平均数问题

WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD第 1 页 共 16 页WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD写在前面的话1、朋友们的热心，是 qzzn(求职指南论坛)行政职业能力测试版发展的动力！也是加入到 qzzn 的各位朋友共有的财富！2、所有汇编资料，免费提供，仅供大家交流和学习。请在学习结束后，自行删除!3、严禁用于商业用途！4、希望在公务员考试的道路上，有 qzzn，有行政职业能力测试版的陪伴，大家能同进步、共发展！5、最后，祝愿大家在即将的考试中，金榜题名，马到成功！qzzn(求职指南论坛) 行政职业能力测试版 版主westwood 2006 年 3 月 2 日WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD第 2 页 共 16 页WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD平均数问题甲班和乙班，在数学期终考试中，考一样的题目，哪一个班考得好呢？ 把每一个班所有人的得分加起来，然后除以这个班的人数，就得出这个班的平均分数.哪一个班平均分数高，就算哪一个班考得好.篮球队员的身材都很高，一个队里还是有高有矮，哪个篮球队身材更高呢？把一个队所有队员的身高数加起来，再除以全队人数，就算出这个队的平均身高.通常，用平均身高来衡量一个球队的身材高矮.要衡量“若干个数” 的大小，常用的办法就是求它们的平均值.求平均值有两种方法，我们通过一个例子来说明.例 1 一学期中进行了五次数学测验，小明的得分是95，87，94 ，100，98.那么他的平均成绩是多少？解：方法 1 把所有分数加起来，除以次数，即（9587 9410098 ）594.8.方法 2 先设一个基数，通常设其中最小的数，例如本题设 87 为基数，求其他数与 87 的差，再求这些差的平均值，最后加上基数，即（95-87） +（87-87）+（94-87）+（100-87 ）+（98-87）5+87=（ 8+0+7+13+11）5+87=7.8+87WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD第 3 页 共 16 页WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD=94.8.对若干个数求平均数，概括成以下两种方法.方法 1：各个数的总和 数的个数方法 2：基数 +每一数与基数的差求和数的个数.这两种方法将形成两种解题思路.方法 2 的好处是使计算的数值减小，减少计算量，特别便于心算. 当然，也可以设其他的数为基数.进入中学后，学了负数，我们还可以设中间的那个数作为基数.方法 2 启示我们，求平均数就是把数之间的“差” 扯平.一、一些简单的问题求平均数可以产生许多数学题，这一节将通过一些简单的例子，增加对“平均” 这一概念的理解.例 2 小明 4 次语文测验的平均成绩是 89 分，第 5 次测验得了 97 分，5 次测验的平均成绩是多少？解：按照例 1 中的两种思路，有两种计算方法：先算出 5 次成绩的总和，再求平均成绩，就有（894+97）5=90.6 （分）.从算每一次“差” 的平均入手，就有89+（97-89）5=90.6（分）.很明显，第二种方法计算简易.例 3 小强 4 次语文测验的平均成绩是 87 分，5 次语文测验的平均成绩是 88.4 分，问第 5 次测验他得了多少分？解：两种思路，两种计算方法：WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD第 4 页 共 16 页WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD从总分数（总成绩）来考虑.第 5 次成绩=5 次总成绩-4 次总成绩=88.45-874=94（分）.从“差的平均” 来考虑，平均成绩要提高88.4-87.因此，第 5 次得分应是87+（88.4-87 ）5=94 （分）.请大家想一想，例 2 与例 3 这两个问题之间的关系.例 4 小明前几次数学测验的平均成绩是 84 分，这一次要考 100 分，才能把平均成绩提高到 86 分，问这一次是第几次测验？解：平均每次要提高（86-84）分，这一次比原来的平均成绩多了（100-84）分，平均分摊在每一次上，可以分摊多少次呢？（100-84） （86-84）=8（次）.因此这一次测验是第 8 次.例 5 寒假中，小明兴致勃勃地读西游记，第一天读 83 页，第二天读 74 页，第三天读 71 页，第四天读 64 页，第五天读的页数，比五天中平均读的页数还多 3.2 页，问小明在第五天读了多少页？解：前四天，每天平均读的页数是（83+74+71+64 ）4=73（页）.WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD第 5 页 共 16 页WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD很明显，第五天读的页数比 73 页多，由此平均数就增加了.为了便于思考，画出下面的示意图：图上“73”后面的虚线，表示第五天后增加的平均数，现在要用 3.2 去补足这些增加的平均数值，3.2共要补足四份，每份是3.54=0.8.由此就知道，第五天读的页数是73+0.8+3.2=77 （页）.例 6 甲、乙、丙三人，平均体重 63 千克.甲与乙的平均体重比丙的体重多 3 千克，甲比丙重 2 千克. 求乙的体重.解：甲与乙的平均体重比丙的体重多 3 千克，也就是甲与乙的体重之和比两个丙的体重多 32=6（千克）.已知甲比丙重 2 千克，就得出乙比丙多32-2=4 （千克）.从方法 2 知道丙的体重+差的平均=三人的平均体重.因此，丙的体重=63- （32）3=61（千克）.