常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的解法摘要：本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合，举出了每个方法的例题，以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解.关键词：特征根法；常数变易法；待定系数法Method for solving the system of differential equationwith Constant Coefficients LinearAbstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysis and synthesis method, the method of each sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution.Key Words: Characteristic root；Variation law；The undetermined coefficient method前言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的解常系数线性微分方程。1预备知识复值函数与复值解如果对于区间 中的每一实数 ，有复值 与它对应，atbtztit其中 和 是在区间 上定义的实函数， 是虚数单位，我们tt1i就说在区间 上给定了一个复值函数 .如果实函数 ， 当 趋zttt于 时有极限，我们就称复值函数 当 趋于 时有极限，并且定义0t t0.000limlilimtttz如果 ，我们就称 在 连续.显然， 在 连续相当于 ，0litzzt0t在 连续.当 在区间 上每一点都连续时，就称 在区间tatbzt上连续.如果极限 存在，就称 在 有导数（可微）.且atb00limtzt zt0记此极限为 或者 ，显然 在 处有导数相当于 ， 在0dzt0ztzt0tt处有导数，且0t.000dzttdti如果 在区间 上每点都有导数，就称 在区间 上有导数.对ztatbztatb于高阶导数可以类似地定义.设 ， 是定义在 上的可微函数， 是复值常数，容易验证1zt2tatbc下列等式成立：，1212dzttdzt，11ztctd.122211tdztdztz在讨论常系数线性微分方程时，函数 将起着重要的作用，这里 时复值KteK常数.我们现在给出它的定义，并且讨论它的简单性质。设 时任依复数，这里 ， 是实数，而 为实变量，Kit我们定义. cosinittteet由上述定义立即推得，1cos2ititte.initit2常系数齐次线性微分方程解法分析形如 (1) 11.nnnyayafx的方程称为 n 阶常系数线性非齐次方程，其中 ，如果1,2.iRn，即0fx(2)11.0nnnyaya称为 n 阶常系数线性齐次微分方程.为求(2)的解，可以用特征根法（或称 待定指数函数法） ，其基本思想Euler是将微分方程（2）的求解问题转化为代数方程：(3)11.0nnaa的求根问题，而不必经过积分运算，只要求出方程(3)的全部根，就能写出方程(3)的通解，问题彻底解决.根据解的结构定理，只要求出方程(1)的的任一特解 ，借助于方程(2)的通*y解，就可写出方程(1)的通解。求方程(1) 的特解 的方法有常数变易法，待定系*数法，拉普卡斯变换法。常数变易法是求特解(1)较一般方法，适用于较为一般的函数 ，缺点是计算较为繁琐，而且还必须进行积分运算，可能会遇到积fx分上的困难，此解决还有一个缺点是 满足的方程组不易推导， 1,2.icxn因此在求方程(1) 的特解 时，一般不提倡此法。其余二种解法只适用于*y（其中 为非负整数，cossinxmkfePxQx,Rmk， ，分别是 次和 次实系数多项式）.mk，3.一阶常系数线性方程组的解法分析形如(4)dyAFxx的方程组称为一阶常系数线性非齐次方程组.其中 ， ， .1,2.Tnyijna12,.Tnfxf当 时，即0Fx(5)dyAx称为一阶常系数线性齐次方程组.求方程组(5)的解，一般需先考虑 A 的特征根。