第8章 学案42

学案 42 空间几何体的表面积和体积导学目标： 1.了解球、柱、锥、台的表面积及体积的计算公式(不要求记忆).2. 培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行计算自主梳理1柱、锥、台和球的侧面积和体积面积 体积圆柱 S 侧 _ V_圆锥 S 侧 _V_ r213 l2 r2圆台 S 侧 _ V (S 上 S 下 )h13 S上 S下 (r r r 1r2)h13 21 2直棱柱 S 侧 _ V_正棱锥 S 侧 _ V_正棱台 S 侧 _ V (S上 S 下 )h13 S上 S下球 S 球面 _ V_2几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于_自我检测1一个长方体上一个顶点所在的三个面的面积分别是 ， ， ，则这个长方体的对2 3 6角线长为_2(教材改编)表面积为 3 的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_3(教材改编)球的体积为 ，一个正方体的顶点都在球面上，则正方体的体积为32_4圆台的一个底面周长为另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面半径为_5(2010南京模拟)将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使 BDa，则三棱锥 DABC 的体积为_探究点一 多面体的表面积及体积例 1 三棱柱的底面是边长为 4 的正三角形，侧棱长为 3，一条侧棱与底面相邻两边都成 60角，求此棱柱的侧面积与体积变式迁移 1 已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱与底面边长都等于 2，A 1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点，则三棱柱的侧面面积为 _探究点二 旋转体的表面积及体积例 2 如图所示，半径为 R 的半圆内的阴影部分以直径 AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积( 其中BAC 30)及其体积变式迁移 2 直三棱柱 ABCA1B1C1 的各顶点都在同一球面上若AB ACAA 1 2，BAC 120，则此球的表面积等于_探究点三 割补法与等积变换法例 3 如图，在多面体 ABCDEF 中，已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且ADE、BCF 均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_变式迁移 3 (1)如图所示，已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分的母线长最大值为 a，最小值为 b，那么圆柱被截下部分的体积是_(2)(2009辽宁改编)正六棱锥 PABCDEF 中，G 为 PB 的中点，则三棱锥 DGAC 与三棱锥 PGAC 体积之比为_1有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算， 应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素2当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我 们可采用“割” 、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥 、台) ，或化离散 为集中，给解题提供便利 (1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积 的几何体， 进而求之(2) 几何体的“补形”：与分割一样，有时为 了计算方便，可将几何体 补 成易求体积的几何体，如长方体、正方体等另外补台成锥是常 见的解决台体侧面积与体积 的方法，由台体的定 义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥 体研究体积(满分：90 分)一、填空题(每小题 6 分，共 48 分)1(2010东北育才学校三模) 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是 S，那么圆柱的体积等于_2(2009陕西改编)若正方体的棱长为 ，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面2体的体积为_3已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是 ，323则这个三棱柱的体积是_4(2010南京联考)矩形 