乙的体重61+4=65 （千克） .WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD第 6 页 共 16 页WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD例 7 下面是一串有规律的数5，9，13 ，17，21，25 ，29.从小到大排到，后一个数与前一个数的差都是 4，求这串数的平均数.解：上面共有 7 个数，第 2 个数比第 1 个数多 4，而第 6 个数比第 7 个数少 4.因此，第 1 个和第 7个的平均数（5+29）2=17 ，与第 2 个和第 6 个的平均数（9+25）2=17 是相等的. 同样道理，第3 个和第 5 个的平均数也是 17.由此，可以得出这串数的平均数，就是头、尾两数的平均值 17.当把一些数排列好前后次序，相邻的两个数，后一个减前一个的差都相等，这列数，就称为等差数列.例7 中的这串数就是一个等差数列.等差数列可长可短，不论它有多少数，总有一个基本性质：它的所有数的平均数，就是头、尾两数的平均数.很明显，当等差数列有奇数个数时，这一平均数恰好是最中间的这个数.当等差数列有偶数个数时，这一平均数也就是最中间两个数的平均数.利用这一性质，我们很容易求一个等差数列的所有数之和，它等于平均数乘以数的个数.例 7 中 7 个数之和是（5+29）27=119.例 8 小强在前五天平均每天做了 3.6 道数学题，第四、五两天共做了 5 题.第六天，为了使后三天的平均数超过六天的平均数，第六天他至少要做多少题？解：（前三天题数3+ 后三天题数3）2=六天题数6.因此，只要后三天平均数超过前三天平均数，也就是后三天做的题数，比前三天做的题数多，后三天的平均数就超过六天平均数了.前三天做的题数是3.65-5=13（题） .第四、五天已做了 5 题，13-5=8，小强第六天至WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD第 7 页 共 16 页WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD少要做 9 题.答：小强第六天至少要做 9 题.二、部分平均与全体平均例 9 某次考试，21 位男同学的平均成绩是 82 分，19 位女同学的平均成绩是 87 分，全体同学的平均成绩是多少？解：有两种求法：方法 1男同学的总分数 8221=1722，女同学的总分数 8719=1653，全体同学的总分数 1722+1653=3375，全体同学的人数 21+19=40，全体同学的平均成绩 337540=84.375.方法 2以男同学的平均成绩 82 分作为计算的基数，女同学每人平均多（87-82）=5（分），19 人多了 519=95（分），现在平均分摊给全体 40 人.因此，全体同学的平均成绩是82+（87-82）1940=82+9540=84.375（分）.WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD第 8 页 共 16 页WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD注意 从部分的平均数，来求全体的平均数，不能简单地把部分平均数再进行求平均，如例 9，（82+87）2=83.5，它不是全体的平均成绩.这一基本概念，大家必须弄清楚.例 10 甲班 52 人，乙班 48 人.语文考试中，两个班全体同学的平均成绩是78 分，乙班的平均成绩要比甲班的平均成绩高 5 分.两个班的平均成绩各是多少？解：两个班的全体人数是52+48=100（人）.他们的分数总和是78100=7800（分）.以甲班同学的平均成绩为基数，乙班每人平均多了 5 分，如果乙班的分数总和少了 548=240（分），乙班的平均成绩就与甲班的一样，因此甲班的平均成绩是（7800-240）100=75.6（分）.乙班的平均成绩是75.6+5=80.6（分）.例 11 女同学的人数是男同学人数的一半，男同学的平均体重是 41 千克，女同学的平均体重是 35 千克，全体同学的平均体重是多少千克？解：题目没有告诉我们女同学或男同学有多少人，怎么办？设全体女同学是 1 组人，那么男同学就是 2 组人.女同学的体重总和： 351 组人数.WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD第 9 页 共 16 页WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD男同学的体重总和： 412 组人数.全体总人数：（1+2）组人数.全体同学平均体重是（351+412）（1+2）=39（千克）.上面算式中每一项都有“组人数”，因此可以约掉.实际上和“1 个女同学与 2 个男同学”的情形一样.还有一种计算方法，以女同学体重为基数，2 组人每人都多（41-35）千克，平摊给（2+1）组人，因此全体同学的平均体重是35+（41-35）2（2+1）=39（千克）.例 12 某班有 50 人，在一次数学考试后，按成绩排了名次.结果，前 30 名的平均分数比后 20 名的平均分数多 12 分.一位同学对“平均”的概念不清楚，他把前 30 名的平均成绩，加上后 20 名的平均成绩，再除以 2，错误地认为这就是全班的平均成绩.这样做，全班的平均成绩是提高了，还是降低了？请算出提高多少或降低多少.解：全班平均成绩降低了.按照这位同学的计算，相当于把前 30 名同学比后 20 名同学平均多出的 12分作了平分.因此相当于前 30 名同学每人少了 6 分，后 20 名同学每人多了 6 分，合起来全班的总分就少了306-206=60（分）.全班的平均成绩也就降低了60（30+20）=1.2（分）.WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD第 10 页 共 16 页WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD例 13 某学校入学考试，确定了录取分数线.