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目录 上页 下页 返回 结束 第十节一 、最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性 闭区间上连续函数的性质 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 注意 : 若函数在 开区间 上连续 ,结论不一定成立 .一 、最值定理定理 1.在 闭区间 上连续的函数即 : 设 则 使值和最小值 .或在闭区间内 有间断 在该区间上一定有最大(证明略 )点 ,目录 上页 下页 返回 结束 例如 ,无 最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如 , 目录 上页 下页 返回 结束 二、介值定理由 定理 1 可知有证 : 设上 有界 .定理 2. ( 零点定理 )至少有一点且使 ( 证明略 )推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界 . 目录 上页 下页 返回 结束 定理 3. ( 介值定理 ) 设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点证 : 作辅助函数则 且故由 零点定理知 , 至少有一点 使即推论 : 在闭区间上的连续函数使至少有必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .目录 上页 下页 返回 结束 例 . 证明方程一个根 .证 : 显然 又故据零点定理 , 至少存在一点 使 即说明 :内必有方程的根 ;取 的中点内必有方程的根 ; 可用此法求近似根 .二分法在区间 内至少有则则内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 *三 . 一致连续性已知函数 在 区间 I 上连续 , 即 :一般情形 , 就 引出了一致连续的概念 .定义 : 对 任意 的都有在 I 上一致连续 .显然 :目录 上页 下页 返回 结束 例如 , 但不 一致连续 .因为 取点则 可以任意小但这 说明 在 ( 0 , 1 上不一致连续 .定理 4. 上 一致连续 .(证明略 )思考 : P74 题 *7提示 : 设 存在 , 作 辅助函数显然目录 上页 下页 返回 结束 内容小结在上达到最大值与最小值 ;上可取最大与最小值之间的任何 值 ;4. 当 时 , 使必存在上有界 ;在在目录 上页 下页 返回 结束 1. 任给一张面积为 A 的纸片 (如图 ), 证明必可将它思考与练习一刀剪为 面积相等的两片 .提示 : 建立坐标系如图 .则 面积函数因故由 介值定理可知 :目录 上页 下页 返回 结束 则证明至少存在使提示 : 令则 易证2. 设一点习题课 作业P69 3 (6) , (7) ; 4 (5) ,(6) ; P74 5目录 上页 下页 返回 结束 备用题
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