ABCD 中，AB 4，BC 3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 BACD，则四面体 ABCD 的外接球的体积为_5(2010全国改编)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_6如图，半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是_7(2010苏州模拟)一块正方形薄铁片的边长为 4 cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图) ，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于_cm 3.8(2010湖北) 圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球 (球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球 (如图所示 )，则球的半径是_cm.二、解答题(共 42 分)9(14 分)(2010徐州模拟) 如图组合体中，三棱柱 ABCA1B1C1 的侧面 ABB1A1 是圆柱的轴截面点 C 是弧 AB 的中点，求四棱锥 A1BCC1B1 与圆柱的体积比10(14 分) (2010抚顺模拟)如图，四面体 ABCD 中，ABC 与DBC 都是边长为 4的正三角形(1)求证：BCAD ；(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长 AD 的大小；若不存在，说明理由11(14 分)(2011南京模拟)如图，已知三棱锥 PABC 中，ACB90，CB4，AB20 ，D 为 AB 中点，M 为 PB 中点，且PDB 是正三角形，PAPC.(1)求证：DM平面 PAC；(2)求证：平面 PAC平面 ABC；(3)求三棱锥 MBCD 的体积学案 42 空间几何体的表面积和体积答案自主梳理12 rh Sh r 2h rl Sh r2h (r 1r 2)l13 13Ch Sh Ch Sh (CC)h 4 R2 R3 2.(1) 各面面积之和 (2)侧面积与12 13 12 43底面面积之和自我检测1. 2.2631解析 设球半径为 R，则 R3 ，R ，正方体对角线长为 ，棱长为 1，体积为43 32 32 31.47解析 设上、下底半径为 r、R，则 2R32r，即 R3r.又 (R r)l84，Rr 28， r7.8435. a3212解析 设正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 E，沿 AC 折起后依题意得，当 BDa 时，BE DE，所以 DE平面 ABC，于是三棱锥 DABC 的高为 DE a，22所以三棱锥 DABC 的体积 V a2 a a3.1312 22 212课堂活动区例 1 解题导引 对于斜棱柱表面积及体积的求解必须求各个侧面的面积和棱柱的高解决此类斜棱柱侧面积问题的关键：在已知棱柱高的条件下，用线面垂直线线垂直的方法作出各个侧面的高，并在相 应的直角三角形中求解侧 面的高解 如图，过点 A1 作 A1O面 ABC 于点 O，连结 AO.过点 A1 作 A1EAB 于点 E，过点 A1 作 A1FAC 于点 F，连结 EO，FO，易得OEAB，OFAC，AA1 和 AB 与 AC 都成 60角，A1AEA1AF，A1EA 1F.A1O面 ABC，EOFO.点 O 在 BAC 的角平分线上，延长 AO 交 BC 于点 D，ABC 是正三角形，BCAD.BCAA1.AA1BB1，侧 面 BB1C1C 是矩形，三棱柱的侧面积为 S234sin 60 341212 .3AA13，AA 1 与 AB 和 AC 都成 60角，AE .BAO30 ，32AO ，A1O .3 6三棱柱的体积为 V 16 12 .34 6 2变式迁移 1 2 47解析 如图所示，设 D 为 BC 的中点，连结 A1D，AD.ABC 为等边三角形，ADBC，BC平面 A1AD，BCA1A，又 A1AB1B，BCB1B，又 侧面与底面边长都等于 2，四 边形 BB1C1C 是正方形，其面 积为 4.