微分算子法

高阶常微分方程的微分算子法撰写摘自 大学数学解题法诠释.徐利治 ,.冯克勤,.方兆本,. 徐森林,.1999高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。但是有一个例外：常系数线性微分方程。我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐次方程的特解。本节主要讨论微分算子法。1.求方程 的通解.230yy解 记 ，将方程写成()nD32或 ()y我们熟知，其实首先要解特征方程 320得 故知方程有三特解 ，由于此0,1D31,xe三特解为线性无关，故立得通解312xxyCe注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是11()()()nnn nndydyLyaxaxf 其中系数 是某区间 上的连续1(),() (,)b函数，上述方程又可写成 1nnnLyDaxaxy()f可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。本题中各 均为实常数，今后也仅对ix实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。2.求解 610yy解 写成 32(6)D从特征方程320(1)()解得 共三实根，故可立即写成特解1,23D23xxxyCee3.求解 90y解 写成 32(1)y或 1)43特征方程 有根2D，故对应的特解是 ，,3ixe，2cosxe从而通解是in2213cossinxxxyCeC4.求 之通解.(4)540y解 写成432()DDy或 )(1特征根是 ，对应的特解应是,i，故写成通解2,cosnxex21234()cosinyCxC5.求 的通解解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程的通解，写成 ，可知特征0y2()0Dy根为 ，相应的通解为i12cosinx设原方程有特解形为*12()cos()iCx其中 为待定函数，常数变异告诉我们，应求2,解下面的方程组121()s()sin0co(cos)xxx或121()s()siinc(s)Cxxx(方程组右端为原方程非齐次项 )，解得o，1si)o2()C或 ，(lncCxx最后得通解为1*)()yy12cosincosliCxx 注 对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。6.求解下列方程(1) (4)250yy(2) 8解 (1) 12xxCe34(cosin2)x(2) 1xy7.求解下列 cauchy 问题(1) 0;y(0),()2,()3(2) ;1,(0)1yy 解 (1) xe(2) 8.求解非齐次方程 21(0)yxx解 本题不是常系数方程，为求通解需先知道齐次方程 的两个线性无关的特解。现设用观察法得到两个特解12sincos,xy令 12i()()xCx考虑方程组12sincos()()01)xx最后解得 ，1()sinC2(cos故原方程的通解为121xyx注 我们说过，高阶方程中最重要、研究得最彻底的是线性方程，因此我们就从它开始。因为有了常数变易法，所以重点似乎应放在齐次方程的求解，但是，齐次常系数线性方程的求解来的太容易(只需要解代数方程)，这就构成了这一单元的特点：我们着力于求解具有特殊右端(物理学中称此种项为强迫项 )的任意高阶非齐次常系数线性方程。这样做既是为了避免使用繁复的常数变易法，也是为了让解题者掌握一种最实用的技巧微分算子法9.求解256yx解 写成 ()3Dy故对应齐次方程 的通解为()0211xxCe今用下法求原方程的一个特解 ，显然*满足*()yx2)(3yx今用下法求出 *21()(yxD222222222231131()431()4311()()43911()()356xxxDxDxxxx 80通解为*1232()()519680xxyyCex注 本题所用的方法即微分算子法，此法核心内容是将求导运算 同时当作数与运算来处理，上法中D视为 的逆运算，经1(2)3()分层部分分式后，又将 作为数，将 展开或1D读作除数，最后，又将 恢复其运算功能。2,至此，积分微分方程问题已变为求导问题。上述方法有其严密的理论根据，但本法早在 20世纪 3040 年代已在工程师中间广为流传，理论工作于 20 世纪 50 年代初才完成。10.给定一个微分算子 11nnnLDaDa(,2,)i 为 常 数则对任一有 次导数的函数 ，得到唯一的函数(gx)fx()ngf今定义逆运算 1()xL恰为微分方程 的一个特解。(nf证明下列事实：(1)给定 后， 不唯一fg(2)对任一常数 及连续函数 ，有下,ab(),hxg式成立11()()nnnhxbLL(3)设有另一微分算子 1mDa，则ma11()()mnngxgxLL(4)有下式成立 1() ()()(knD证明 (1)设 是方程 的特解，则有1gx0ny)LLgxf故1()nf(2)与(3)直接从定义推出； (4)从(3)以及定义推出11.给定 如上题，证明下列性质：nL(1)设 ，此处()0Fk1()na为多项式(与 对应) ，则1aL1(kxkxne当 时kxkxeD(2) 11()()(kxkxnneffLLA特别)()()kxkxmmfefD(3)当 为偶次多项式， ，则F0Fi，其中11sinsn()()LDik1i对 也有类似公式cokx特别，对一般的 ，当 时，nL()0i11si()sn()n kxk证明 (1)因 ，故有kxxee()kxkD于是 111()()()()()kx kxn nkxnkxeeLeF (2)(Dg()(kxkxkxkx geA今令1)()gfxD则 ，代入上式得(k)()()x kxefef或 11()()(kx kxefxefDD一般公式可由此逐步推出(3)因 ，故22sinsink()()ixkx从而 221si sikxiD当 为偶多项式时()F，21()()nLk故一般公式由上式逐步推出注 (1) 还有另一性质，我们述而不论：1n 1110 ()()mnmimiir xbDaDabxxb (2)当 时，此时宜用 Euler 公式()Fkcosinixekx(3)以上两题旨在建立我们算子法的理论基础由于我们仍然不能做到完全严格，所以对于只求解题技巧来说，可以不必追求细节。12.求下面方程的特解226xdyex解 2211()()xeD13.求方程 的一个特解4xy解 22()x2221)(1xxxeDeA设 ，则 ，即可知2()gA()1x故最后可得 21()gxxye也可以直接安照文登考研书的解法即2222()41)xxxxDe 14.解 xye解 211()()xeDD2xxeA得通解为12()2xxyCe15.求下面方程特解5解 22()()yxxD22222315()()1()()5)5101(0)51xDxxxD 16.求 265xye解 显然 1()()xy其中 23xD()()5e如不懂，可参看我在豆丁上上传的陈文登考研数学一里面的微分算子法的推导221()(5)yxxD今有 1 1()3(3)xxee144xeA22()(5yxD22151()(5465xx最后得2361()45xyex17.求 的特解cos3in解 12()y2216sicos3n()()inxxDiix18.求下面方程的特解1sy解 2()(3i2)xD2422211(3)sin()i1(13)snsinsicoDxxiDxx 19.求下面方程的特解42y解 ()221cos()()xDA422cs1()in()8xxi20.求 的特解ny解 因 ，上法无效，今取2()10i(*)sixie则特解2()()1ixiyxD221 1()()1212iixixiixixi iixeDeeDlmeAA表示复数 虚部，今zz1122ixixDD()11cosincosin4ixixeex故()i2yx21.求下面方程的特解cosxeA解 今有(1)(1)cs2xixixeA()Rei( 表示复数 的实部)故可写成zz(1)2ixyxDA而 (1)(1)2 2)1ixixexDDiAA()()(ixi2)(1(1)21412cosin