报考的学生中，只录取了均分比录取分数线低 26 分.所有考生的平均成绩是 70 分.那么录取分数线是多少？我们把录取学生的人数算作 1，没有被录取的人数算作 3.以录取分数线作为基数，没有被录取的考生总共少了 263 分，录取的学生总共多了 101 分，合起来，总共少了263-101（分）.对所有考生来说，每人平均少了（263-101）（3+1）=17（分）.也就是每一考生的平均分 70（分）比录取分数线少了 17（分），因此录取的分数线是70+17=87（分）.注意 这道题可检验如下：没有被录取的考生的平均成绩是 87-26=61（分），被录取考生的平均成绩是 87+10=97（分）.全体考生的平均成绩是61+（97-61）（3+1）=70（分），或（613+971）（3+1）=70（分）.WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD第 11 页 共 16 页WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD由此就知道，上面解答是正确的.例 14 某次数学竞赛原定一等奖 10 人，二等奖 20 人.现在将一等奖中最后4 人调整为二等奖，这样得二等奖的学生平均分提高了 1 分，得一等奖的学生的平均分提高了 3 分.那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？解：根据题意前六人平均分=前十人平均分+3.这说明在计算前十人平均分时，前六人共多出 36=18（分），来弥补后四人的分数，因此后四人的平均分比前十名平均分少184=4.5（分）.当后四人调整为二等奖后，这时二等奖共有 20+4=24（人），平均每人提高了 1 分，这由调整进来的四人来供给，每人平均供给244=6（分）.后四人平均分=（原二等奖平均分）+6.与前面算出的前六人平均分比较，就知原来一等奖平匀分比原来二等奖平均分多4.5+6=10.5（分）.我们可以画出示意图来说明上面的计算.WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD第 12 页 共 16 页WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD从前十名来说，前六名用二条虚线所夹部分，来弥补后四人的二条虚线所夹部分这一块的不足.对二等奖来说，可以画出如下示意图：三、从平均数求个别数例 15 A，B，C，D 四个数的平均数是 38，A 与 B 的平均数是 42；B，C，D 三个数的平均数是 36，那么 B 是多少？解：A，B，C ，D 四个数的平均数是（A+B+C+D）4=（ A+B）4+ （C+D）4=（A+B）2+ （C+D）+22.这说明 A 与 B 的平均数，C 与 D 的平均数，两者的再平均，就是四个数的平均数 .因此，C 与 D 的平均数是382-42=34.题目已给出 B，C ，D 三个数的平均数 36，B 是34+（36-34）3=40.还有一个解法：WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD第 13 页 共 16 页WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD四个数的平均数是 38，B，C，D 三个数的平均数是 36，还是按照例 3 中的计算，A 是36+（38-36）4=44.己知 A 与 B 的平均数是 42，因此 B 是422-44=40.注意 知道若干个数的平均数，也就是知道了它们的和，已知 A，B ，C，D 四个数的和，又已知其中三个数 B，C，D 的和，自然能求出（做一次减法）第四个数 A.又已知 A 与 B 的和，就很容易求出 B，这就是例 15 的实质.例 16 某次考试，A，B ，C，D，E 五人的成绩统计如下：A，B，C，D 的平均分 75 分 .A，C，D ，E 的平均分 70 分.A，D，E 的平均分 60 分.B，D 的平均分 65 分.求 A 得了多少分.解：由 A，C，D ，E 四人平均分和 A，D，E 三人平均分，按照例 3 的方法，就可求出 C 的得分：60+ （70-60）4=100（分）.由 A，B，C ，D 四人平均分和 B，D 两人平均分，按照例 15，可以求出 A 与 C 平均分：752-65=85（分） .上面已算出 C 得 100 分，因此 A 得852-100=70（分） .WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD第 14 页 共 16 页WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTWOOD例 17 某次考试，小英等 7 人的平均分是 78 分，其中最高得分是 97 分，最低得分是 64 分，小英得了 88 分，余下的 4 个人中有 3 个人得了相同的分数.分数各不相同的 5 个人的平均分是 80 分，其中还有一位同学与别人的得分都不同，他的得分是多少分？解：7 个人的分数总和是787=546（分）.分数各不相同的 5 个人平均分是 80 分，那么另 2 位分数相同的同学每人得分是（546-805）2=73 （分）.这位与别人的得分都不相同的同学，他的得分是546-97-64-88-733=78（分）.例 18 A，B，C ，D 四个数，两两配对可以配成六对，先请你想一想，是怎样配对的.这六对数的平均数分别是12，13 ，15，17，19 ，20.原四个数的平均数是多少？解：每一个数与其他三个数可以配成三对，因此在上面六个平均数中，每个数都要被计算 3 次，每次计算中都用一个数的一半.因此，这六个平均数之和是 A+B+C+D 的 3 倍的一半.那么 A，B，C ，D 的平均数是（12+13+5+17+19+20）2349623416.还有另一种解法：WESTWOOD行政職業能力測验版 WESTW