概率论与数理统计知识要点-重要西北大学内部

概率论与数理统计复习资料- 1 -西北大学数学系概率论考试复习知识要点一 概念：1 随机事件：用 等表示,ABC互不相容： 互逆： 且 ，此时，BA互逆 互不相容 ，反之不行相互独立： 或()(PAB)()P2 随机事件的运算律： (1) 交换律： ,AB(2) 结合律： ()(),()ABCCAB(3) 分配律： (4 ) De Morgen 律（对偶律）BABA推广： 1nii1niiA3 随机事件的概率： ()P有界性 0若 则AB()B条件概率 ()PA4 随机变量： 用大写 表示 . ,XYZ若 与 相互独立的充分必要条件是XY )(),(yFxyYX若 与 是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是 ,()XYffxy概率论与数理统计复习资料- 2 -若 与 是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是XY (,)()XYpxypy若 与 不相关，则 或 cov(,)0XY,0RXY独立 不相关 反之不成立当 与 服从正态分布时 ，则相互独立 不相关二 两种概率模型古典概型 ： 所包含的基本事件的个数 ； 总的基本事件的个数()MPAN: :N伯努利概型 ： 次独立试验序列中事件 恰好发生 次的概率 nAm()mnnPCpq次独立试验序列中事件 发生的次数为 到 之间的概率12211()()mn次独立试验序列中事件 至少发生 次的概率nAr10()()()nrnmrmPP特别的 ，至少发生一次的概率 1np三 概率的计算公式：加法公式： ()()()PABPAB若 互不相容 ,则, )(P推广： )()()()()()( ABCPCCC若 ， 互不相容，则BA, PABB乘法公式： 或)()(P()若 相互独立 ，, 推广： )()()()( 12121312121 nnn APAPAA 若它们相互独立，则 )n 全概率公式：若 为随机事件， 互不相容的完备事件组，且 B21, 0)(iB则 )()()()( 2 nnAPAPAPB概率论与数理统计复习资料- 3 -注： 常用 作为互不相容的完备事件组 ,B有诸多原因可以引发某种结果 ，而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和 ，这样的概率问题属于全概问题.用全概率公式解题的程序：（1） 判断所求解的问题 是否为全概率问题（2） 若是全概率类型，正确的假设事件 及 ， 要求是互斥的完备事件组AiBi（3） 计算出 (),()iiPB（4） 代入公式计算结果四 一维随机变量：分布函数： )()xXxF性质：（1） 10（2） 若 ，则21x)(2xF（3） 右连续（4） 即 )(limFx 1)(即 （ 此性质常用来确定分布函数中的常数）0 0利用分布函数计算概率： ()()PaXbFa一维离散随机变量：概率函数： （分布律）()1,2iipxx性质： 0i（此性质常用来确定概率函数中的常数）()1iix已知概率函数求分布函数 ()()()i iiixxFPXp一维连续随机变量： 概率密度 ()fx性质：（1） 非负性 ()0f（2）归一性： （常用此性质来确定概率密度中的常数）1xd分布函数和概率密度的关系： ()fFx概率论与数理统计复习资料- 4 -()()xFfd（注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）利用概率密度求概率 ()()baPaXf五 一维随机变量函数的分布：离散情形 ： 列表 、整理、合并连续情形 ： 分布函数法. 先求 的分布函数 ，再求导()YgY六 二维随机变量：联合分布函数 ： (,)(,)FxyPXxy性质：（1） （2） (,)0(,)0F（3） （4） y1（此极限性质常用来确定分布函数中的常数）边缘分布函数： (),)XFx(),)Yy二维离散随机变量：联合概率函数 列表(,)(,)ijijpyPx边缘概率函数： Xiijjxy(,)Yiijipyxy二维连续随机变量： 联合概率密度 (,)fx性质 （1） (,)0fxy（2） （常用此性质来确定概率密度中的常数）,1dxy联合分布函数与联合概率密度的关系 (,)(,),xyfFfdxy（注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）利用联合概率密度求概率 (,)(,)RPxyf已知联合概率密度求边缘概率密度()(,)Xffd()(,)Yfyfxyd（注意：当被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）概率论与数理统计复习资料- 5 -七 随机变量的数字特征：若 为离散随机变量： X1()()niiEXxp若 为连续随机变量： fd二维情形 若 