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第十节一 、最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 闭区间上连续函数的性质 第一章 注意 : 若函数在 开区间 上连续 ,结论不一定成立 .一 、最值定理定理 1.在 闭区间 上连续的函数即 : 设 则 使值和最小值 .或在闭区间内 有间断 在该区间上一定有最大(证明略 )点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如 ,无 最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论 . 由 定理 1 可知有证 : 设上 有界 .二、介值定理定理 2. ( 零点定理 )至少有一点且使机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 )在闭区间上连续的函数在该区间上有界 . o xya b y=(x)(如上图 )在 a, b上连续的曲线 y = (x) 的两个端点如果分布在 x 轴的两侧 , 则在 (a, b)内 ,此曲线必与 x轴至少有一个交点 .几何意义 :此定理有时也称为根的 判断定理 .例 1. 证明方程一个根 .证 : 显然 又故据零点定理 , 至少存在一点 使 即说明 :内必有方程的根 ;取 的中点内必有方程的根 ; 可用此法求近似根 .二分法在区间 内至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则例 2. 至少有一个不超过 4 的 证 ：证明令且根据零点定理 ,原命题得证 .内至少存在一点在开区间显然正根 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 3. ( 介值定理 ) 设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点证 : 作辅助函数则 且故由 零点定理知 , 至少有一点 使即推论 :使至少有在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 上连续 , 且恒为正 ,例 3. 设 在对任意的 必 存在一点证 :使令 , 则使故由 零点定理知 , 存在 即当 时 , 取 或 , 则有证明 :小结 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结在上达到最大值与最小值 ;上可取最大与最小值之间的任何 值 ;4. 当 时 , 使必存在上有界 ;在在机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 任给一张面积为 A 的纸片 (如图 ), 证明必可将它思考与练习一刀剪为 面积相等的两片 .提示 : 建立坐标系如图 .则 面积函数因故由 介值定理可知 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 则证明至少存在使
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