常微分方程与差分方程知识点

常微分方程与差分方程知识点考试纲要常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程微分方程的简单应用差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程考试要求1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法3、会解二阶常系数齐次线性微分方程4、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程5、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念6、了解一阶常系数线性差分方程的求解方法7、会用微分方程求解简单的经济应用问题重要知识点1、微分方程通解中任意常数的个数与微分方程的阶数相同2、变量可分离微分方程解法 ()()gydfx()()gydfx()GyFxC3、齐次微分方程解法设 再用 代替()dxux()uxu附：可化为齐次的方程 11111 110, ,()0, cabxXhhkyYkdyaxbabdyaxbycc axbyvabvx 可 化 为 齐 次 微 分 方 程设 带 入 原 方 程 解 出 可 化 为 齐 次 微 分 方 程或 设 令则 可 化 为 的 变 量 可 分 离 微 分 方 程4、一阶线性微分方程解法 ()() ()()():()0,()PxdPxd PxdPxdPxdyyCey xQuuxQeCeeC 齐 次 方 程 通 解特 解 （ 常 数 变 异 法 ） 代 入 原 方 程 解 出个人总结：对于 ，首先计算 ，通解为()yQdx()Pxdue()xyud5、线性微分方程解的性质及解的结构定理定理 1：如果函数 与 是方程 的两个解，那么 也是1()y2()()0yxQ12()()Cyx该方程的解，其中 是任意常数（不一定是通解）,C定理 2：如果函数 与 是方程 的两个线性无关的特解，那么1()yx2()()yPxy（ 是任意常数）是该方程的通解12()y,定理 3：设 是二阶非齐次线性方程 的一个特解， 是该方程对应的齐*x()()yxQyfx()Yx次方程的通解，那么 是该二阶非齐次线性方程的通解*()()yYx定理 4（叠加原理）：设齐次线性方程 的 可以分解为两个函数的和，即()yPxyfx()f，而 与 分别是方程 与12()()fxfx*1()*2() 1Qyfx的特解，那么 就是原方程的特解2yPQyf*12()yx6、二阶常系数齐次线性微分方程的解法二阶常系数齐次线性微分方程 的求解步骤：0pq第一步：写出特征方程 ；第二步：求特征方程的两根 ；2rx 12,r第三步：根据根的情况，按下表写出通解根的情况 通解两个不相等实根 12,r 12rxrxyCe两个相等实根 112()r一对共轭复根 1,2ri 2cosin)axyex7、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法二阶常系数非齐次线性微分方程 ()ypqfx待定系数法求特解（1 ） ()()xmfeP特解形式： *kxyQ不是特征方程的根， 0是特征方程的单根，1是特征方程的重根， 2k（2 ） ()()cos()sinxlfePxx特解形式： ，*kmmyQR ax,ln不是特征方程的根，i0是特征方程的单根，1个人总结：自由项为多项式 ，()()xmfeP自由项为指数函数 ，()1x自由项为正弦函数 ，()cossinxlfePx0,(),()1lnPx特解设为 *cosinkyxab自由项为余弦函数 ，()()cs()sixl nfexx,(),()0lnx特解设为 *csikyx8、一阶常系数差分方程的概念及一般形式含有自变量、自变量的未知函数及其差分的方程，称为差分方程。一阶常系数线性差分方程的一般形式为：，其中常数 。对应的齐次方程为1()ttyaf0a10ttya9、一阶常系数差分方程的通解与特解齐次方程 的通解为 ，其中 是一个任意常数。1tty ttyC若给定初始条件 ，则 即为满足该初始条件的特解。00ta对于非齐次方程 ，其通解也是非齐次方程的一个特解 与对应齐次方程通解之和。即：1()ttyaf *ty。*tttyC10、几种常见情形下非齐次方程特解所具有的形式的形式()ft 方程中系数 的取值a特解 的形式*ty10()mQmP其中 是 次多项式()t tabtAbtMb其中常数 0,10tcos