为二维连续随机变量，则(,)(,)Yfxy() (,)XExfdfxy(,)yx若 为二维离散随机变量，则(,),ijYpx()(,)iXiiijijExpy()jYjjijjiy随机变量的函数的数学期望：若 为离散随机变量： ()()iiiEgxp若 为连续随机变量 XXfd方差：定义 2()()D方差的计算公式： E注意这个公式的转化： 22()()XDEX关于期望的定理： 关于方差的定理（1） （1） ()EC()0C（2） （2） ()X 2()DX（3） 相互独立： ()YEY()(DD)(EX ()()DXYDY（注意：反之不成立）( )YEXY概率论与数理统计复习资料- 6 -相互独立 （注意：反之不成立）()()EXY八 要熟记的常用分布及其数字特征：分布 01(,)Bp1(0,xpq()()EXpDq二项分布 nniCn Xnp泊松分布 ()p0,1!xe ()()均匀分布： (,)Uab(0axbfxb其 他 ()01xaxbbFX2()()21aaEXDX指数分布： ()e0xef 0()xeF211()EX正态分布： 2(,N2()1()xfxe 2()1()2xFxed2()EXD特别地 0,1N 21()xxe（ ）2()xxed)(1)(x()0EXD2,N1212()()xxXPxXP概率论与数理统计复习资料- 7 -21()()xx九 正态随机变量线性函数的分布十 统计部分：统计量 无偏性 有效性 矩估计 最大似然估计 区间估计 假设检验例： 甲袋中有 5 只红球 10 只白球，乙袋中有 8 只红球 6 只白球，现先从甲袋中任取一球放入乙袋，然后又从乙袋中任取一球放入甲袋. 求这一个来回后甲袋中红球数不变的概率 . 解： 设 ：从甲袋中取出放入乙袋的是红球， ：从乙袋中返还甲袋的是红球 , : 这一ABC个来回后甲袋中红球数不变，则 ,AC从而 )()()()() ABPBPPBACP.9518095例 高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立） ，设每发炮弹击中敌机的概率均为 ，又若敌机中一弹，其坠落的概率为 ，若敌机中两弹，其坠落的概率为 ，3.0 2.06.0若敌机中三弹，则必然坠落。求敌机被击落的概率。解： 设事件 表示敌机被击落，事件 表示敌机中 弹。AiBi3,21则 41.0)3.1(.0)(231CBP 189.0).(.0)(32CP72.)(1A6.)(2BA)(3BA所以，)()()()( 332211 PPPB286.007.34.1.69. 例：设 的分布函数 求 XRxF10)(2 )(xf解： 当 时，Rx0概率论与数理统计复习资料- 8 -2)()(RxxFf当 时，,00f在 处导数不存在，但规定为零 Rx其02)(Rxf例：设连续随机变量的概率密度 20cos)(xaxf求： )4()3)(2)1( PFa解： （1） (对称性质)axxdaxddxf 2sinco2cos)(200由 得： 1f 21（2）当 时，2xxdfF0)()(当 时 ， xxx ddddf 22cos1cos0)()( 2其)1(sinsi212x当 时 ，x1sin2)()( xddxfFx21)sin(20)(xxF概率论与数理统计复习资料- 9 -（3） 42cos21)()40( 400 xddxfxP或 42)0sin1()in()()( F例： ，求 的 密度函数1XeYX解 ： 0()xf)()YFyPxy当 时 ，00Yy当 时 ，y 220()()()yyxxyPfxde20()0yYxFed2()Yyf例：设随机变量 的概率密度为X.,0,1,)1(6)(其 它 xxf求：(1) , (2) )(,)(DE)2XP解：（1） 21)43(64136)(6)1(6)()( 010320 xdxdxdxfX 103)5(5)()()()( 104104310222 xxxxfxE2413)()()2XEXD(2) 概率论与数理统计复习资料- 10 - )2418()321(63216)(6)()21(12 xdxdxfXP4设随机变量 的概率密度为X.,0,21,)(3)(其xxkf求 常数 的值； ；（3） )1(k)2(XE)(D解：（1） dxkxdxf 2110 21k,3k由 知 ，解得 .)(dxf21k3k( 2 ) xxxfXE 21102)()(.67944313(3) dxxdxf 213022 )()()(,512514422)367()()XEXD例： 设随机变量 的概率密度为 ，),(Y.,0;,),(其xyeyxfy计算：（1）边缘概率密度 （2） 与 是否相互独立？,)ffYXXY为什么？解 （1）当 时 ， 0x0)(xfX当 时， xxyxyedeyf ),所以 .0,;)(xexfX当 时 ， 0y0yfY概率论与数理统计复习资料- 11 -当 时，0y yyY edxxfyf 0),()(所以 .0,;)(yeyfY（2）因为 ),()(xffxYX所以 与 不相互独立。