )Ae xe x B. (exe x ) C. (ex e x) D. (exe x )12 12 12【解析】 因为函数 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以 f g f(x)( x) ( x)g e x .又因为 f(x)g e x，所以 g .(x) (x) (x)ex e x26.已知函数 yf(x)的周期为 2，当 x1,1时 f(x)x 2，那么函数 yf(x)的图像与函数 y|lgx|的图像的交点共有( )A10 个 B9 个 C8 个 D1 个【解析】 由题意做出函数图像如图，由图像知共有 10 个交点图 157. 设函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)，f(x2)f(x)，则 yf(x)的图像可能是( )【解析】 由 f(x)f(x)可知函数为偶函数，其图像关于 y 轴对称，可以结合选项排除A、C，再利用 f(x2)f(x)，可知函数为周期函数，且 T2，必满足 f(4)f(2)，排除D，故只能选 B.8.在下列区间中，函数 f(x)e x4x3 的零点所在的区间为( )A. B. C. D.(14， 0) (0， 14) (14， 12) (12， 34)【解析】 因为 f e 20，(14) 14 (12) 12所以 f f 0)时，取800 x8x1x 800x x8 800x x8 800x x8最小值，故选 B.11. 曲线 ye x在点 A(0,1)处的切线斜率为( )A1 B2 Ce D.1e【解析】 ye x，故所求切线斜率 ke x|x0 e 01.12. 曲线 yx 311 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( )A9 B3 C9 D15【解析】 因为 y3x 2，所以 ky| x1 3，所以过点 P(1,12)的切线方程为y123(x1)，即 y3x9，所以与 y 轴交点的纵坐标为 9.13. 曲线 yx 33x 2在点(1,2)处的切线方程为( )Ay3x1 By3x5 Cy3x5 Dy2x【解析】 y3x 26x，点(1,2)在曲线上，所求切线斜率 ky| x1 3.由点斜式得切线方程为 y23(x1)，即 y3x1.故选 A.14.若 a0，b0，且函数 f(x)4x 3ax 22bx2 在 x1 处有极值，则 ab 的最大值等于( )A2 B3 C6 D9【解析】 f(x)12x 22ax2b，9f(x)在 x1 处有极值，f(1)0，即 122a2b0，化简得 ab6，a0，b0，ab 29，当且仅当 ab3 时，ab 有最大值，最大值为 9，故选 D.(a b2 )15.函数 f(x)ax n(1x) 2在区间0,1上的图像如图 12 所示，则 n 可能是( )图 12A1 B2 C3 D4【解析】 由函数图像可知 a0.当 n1 时，f(x)ax(1x) 2a(x 32x 2x)，f(x)a(3x1)(x1)，所以函数的极大值点为 x 0.5，故 C 错误；35当 n4 时，f(x)ax 4(1x) 2a(x 62x 5x 4)，f(x)a(6x 510x 44x 3)2ax 3(3x2)(x1)，函数的极大值点为 x 0.5，故 D 错误2310填空题：1. 设 f(x)Error!则 f(f(2)_.【解析】 因为 f(x)Error!20，f(10 2 )lg10 2 2.2.函数 f(x)的定义域为 A，若 x1，x 2A 且 f(x1)f(x 2)时总有 x1x 2，则称 f(x)为单函数，例如，函数 f(x)2x1(xR)是单函数下列命题：函数 f(x)x 2(xR)是单函数；指数函数 f(x)2 x(xR)是单函数；若 f(x)为单函数，x 1，x 2A 且 x1x 2，则 f(x1)f(x 2)；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中的真命题是_(写出所有真命题的编号)【解析】 本题主要考查对函数概念以及新定义概念的理解对于，如2,2A，f(2)f(2)，则错误；对于，当 2x12x 2时，总有 x1x 2，故为单函数；对于根据单函数的定义，函数即为一一映射确定的函数关系，所以当函数自变量不相等时，则函数值不相等，即正确；对于，函数 f(x)在定义域上具有单调性，则函数为一一映射确定的函数关系，所以正确3.设函数 f(x) ，若 f()2，则实数 _.41 x【解析】 f() 2，1.41 4.函数 f(x)log 5(2x1)的单调增区间是_【解析】 因为 ylog 5x 为增函数，故结合原函数的定义域可知原函数的单调增区间为.(12， )5.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2x 2x，则 f(1)_.【解析】 法一：f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 x0 时，f(x) 2x 2x，f(1)f(1) 2(1) 2(1)3.法二：设 x0，则x0)的图象上的动点，该图象在点 P处的切线 l 交 y 轴于点 M，过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N，设线段 MN 的中点的纵坐标为t，则 t 的最大值是_【解析】 设 P(x0，y 0)，则直线 l：yex 0ex 0(xx 0)令 x0，则 yx 0ex0ex 0，与 l 垂直的直线 l的方程为 yex 0 (xx 0)，1ex0令 x0 得，y ex 0，所以 t .x0ex0 x0ex0 2ex0 x0ex02令 y ，则 y ，令 y0 得 x1， xex 2ex xex2ex x 1 x 1ex2当 x(0,1)时，y0，当 x(1，)时，y0 时，由 f(x)0 得 x1，由 f(x)0 得 01. 综上，当 a0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)；当 a0，知ax22ax10 在 R 上恒成立，因此 4a 24a4a(a1)0，由此并结合 a0，知0 1 或 a 1 时，不等式 10，g(x)0 的两根都小于 0.在(0，)上，f(x)0.故 f(x)在(0，)上单调递增当 a2 时，0，g(x)0 的两根为 x1 ，x 2 .a a2 42 a a2 42当 00；当 x1x2时，f(x)0.故 f(x)分别在(0，x 1)，(x 2，)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减(2)由(1)知，a2.16因为 f(x1)f(x 2)(x 1x 2) a(lnx 1lnx 2)，所以，x1 x2x1x2k 1 a .f x1 f x2x1 x2 1x1x2 lnx1 lnx2x1 x2又由(1)知，x 1x21，于是k2a .lnx1 lnx2x1 x2若存在 a，使得 k2a，则 1.lnx1 lnx2x1 x2即 lnx1lnx 2x 1x 2.亦即 x2 2lnx 20(x 21)(*)1x2再由(1)知，函数 h(t)t 2lnt 在(0，)上单调递增，而 x21，所以1tx2 2lnx 21 2ln10.这与(*)式矛盾1x2 11故不存在 a，使得 k2a.8. 设 f(x) x3mx 2nx.13(1)如果 g(x)f(x)2x3 在 x2 处取得最小值5，求 f(x)的解析式；(2)如果 mn0 即 m2n.不妨设两根为 x1，x 2，则|x 2x 1|2 为正整数m2 n又 mn0，知ax22ax10 在 R 上恒成立，因此 4a 24a4a(a1)0，由此并结合 a0，知01