第二讲概率分布

第二讲概率分布1概率（ Probability）概率是事件发生的可能性的数值度量。 取值在 0 到 1 之间古典法，相对频数法，主观法必然事件不可能事件.5102对以下情况应使用哪种方法找概率？ 一个有六个孩子的家庭有一对双胞胎； 从一副牌中抽出一张 A； 明天郊游时下雨。3样本空间（ Sample Space） 一个试验所有可能出现的结果构成样本空间。e.g. All 6 faces of a die:e.g. All 52 cards of a bridge deck: 4事件（ Event） 若干样本点的集合。 事件的概率等于事件中所有样本点的概率的和5随机变量（ Random Variable） 一次试验结果的数值性描述离散型随机变量，连续型随机变量期望，方差6离散型随机变量 Probability Distribution Values(x) Probability (f(x) 0 1/4 = .25 1 2/4 = .50 2 1/4 = .25 Toss 2 Coins. Count # Tails.TTT T7离散随机变量的数学期望定义：对期望的解释：1) 以概率作为加权的加权平均值2) 概率分布的中心3) 长期重复的平均值4) 一场赌博的公平值5) 得 到 随机变量的 总体的 平均值8离散随机变量的方差定义：对 方差的解 释1) 与 平均 值 偏差的平方的 概 率加 权 平均 值 2) 概 率分布的散布程度3) 多次重 复 结 果的方差4) 赌 博的 “风险 ”5) 得到 随 机 变 量的 总 体的 方差 9例A股票：获得 3%回报的概率是 0.7。获得 1%回报的概率是 0.3B股票：获得 6%回报的概率是 0.7。获得 8%回报的概率是 0.3C股票：获得 45.42%回报的概率是 0.7。获得 100%回报的概率是 0.3你选择哪一个 ? A股票：均值 1.8%，标准差 1.83B股票：均值 1.8%，标准差 6.42C股票：均值 1.8%，标准差 66.64 10方差作为期权定价A股票：今天的价格是 150。假定 3个月后，价格将变为：X= 每股收益： R=X-150期望收益： 0方差 标准差 50期权：在特定时间以特定价格买卖股票的权利一个 150看跌期权 : 在 3个月后以 $150的价格售出一股股票的权利 一个 150看涨期权 : 在 3个月后以 $150的价格买入一股股票的权利 11你如何赚钱 ? = 现在以 $150的价格买入一股。买入两个看跌期权（可以以 $150的价格售出 ）3个月后： 如果 X=$200. 收益 =$50 (股票收益 $50. 期权作废 )如果 X=$100. 收益 =$50 (股票损失 $50. 每一个期权盈利 $50)但是，你需要为期权付费（它不是免费的！）期权的价值是多少 ? $2512B股票：今天价格是 $150。 3个月后如果 X=期望收益 0方差 标准差 100同样的方案 : 收益 $100期权价格 : 5013方差作为质量的度量 14Bernoulli分布 又称二值分布， X只取 0和 1两个值，而且Pr(x=1)=p, Pr(x=0)=1-p. 期望和方差：E(X)=p; Var(X)=p(1-p). 什么样的问题 (数据）可以使用该模型？15二项分布（ Binomial) 概率函数 期望 方差 16 (1) n 次独立的试验 (2) 每一个试验有两种可能的结果 成功 , 失败 (3) 所有试验的成功的概率 , P(S)=p, 都相等(4)在 n次独立的试验中成功了的次数是X 17n = 5 p = 0.1n = 5 p = 0.5MeanStandard DeviationE X npnp p ( )( )10.2.4.60 1 2 3 4 5XP(X).2.4.60 1 2 3 4 5XP(X)e.g. = 5 (.1) = .5e.g. = 5(.5)(1 - .5) = 1.118 018超几何分布 (Hypergeometric) 概率函数： 期望和方差： 从抽样方式上看：二项式分布和超几何分布的区别。 19泊松分布 (Poisson) 概率函数： 期望和方差：20 = 0.5 = 6) 0.2.4.60 1 2 3 4 5XP(X)0.2.4.60 2 4 6 8 10XP(X)21连续 随 机 变 量 密度： f(x) 期望：方差： 22均匀分布 (Uniform) 概率密度函数： 期望和方差：23正态分布 (Normal) 概率密度函数 标准正态分布的密度函数24正态分布的图形25指数分布 (Exponential ) 密度函数： 期望和方差： 26Exponential Distributionsf(X)X = 0.5 = 2.027随 机 变 量的 组 合 假如 和 是 两个随 机 变 量。 它们 的（线 性） 组 合可 这样 取得 式中 c1和 c2 代表确定的 数 字。应 用： 这 种 组 合的典型用途是描述 证 券投资组 合的收益。28例： 设 定 随 机 变 量= % SafeCo共同基金的收益= % RiskCo共同基金的收益假 设 N(5, 22) 而 N(8, 42)你 更愿意要 哪 一 种 基金？ 假 设 你 有一 笔 固定 数 目的 钱 要投