例 设随机变量 的联合概率密度为：),(.,0;20,cos),( 其 它 yxyxyxf求：（1） 的边缘概率密度 ， （2）X)(fX )2(YXP解：（1） dyxff,()(当 或 时，0x20)(fX当 时， xyxdyxf cos)(sincosco2020 所以， .,0;cos)(其 它xfX（2） dyxdxyfYPyx 202 cos),()( 42sin12cos1cs)2sin(cosinco 002020020 xdxxxdx例： 总体 的概率密度为 ， 是未知参数 ，求 的X(1)1)fx其 他 矩估计量.解： 1 10 01()()()()2Efdxdxd 概率论与数理统计复习资料- 12 -令 12X由此解得 的矩估计量为， :21X例 设总体的 概率密度为 ， 其中 为未知X.2,0;),()2(xexf 0参数 ，如果从该总体中取得简单随机样本观测值 ，求参数 的最,1nx大似然估计值。解 似然函数为)2()2(11 1),()( nxnxninii iieexfL 取对数得 )(l)(l1ni对 求导得 )2(ln1xdLni令 即 0)(lndLni1从而得到 的最大似然估计值为211xni例： 设总体 ， 为未知参数 ).,(2NX（1）已知从该总体中随机抽取 个观测值的平均值为 ，求 的置信水平为 的520.89.0置信区间（结果保留四位小数） （2）要使 的置信水平为 的置信区间长度不超过 ，问样本容量最少应为多少？9.01解：（1） 已知 ，则 的置信水平为 的置信区间为),(2020unxx， ， ， ， ， ，于是25n9.11.058.2)(0502tu，619.58.20un概率论与数理统计复习资料- 13 -又 ，于是置信区间为20.8x=),(2020unxx ),6192.0.8,6192.0.8(即 ).819,50.7(（2）要使置信区间长度 192.658.21220 nnul， ，样本容量最少为 .192.6n34.83例：从一批火箭推力装置中抽取 个进行试验，测试其燃烧时间（s ） ，经计算得样本均值 （s ） ，样本标准差 （s） ，设燃烧时间服从正态分.5x 6.0S布 ，求燃烧时间均值 的置信水平为 的置信区间。),(2N9解 未知 ，则 的置信水平为 的置信区间为1)(,)1( 22ntsxntsx因为置信水平 ，所以 自由度 ， 查表90.0.71n85)7()1(05.2tnt42162nts从而置信区间为 )32.5,78.1().08.5,42.0851( 例： 设总体 服从正态分布 ，现从中抽取样本容量为 的样本。测X).,(2N9得样本均值 ，样本标准差 。问在显著性水平 下，可否认为02.36x40S05.总体均值 为 ？ 1解 根据题意待检验的假设为6.31:00H6.3:01H已知 ，则应该选择 统计量u),(0Nnx计算 统计量的观测值为u概率论与数理统计复习资料- 14 -47.192.036u查表 .1025.因为 ，所以在显著性水平 下，接受原假设。6472u05.即 即认为总体均值 0.31例： 已知全国高校男生百米跑平均成绩为 （秒） 为了比较某高校与全国高校5.140的男子百米跑水平，现从该校随机抽测男生 人的百米跑成绩均值为 （秒） ，标准差31.4为 （秒） 试问：在显著性水平 下，可否认为该校男生的百米跑平均547.0s .成绩与全国高校男生百米跑平均成绩有显著差异？解：待检验的假设为： ;5.14:00H;5.:01H显著水平 ，标准差为 ， ，.7s3n未知，故选择统计量 )(/tSXt计算 统计量的观测值为： ，t 63.21/547.0.t当 时， ，拒绝域为：05.92)1(025.t ),(),(2t即 , 在拒绝域内，拒绝原假设，即认为该).79.,(63.2t校男生的百米跑均值与全国高校有显著差异。1两台机器生产零件，第一台生产了 件，其次品率为 6，第二台生产了a件，其次品率为 3，求从这批零件中任取一件是次品的概率。 （8 分）2a2设随机变量 的概率密度为： X02()xf其求：（1）常数 ；（2） ；（3） 的方差 。 （9 分）a1(PXD3. 已知 ，且 ，求 的概率密度函数 的表达式。0,)NXYe()Yfy（7 分）4. 已知随机变量 在 两个整数中等可能地取值，另一随机变量 在1,2中等可能地取整数值，求：(1) 的联合概率分布表；(2) 的边缘1X: (,)YX概率论与数理统计复习资料- 15 -分布；(3) ；（4）判断 与 是否相互独立。 （8 分）(,)CovXYXY5设总体 的概率密度为 ，其中 ，101(;)xxf其0如果取得样本观测值为 ，求参数 的最大似然估计值。 （8 分）12,nx1解：设 ：零件由第一台机器生产； ：零件由第二台机器生产；1B2B：零件为废