多元函数的极限与连续2010

第五章 多元函数微分学及其应用第一节 预备知识1. n维 Euclid空间 Rn与点集的概念n维实向量记它 满足加法和数乘，所以它构成一 n维实向量空间（或 n维实线性空间）若 定义内积：则 Rn构成一 n维 Euclid空间。n维空间中两点（向量又称为点）之间的 距离 定义为向量 x的长度定义为：与为以 a为中心， 为半径的 开球 或点 a的 邻域。称：为点 a去心 邻域。 可分别简记为 N(a), (a)设 a Rn, 0,称设 A Rn,a Rn.（ 3） 若 A中的点全是 A的 内点，则称 A 为开集 .(5) 若 M 0, 使得 xA ,都有 |x|M,则称集合 A为的 有界集 .否则 , 称之为 无界集 . A为区域 : A为连通开集 . 如A为闭区域 : 区域连同它的边界 . 如A为连通集 : 对任意的都可用一条包含在 A内的折线把 x,y连起来 .区域 A 的直径：2 多元函数的概念定义 2.1 设 A Rn是 一个点集， 称映射 f: A R是 定义在 A上的 n元数量值函数。 简称为 n元函数。记为 y = f(x) = f(x1, , xn),其中 x = (x1, , xn) A称 为 自变量 , y称为 因变量。D(f)=A称为 f的 定义域 ， R(f )=y|y=f(x),x D(f )称为 f的 值域。除非特别说明 , 或有实际意义 , 凡用算式表达的多元函数 , 其定义域都是指自然定义域 , 即全体使得算式有意义的自变量所成的点集 .(x, y) R2 | |x| 1, |y| 1; 例如 : 的定义域为而 z = ln(x+y)的定义域为 (x, y)R2 |x+y0.定义 2.2 设 A Rn是 一个点集， 称映射f: A Rm (m 2)是定义在 A上的 n元 向量值函数。也可记为 y = f(x) = f(x1, , xn),其中 x = (x1, , xn) A称 为 自变量 , y = (y1, , ym) Rm 称为 因变量。 f = (f1, , fn) 其中 x=(x1, , xn)A为自变量 , y=(y1, , xm)B为因变量 .一个 n元 m维向量值函数 y = f(x) 对应于 m个 n元数量值函数若用列向量表示 , 即例 1 空间 R3中曲线的参数方程为：x=x(t),y=y(t),z=z(t) t ,R,为一元向量值函数，可写成： r=r(t)第二节 多元函数的极限与连续性 定义 2.3 (二重极限）设 函数 z=f(x,y)=f(M) 在点集 E上有定义 , 点 M0(x0, y0)是 E的聚点 , aR是一个常数 .若 0, 0, 使得恒有 |f(M)a|0, 取 =, 则当时 , 恒有 | f(x, y)0|2)元数量值函数与向量值函数。定理 2.1 设 f(x,y)是有界闭集 E上的连续函数，则(1)（有界性）（有界性） f在 E上有界，即存在 M 0, 使得x E, 有 | f(x)| M.(2)（ 最值）最值） : f 在 E上必能取到最大值与最小值 。（介值性）（介值性） 若函数 f(x)在有界连通闭集 E上连续 ,m与 M分别是 f 在 E上的最小值与最大值，则对 ,m M,必 x0 E,使 f(x0 )