第5章 学案23

学案 23 正弦定理和余弦定理应用举例导学目标： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题自主梳理1仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示 )2方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角 45，是指北偏东 45，即东北方向3方向角：相对于某一正方向的水平角(如图所示)北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向北偏西 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向南偏西等其他方向角类似4坡角坡面与水平面的夹角(如图所示 )5坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即 i tan (i 为坡比， 为坡角)hl6解题的基本思路运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题，实质是数学知识在生活中的应用，要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把握一个抽象、概括的问题，即建立数学模型自我检测1从 A 处望 B 处的仰角为 ，从 B 处望 A 处的俯角为 ，则 ， 之间的大小关系是_2如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站 C的北偏东 40，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的_方向3如图所示，为了测量某障碍物两侧 A、B 间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B 间距离的是 _(填序号) ，a，b；， ，a；a，b，；，b.4在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是 30、60 ，则塔高为_m.5(2010全国)ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD33，sin B ，cos ADC513，求 AD.35探究点一 与距离有关的问题例 1 (2010陕西)如图，A， B 是海面上位于东西方向相距 5(3 )海里的两个观测点，3现位于 A 点北偏东 45，B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60且与 B 点相距 20 海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/时，3该救援船到达 D 点需要多长时间？变式迁移 1 某观测站 C 在目标 A 的南偏西 25方向，从 A 出发有一条南偏东 35走向的公路，在 C 处测得与 C 相距 31 千米的公路上 B 处有一人正沿此公路向 A 走去，走 20千米到达 D，此时测得 CD 为 21 千米，求此人在 D 处距 A 还有多少千米？探究点二 与高度有关的问题例 2 如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，现测得BCD，BDC，CDs，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ，求塔高 AB.变式迁移 2 某人在塔的正东沿着南偏西 60的方向前进 40 米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为 30，求塔高探究点三 三角形中的最值问题例 3 (2010江苏)某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆 BC 的高度 h4 m ，仰角ABE，ADE.(1)该小组已测得一组 、 的值，算出了 tan 1.24，tan 1.20，请据此算出 H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位：m)，使 与 之差较大，可以提高测量精度若电视塔实际高度为 125 m，试问 d 为多少时， 最大？变式迁移 3 如图所示，已知半圆的直径 AB2，点 C 在 AB 的延长线上，BC 1，点 P 为半圆上的一个动点，以 DC 为边作等边PCD ，且点 D 与圆心 O 分别在 PC 的两侧，求四边形 OPDC 面积的最大值一、解三角形的一般步骤1分析题意，准确理解题意分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、 术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等2根据题意画出示意图3将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答4检验解出的答案是否具有实际 意义， 对解进行取舍二、应用举例中常见几种题型测量距离问题、测量高度问题 、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等(满分：90 分)一、填空题(每小题 6 分，共 48 分)1如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为_2(2011泰州模拟)如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45 ，CAB 105 后，就可以计算出 A、B 两点的距离为_m.3ABC 的两边长分别为 2,3，其夹角的余弦值为 ，则其外接圆的半径为13_4某人向正东方向走 x km 后，向右转 150，然后朝新方向走 3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么 x 的值为_35一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60方向，另一灯塔在船的南偏西 75方向，则这只船的速度是_海里/小时6一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60方向，行驶 4 h 后，船到 B 处，看到这个灯塔在北偏东 15方向，这时船与灯塔的距离为_km.7(2010台州一模)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为 15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60和 30，第一排和最后一排的距离为 10 米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国6歌长度约为 50 秒，升旗手应以_米/秒的速度匀速升旗8线段 AB 外有一点 C，ABC60 ，AB200 km，汽车以 80 km/h 的速度由 A 向B 行驶，同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶，则运动开始_h 后，两车的距离最小二、解答题(共 42 分)9(14 分)(2009辽宁)如图， A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75、30，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60，AC0.1 km.