平面问题有限元

CHAPTER02 平面问题的有限元21 引言平面应力和平面应变问题的有限元分析位移有限元建立的一般方法三角形单元、矩形单元线性单元、高阶单元轴对称单元22 平面问题的三角形单元格式221 平面应力和平面应变平面应力：和 ， uv、 、xyxy、 、0yzxzz 0z平面应变：沿某一方向没有位移，只有 和uv、 、 、 、xyxyxyxy， 0z 0z平面应力和平面应变的相互替换以下主要讨论平面应力222 三角形单元任意的一个平面采用三角形单元离散节点编号 kji,节点位移： Tkjjie vuvu,如果节点位移已知，如何给出单元内部任意一点的位移？FEM 的思想：单元内部插值223 单元分析若节点位移已知，如何求单元内部任意一点的位移，称为位移模式或位移函数一般取为多项式，多项式选取：由低向高 yxu321为待定v654 )6,1(i在节点上应满足节点位移iii yxu321 jjj yxu321kkkyxu321可以求出 ，它应该是节点坐标和节点),2(i位移的函数。同理可以求出 )6,54(i最后给出位移的形式为：或：或 eNu由于 N 是线性函数，因此任意一点的位移就表现为单元节点位移（取决于 ）的线性eu组合（取决于 N）或就是插值，因此 N 也叫做插值函数。整个有限元的核心就是构造 N 和 euN 所具有的性质（也是今后构造 N 所必须满足的条件）（1） ijyxjji 01),(（2） 任意点插值函数的和为 1意味着如果单元三个节点位移相同（具有刚体位移） ，则内部任意一点也有这个位移。从而有：由于单元受相邻单元的影响，必然产生刚体位移，因此我们在构造 N 的时候必须使得位移模式包含刚体位移。（3） 单元与单元边界上的位移是唯一的。保证唯一的连续性，否则单元之间出现间隙或重叠。 （验证留做作业）有了位移后，应变和应力可以方便的给出 eeBuLNueDu注意由于 是 和 的线性函数，因此 是常数xy 因此我们得到的常应变单元和常应力单元。作业21 验证上述三角形单元边界上位移的连续性。应变是否连续？224 有限元方程与刚度矩阵采用最小势能原理建立单元的有限元平衡方程如下： 3121 jjeTTTp uFudsudvfdvD3121jjeEeeTe TTTp uFPuKu svfBv上述 由三部分组成，一部分为体积力的贡i献，另一部分为边界力的贡献，还有一部分为周边单元的作用， 认为是通过节点之间相互作用的。应用最小势能原理有： eepuK为刚度矩阵。整个有限元问题最后归结为求解上述方程单元刚度矩阵的的若干性质：（1） 单元的平衡方程： ieiePuK， 为单元节点力workuPieiTie由三部分组成：体积力、边界力、单元相互作用力。（2）对称的 矩阵6（3） 元素的性质：产生单位位移的力eK（4） 的奇异性e单元的变形模式中，刚体位移没有消除（5）主元恒为正（可以直接验证）225 等效节点载荷列阵sebeeppeTbtdxyfNeTstdsNp（1）自重（2）均布侧向力（3）其他的分布力226 有限元平衡方程每个单元， 都按照上述思想列出平衡方程eepuK整个结构当然也是处于平衡状态 11eepu将此式写在一起， 并注意到右边单元之间的作用力互相抵消为零， 于是有：1eeK1eepP单元刚度阵在总体刚度阵中的位置K 的带状形质,半带宽的计算(过去人工编号,现在可以实现自动最优排列)合理的编号使得半带宽尽可能小227 边界条件的施加将有限元平衡方程合成总体方程后，得到PKU其中 为总体刚度矩阵， 为总体未知节点U位移列向量， 为总体节点力列向量。由于总体方程是根据每一个节点的平衡得到的，因此 中各元素的对应值应该是该节点所作P用的等效外载荷。如果该节点没有外载荷的作用，则 中的该元素为零，否则应该是各单元中该节点等效外载荷之和。由于到目前为此平衡方程中，位移施加一个刚体位移，并不影响平衡状态，因此需要有具体的位移边界约束，从而使得位移位移。以下讨论位移边界条件的施加方法。假设要求满足的位移边界为 bus（1） 直接代入直接将 代入总体平衡方程，将bus原来的总体自由度为 的平衡方程，变为N2自由度为 的平衡方程。12N代价： 刚度矩阵、节点位移、节点外载荷编号将打乱原有的顺序，不利于程序的编制。（2） 对角元素为 1如果对应的位移边界为零，即 。0su此时可以将 的元素改为 1，而 行和列的sK其他各元素为零， 的第 个元素也为 0，从Ps而实现所要求的边界条件。注意这一方法仅适应于 的情况，事实上如果 ，则0b 0su在刚度矩阵中必须考虑 的影响，从而刚su度矩阵中的 行和列又不能为零。s（3） 对角元素乘以大数 ssssbKP其中 为大数。此时原来的方程变为： sNssss bKuKuKu 21由于 很大，上式相当于 。s这一方法并不改变原有的编号顺序。作业 2.2 请说明单元刚度矩阵的近似性原因.作业 2.3 证明常应变单元发生刚体位移时,单元内不产生应力.作业 2.4 对上图的平面结构由 4 个三角形单元组成,请对各节点编号,并写出总体刚度矩阵的半带宽.作业 2