作 DEAB 于 E，连结 A1E，则 ABA1E，又 AD ，DE ，22 12 3ADBDAB 32AE ，AD2 DE232A1E ，AA21 AE272S 四 边 形 ABB1A1 ，S 三棱柱 侧 2 4.7 7例 2 解题导引 解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算求全面 积时 不要忘记“内表面” 解 如图所示，过 C 作 CO1AB 于 O1，在半圆中可得BCA 90 ，BAC30，AB2R，AC R，BCR，CO 1 R，332S 球 4R 2，S 圆锥 AO1侧 R R32 3 R2，S 圆锥 BO1侧 RR R2，32 32 32S 几何体表 S 球 S 圆锥 AO1侧S 圆锥 BO1侧 R2 R2 R2，112 32 11 32旋 转所得到的几何体的表面积为 R2.11 32又 V 球 R3，V 圆锥 AO1 AO1CO43 13 21 R2AO1，14V 圆锥 BO1 BO1CO R2BO1，13 21 14V 几何体 V 球 (V 圆锥 AO1V 圆锥 BO1) R3 R3 R3.43 12 56变式迁移 2 20解析 在ABC 中，ABAC2， BAC120，可得 BC2 ，由正弦定理，可得ABC3外接圆的半径 r2，设此圆圆 心为 O，球心 为 O，在 RtOBO中，易得球半径 R ，故5此球的表面积为 4R220.例 3 解题导引 求体积常用方法：割补法和等积变换法(1)割补法：对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式，常常运用割补法：将原几何体分割成几个可求体积的几何体，或利用平移、旋转或对称等手段，将原几何体补成便于求体积的几何体(2)等积变换法：求锥体的体积，要选择适当的底面和高，任何一个面均可作 为底面，且常用“等积性”求点到面的距离答案 23解析 如图所示，过 BC 作 EF 的直截面 BCG，作面 ADM面 BCG，FO ，FG .32 12GO ，FO2 FG222SBCG 1 ，12 22 24V1V BCGADM SBCGAB ，24V22V FBCG 2 .13 24 12 212V V1V 2 .23变式迁移 3 (1) r2 (2)21a b2解析 (1)补上一个相同形状的几何体，如图所示，可得底面半径为 r，高为(ab)的圆柱，故所求的体积为r2(a b)12(2)由题意可知 VBGAC V PGAC ，三棱 锥 VBGAC V GBAC ，VDGAC V GADC ，又 三棱 锥 G BAC 与三棱锥 GADC 等高，且 SBACSADC12，综上可知 VDGAC VPGAC 21.课后练习区1.S4S解析 设圆柱的底面半径为 r，则高为 2r，S2 r2r，r ，S2Vr 22r2r 32( )312S2 .18 SS S4S2.23解析 由题意可知，此几何体是由同底面的两个正四棱锥组 成的，底面正方形的 边长为 1，每一个正四棱锥的高为 ，所以 V2 1 .22 13 22 23348 3解析 由 R3 ，R2.正三棱柱的高 h4.设其底面 边长为 a，43 323则 a2，a 4 .13 32 3V (4 )2448 .34 3 34.1256解析 易知外接球球心 O 即 为 AC 的中点，故球半径 r AC ，12 52V r3 ( )343 43 52 .12565. a273解析 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a.如图，设 O、O1 分别为下、上底面中心，且球心 O2为 O1O 的中点，又 AO a，33OO2 ，设球的半径为 R，a2则 R2AO a2 a2213 14 a2.712S 球 4R 24 a2 a2.712 7366 7解析 取底面中心为 O，AF 中点为 M，连结 PO、OM、PM、AO，则 POOM，OMAF，PMAF，OAOP2，OM ，3PM .4 3 7S 侧 6 2 6 .12 7 77. 153解析 围成圆锥筒的母线长为 4 cm，设圆锥的底面半径为 r，则 2r 24，14r1，圆锥的高 h .42 12 15V 圆锥 r2h (cm3)13 15384解析 设球的半径为 r，则 V 水 r 28，V 球 r3，r28 r33 r26r，43 43r4(cm)9解 设圆柱的底面半径为 r，母 线长为 h，当点 C 是弧 的中点时，三角形 ABC 的面积为 r2，三棱柱 ABCA1B1C1 的体积为 r2h，AB三棱锥 A1ABC 的体积为 r2h，四棱 锥 A1BCC1B1 的体 积为 r2h r2h r2h，圆柱的体积13 13 23为 r2h，(9 分)故四棱锥 A1BCC1B1 与圆柱的体积比为 23.(14 分)10(1)证明 取 BC 的中点 E，连结 AE，DE，ABC 与DBC 都是边长为 4 的正三角形，AEBC，DEBC.又 AEDE E，BC平面 AED.又 AD面 AED，BCAD.(6 分)(2)解 由已知得，AED 为等腰三角形，且 AEED 2 ，设 ADx，F 为棱 AD 的中3点，则 EF ，12 (12x)2SAED x ，(10 分)12 12 x24 1448x2 x4V SAED(BECE) (0x4 )，13 1348x2 x4 3当 x224，即 x2 时，V max8，6该 四面体存在最大值，最大值为 8，此时棱长 AD2 .(14 分)611(1)证明 D 为 AB 中点，M 为 PB 的中点，DMPA，又DM 平面 PAC，PA平面 PAC，DM平面 PAC.(3 分)(2)证明 M