当 A 的特征根为单根时，用特征根法，此时只需提出每个特征根所对应的特征根向量，便可得到方程组(5)的通解；（当特征根时单复根时，需引入复根的概念在经过技术处理得到实解） ；当 A 的特征根有重根时，用特定系数法，也可以用 A 的特征根求出指数矩阵 而得到方程组 (5)的通解，还可以不考虑 A 的特征根，Laplace 变换法求xe解，至于求方程组(4)的某一特征解 ，一般用常数变易法 .*y4.典型例题4.1 特征根法例 1 求方程 的通解.40dxt解 特征方程 的根为 有两个实根和两411234,.ii个复根，均是单根，故方程的通解为，1234cosinttxcett这里 是任意常数.1234,c例 2 求解方程420.dxtt解 特征方程为 ，或 ，即特征根是重根.因此，方程有四421021个实值解 cos,in,stt故通解为，1234cossinxtt其中 为任意常数.1234,c例 3 求方程 的通解.320dxdxttt解 特征方程 或 即 是三重根，因此321,30,1方程的通解具有形状 213,txcte其中 为任意常数.1234,c4.2 常数变易法例 1 求方程 的通解，已知它的对应齐次线性微分方程的基1cosxt本解组为 cos,in.t解 应用常数变易法，令 12cosin,xtt将它带入方程，则可得决定 和 得两个方程 12csi0,ttc及 1inost解得 12sin,ctt由此 1221los,.cttt于是原方程的通解为 12sincslosin,xtttt其中 为任意常数.12,例 2 求方程 于域 上的所有解 2txt0解 对应的齐次线性微分方程为 ,tx求得它的基本解组.事实上，将方程改写成 1,xt积分即得 所以 这里 为任意常数 易见基本解组 为,xAt21,xtB,A21,t应用上面的结论，我们将方程组改写为 ,xt并以 代入，可得决定 和 的两个方程21xctt1c2和210ctt,tt于是 322,11,6tctt故得原方程组的通解为 231,xt这里 是任意常数，它包含了方程组的所有解.12,4.3 比较系数法例 1 求方程 的通解.231dxttt解 先求对应的齐次线性微分方程 230dxtt的通解.这里特征方程 有两个根 .因此，通解为212,，其中 为任意常数.再求非齐次线性微分方程的一个特312ttxce12,c解.这里 又因为 不是特征根，故可取特解形如 ，其中00xABt为特定常数，为了确定 ，将 代入原方程，得到,AB,ABxt231,BAt比较系数得 ,231由此得 ，从而 ，因此，原方程的通解为1,3BAxt.3123ttce例 2 求方程 的通解.2tdxtt解 从上例知道对应的齐次线性微分方程的通解为 312ttxce其中 为任意常数.现求原方程的一个特解,这里 ,因为 刚好特12c ()tfe1征方程的单根,故有特解形如 ,将它代入原方程得到 ,从而txAe4ttAe,于是 ,而原方程的通解为4A14txe.3124tttxcee例 3 求方程 的通解24osdttt解 特征方程 有重根 因此，对应的其次线性微2012分方程的通解为 21(),txce其中 为任意常数。现求非其次线性微分方程的一个特解。因为 不是特12,c 2i征根，我们求形如 的特解，将它代入原方程并化简得到cos2inxAtBt8s2co.t比较同类项系数得 ，从而 ，因此原方程的通解为10,1i8x21()sn.tcet复数法解例 3解 有例 3 一直对应的齐次线性微分方程的通解为 21()txce为求非齐次线性微分方程的一个特解，我们先求方程224itdxett的特解。这属于类型 ，其中 及 101.mtmfbbtib为实常数而 不是特征根，故可设特解为 ，将它代入方0,12.im2i 2itxAe程并消去因子 得 ，因而 ， ，分2ite81A8i21cosin8itxett出它的实部 ，根据定理 9 这就是原方程的特解，于是原方程的Rsinxt特解为 21()sin8txcet与例 3 所得结果相同。总结：常微分线性方程的求解还有很多方法，以上是对它的解法的部分求解，还不全面，还需要我们从多个方面来了解常微分线性方程的求解方法.参考文献叶彦谦.常微分方程讲义 .第二版.北京:高等教育出版社,1988,182-192.1M王怀柔,伍桌群.常微分方程讲义 .北京:人民教育出版社,1979,122-133.2国振喜.工程微分方程 .北京:机械工业出版社,2004,85-87.3李瑞遐.应用微分方程 .上海:华东理工