厦门大学《应用多元统计分析》第10章多维标度法

第十章 多维标度法 第一节 引 言 第二节 古典多维标度法 (Classical MDS) 第三节 权重多维标度 (WMDS) 第四节 实例分析与计算实现 第一节 引 言n 在实际中我们会经常遇到这些的问题，给你一组城市，你总能从地图上测出任何一对城市之间的距离。但若给你若干城市的距离，你能否确定这些城市之间的相对位置呢？假定你知道只是哪两个城市最近，哪两个城市次近等等，你是否还能确定它们之间的相对位置呢？假定通过调查了解了 10种饮料产品在消费者心中的相似程度，你能否确定这些产品在消费者心理空间中的相对位置呢？在实际中我们常常会遇到类似这样的问题。n 多维标度法（ Multidimensional Scaling）就是解决这类问题的一种方法，它是一种在低维空间展示 “距离 ”数据结构的多元数据分析技术，简称 MDS。n 多维标度法起源于心理测度学，用于理解人们判断的相似性。 Torgerson拓展了 Richardson及 Klingberg等人在三、四十年代的研究，具有突破性地提出了多维标度法，后经Shepard和 Kruskal等人进一步加以发展完善。多维标度法现在已经成为一种广泛用于心理学、市场调查、社会学、物理学、政治科学及生物学等领域的数据分析方法。n 多维标度法解决的问题是：当 n个对象（ object）中各对对象之间的相似性（或距离）给定时，确定这些对象在低维空间中的表示（感知图 Perceptual Mapping），并使其尽可能与原先的相似性（或距离） “大体匹配 ”，使得由降维所引起的任何变形达到最小。多维空间中排列的每一个点代表一个对象，因此点间的距离与对象间的相似性高度相关。也就是说，两个相似的对象由多维空间中两个距离相近的点表示，而两个不相似的对象则由多维空间两个距离较远的点表示。多维空间通常为二维或三维的欧氏空间，但也可以是非欧氏三维以上空间。 n 多维标度法内容丰富、方法较多。按相似性（距离）数据测量尺度的不同 MDS可分为：度量 MDS和非度量 MDS。当利用原始相似性（距离）的实际数值为间隔尺度和比率尺度时称为度量 MDS(metric MDS)，当利用原始相似性（距离）的等级顺序（即有序尺度）而非实际数值时称为非度量MDS(nonmetric MDS)。按相似性（距离）矩阵的个数和MDS模型的性质 MDS可分为：古典多维标度 CMDS（一个矩阵，无权重模型）、重复多维标度 Replicated MDS（几个矩阵，无权重模型）、权重多维标度 WMDS （几个矩阵，权重模型）。本章仅介绍常用的古典多维标度法和权重多维标度法。 第二节 古典多维标度法 (Classical MDS)一 相似与距离的概念 二 古典多维标度分析的思想及方法 三 度量 MDS的古典解 四 非度量 MDS的古典解 (nonmetric MDS) n 首先我们提出这样一个问题，表 10.1是美国十城市之间的飞行距离，我们如何在平面坐标上据此标出这 10城市之间的相对位置，使之尽可能接近表中的距离数据呢？ 表 10.1 美国 10城市间的飞行距离 一、相似与距离的概念n 在解决上述问题之前，我们首先明确与多维标度法相关的数据概念。1相似数据与不相似数据 相似数据：如果用较大的数据表示非常相似，用较小的数据表示非常不相似，则数据为相似数据。如用 10表示两种饮料非常相似，用 1表示两种饮料非常不相似。 不相似数据：如果用较大的数值表示非常不相似，较小的数值表示非常相似，则数据为不相似数据，也称距离数据。如用 10表示两种饮料非常不相似，用 1表示两种饮料非常相似。2距离阵 定义 10.1 一个 n n阶的矩阵 D=(dij ) n n ，如果满足条件： n 在进行多维标度分析时，如果数据是多个分析变量的原始数据，则要根据聚类分析中介绍的方法，计算分析对象间的相似测度；如果数据不是广义距离阵，要通过一定的方法将其转换成广义距离阵才能进行多维标度分析。 二、古典多维标度分析的思想及方 法n n n n n n n 这里需要特别注意，并非所有的距离阵都存在一个 r维的欧氏空间和 n个点，使得 n个点之间的距离等于 D。因而，并不是所有的距离阵都是欧氏距离阵，还存在非欧氏距离阵。n 当距离阵为欧氏时，可求得一个 D的构图 X，当距离阵不是欧氏时，只能求得 D的拟合构图。在实际应用中，即使 D为欧氏，一般也只求 r =2或 3的低维拟合构图。n 值得注意的是，由于多维标度法求解的 n个点仅仅要求它们的相对欧氏距离与 D相近，也就是说，只与相对位置相近而与绝对位置无关，根据欧氏距离在正交变换和平移变换下的不变性，显然所求得解并不唯一。 三、度量 MDS的古典解n （ 4）根据（ 10.7）式计算 ，得到 r维拟合构图（简称古典解）。 这里需要注意，如果 i中有负值，表明 D是非欧氏型的。（一）已知距离矩阵的 CMDS计算n 以前述美国 10城市间的飞行距离数据来说明古典度量多维标度法的计算过程。n 表 10.1美国 10城市间的飞行距离为比率测度。数值越大表明距离越远，数值越小表明距离越短，符合广义距离阵的定义，又只涉及一个距离阵，因此为度量 CMDS。n 根据上述度量古典 CMDS的计算方法，首先可求得内积矩阵，结果见表 10.2。 表 10.2 美国 10城市内 积 矩 阵n n 10个城市的坐标分别为：（ -718.759， 142.9942），（ -382.056， -340.84），（481.602， -25.285），（ -161.466， 572.77），（ 1203.738，390.100），（ -1133.53， 581.907），（ 1072.24， -519.024），（ 1420.603， 112.589），（ 1341.723， -579.739），（ -979.622， -335.473）。n 计算结果表明，较大的特征值有两个，说明在二维平面上表示 10城市间的相对位置是合适的。由于有特征值小于零，表明距离阵不是欧氏型，其结果为拟合构图。在此，城市是 “对象 ”，飞行里程是 “相似性 ”。图 10.1给出了 MDS反映美国10座城市相对位置的感知图。图中的 10个点，每个点代表一个城市，相近的点代表飞行距离短的城市，相距较远的点代表飞行距离远的城市。 图 10.1 10城市坐标感知图 n n n 相关系数的值越大，表示课程越相似，相关系数值越小，表明课程越不相似，显而易见，相关系数矩阵为相似系数矩阵，记为 C。 表 10.3 6门课程相关系数阵 n 根据变换（ 10.8）式可得到距离阵 D，见表 10.4。在此基础上，根据（ 10.5）式得到内积矩阵 B，具体结果见表 10.5。表 10.4 距离 阵 Dn 表 10.5 内