试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B、D 的距离( 计算结果精确到 0.01 km， 1.414， 2.449)2 610(14 分) 如图所示，甲船以每小时 30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方2向匀速直线航行当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的南偏西 75方向的 B1 处，此时两船相距 20 海里当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时，乙船航行到甲船的南偏西 60方向的 B2 处，此时两船相距 10 海里问乙船每小时航行多少海里？211(14 分)(2009福建)如图，某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 OSM，该曲线段为函数 yAsin x( A0，0)，x0,4的图象，且图象的最高点为 S(3,2 )；赛道的后一部分为折线段 MNP，为保证参赛运动员的安全，3限定MNP120.(1)求 A， 的值和 M，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道 MNP 最长？答案 自我检测1 2.北偏西 10 3. 4.40035解 由 cosADC 0 知 B ，35 2由已知得 cos B ，sinADC ，1213 45从而 sinBAD sin(ADCB)sinADCcos BcosADC sin B .45 1213 35 513 3365由正弦定理得， ，ADsin B BDsin BAD所以 AD 25.BDsin Bsin BAD335133365课堂活动区例 1 解题导引 这类实际应用题，实质就是解三角形问题 ，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图 ，然后将问题转化为三角形问题去求解注意：基线的选取要恰当准确； 选取的三角形及正、余弦定理要恰当解 由题意知 AB5(3 )海里， DBA 906030，DAB904545 ，3ADB180(4530)105.在DAB 中，由正弦定理，得 ，DBsin DAB ABsin ADBDB ABsin DABsin ADB 53 3sin 45sin 105 10 (海里)53 3sin 45sin 45cos 60 cos 45sin 60 3又DBCDBAABC 30(9060)60，BC20 (海里)，3在DBC 中，由余弦定理，得 CD2BD 2BC 22BDBC cos DBC3001 200210 20 900， CD30(海里) ，3 312需要的时间 t 1(小时)3030故救援船到达 D 点需要 1 小 时变式迁移 1 解 如图所示，易知CAD2535 60，在BCD 中，cos B ，312 202 21223120 2331所以 sin B .12331在ABC 中，AC 24，BCsin Bsin A由 BC2AC 2AB 22AC ABcos A，得 AB224AB3850，解得 AB35，AB 11(舍)，所以 ADABBD15.故此人在 D 处距 A 还有 15 千米例 2 解题导引 在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识解 在BCD 中，CBD.由正弦定理得 ，BCsin BDC CDsin CBD所以 BC ，CDsin BDCsin CBD ssin sin 在 Rt ABC 中，ABBCtan ACB .stan sin sin 变式迁移 2 解 由题意可知，在BCD 中，CD40，BCD30，DBC135 ，由正弦定理得，CDsin DBC ，BDsin BCDBD 20 .40sin 30sin 135 2过 B 作 BECD 于 E，显然当人在 E 处时，测得塔的仰角最大，有BEA30.在 Rt BED 中，又BDE1801353015.BEDB sin 1520 10( 1)26 24 3在 Rt ABE 中， ABBEtan 30 (3 )(米)103 3故所求的塔高为 (3 )米103 3例 3 解题导引 平面几何图形中研究或求有关长度、角度、面积的最值、优化设计等问题而这些几何问题通常是 转化到三角形中，利用正、余弦定理通 过运算的方法加以解决在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之若研究最值，常使用函数思想解 (1)由 AB ，BD ，AD 及 ABBDAD，Htan htan Htan 得 ，Htan htan Htan 解得 H 124(m)htan tan tan 41.241.24 1.20因此，算出的电视塔的高度 H 是 124 m.(2)由题设知 dAB，得 tan .Hd由 ABAD BD ，Htan htan 得 tan .H hd所以 tan()tan tan 1 tan tan ，hd HH hd h2HH h当且仅当 d ，HH hd即 d 55 时，HH h 125125 4 5上式取等号，所以当 d55 时，tan( )最大5因为 0 ，则 0 ，2 2所以当 d55 时， 最大5变式迁移 3 解 设POB ，四 边形面积为 y，则在POC 中，由余弦定理得PC2OP 2OC 22OPOCcos 54cos .yS OPC S PCD 12sin (54cos )12 342sin( ) .3 534当 ，即 时，y max2 .3 2 56 534所以四边形 OPDC 面积的最大 值为 2 .534课后练习区1. 2.50 3.78 2 9284. 或 23 3解析 如图所示，设此人从 A 出发，则 ABx，BC 3，AC ，3ABC30 ，由正弦定理 ，BCsin CAB ACsin 30得CAB60或 120，当CAB60时，ACB90， AB2 ；3当CAB120时，ACB30， AB .3510解析 如图，依题意有BAC60，BAD75，所以 CADCDA 15，从而 CDCA 10，在 Rt ABC 中，可得 AB5，于是这只船的速度是10(海里/小时)50.5630 2解析 依题意有 AB15460(km)，MAB 30 ，AMB45，在AMB 中，由正弦定理得 ，60sin 45 BMsin 30解得 BM30 (km)270.6解析 在BCD 中，BDC 45，CBD30 ，CD10 ，6由正弦定理，得 BC 20 (米)；CDsin 45sin 30 3在 Rt ABC 中，ABBCsin 6020 30(米) 332所以升旗速度 v 0.6(米/秒)ABt 30508.7043解 如图所示：设 t h 后，汽车由 A 行驶到 D，摩托 车由 B 行驶到 E，则 AD80t ，BE50t.因为 AB200，所以 BD20080t ，问题就是求 DE 最小时 t 的值由余弦定理得，DE 2BD 2BE 22BD BEcos 60(20080t) 2 2500t2(20080t)50t12900t 242000t40000.当 t 时， DE 最小70439解 在ACD 中，DAC 30 ，ADC60 DAC30 ，所以 CDAC0.1.(2 分)又BCD18060 6060，所以ABCCBD，所以 BABD .(6 分)在ABC 中， ，ABsin BCA ACsin ABC即 AB ，(10ACsin 60sin 15 32 620分)所以 BD 0.33(km)32 620故 B、D 的距离约为 0.33 km.(14分)10解 如图，连结 A1B2，由题 意知，A1B120，A 2B210 ，2A1A2 30 10 .(2 分)2060 2 2又B 2A2A1 18012060，A 1A2B2 是等 边三角形，(6分)B 1A1B21056045. (8 分)在A 1B2B1 中