第8章 学案40

学案 40 空间的平行关系导学目标： 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面、面面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题自主梳理1空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线 a 和平面 的位置关系有三种：_、_、_.(2)两个平面的位置关系有两种：_和_2直线与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果平面外一条直线和这个_平行，那么这条直线与这个平面平行(2)性质定理：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行3平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果一个平面内有_都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线_自我检测1下列各命题中：平行于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；垂直于同一直线的两个平面平行不正确的命题个数是_2经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作_个3一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是_4(2010济南模拟)已知 、 是不同的两个平面，直线 a，直线 b，命题 p：a与 b 没有公共点；命题 q：，则 p 是 q 的_条件5(2010南京二模)在四面体 ABCD 中，M、N 分别是ACD、BCD 的重心，则四面体的四个面中与 MN 平行的是_探究点一 线面平行的判定例 1 已知有公共边 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内，P、Q分别是对角线 AE、BD 上的点，且 APDQ.求证：PQ 平面 CBE.变式迁移 1 在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是平行四边形，M、N 分别是AB、 PC 的中点，求证： MN平面 PAD.探究点二 面面平行的判定例 2 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N、P 分别是 C1C、B 1C1、C 1D1 的中点，求证：平面 MNP平面 A1BD.变式迁移 2 已知 P 为ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3 分别是PAB、PCB、 PAC 的重心(1)求证：平面 G1G2G3平面 ABC；(2)求 SG 1G2G3S ABC .探究点三 平行中的探索性问题例 3 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，CDAB，AD AB，ADDC AB，BC PC .12(1)求证：PABC；(2)试在线段 PB 上找一点 M，使 CM平面 PAD，并说明理由变式迁移 3 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P是 DD1 的中点，设 Q 是 CC1 上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ平面 PAO?1直线与平面平行的主要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质定理2平面与平面平行的主要判定方法：(1)定义法；(2)判定定理； (3)利用结论：a，a .3线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化：线 线 线 面 面性质判判 定 性 质 判 定 性 质定面(满分：90 分)一、填空题(每小题 6 分，共 48 分)1下列命题中真命题的个数为_直线 l 平行于平面 内的无数条直线，则 l；若直线 a 在平面 外，则 a；若直线 ab，直线 b，则 a；若直线 ab，b，那么直线 a 就平行于平面 内的无数条直线2给出下列命题，其中正确的命题是_( 填序号) 直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；直线 m平面 ，直线 nm，则 n；a、b 是异面直线，则存在唯一的平面 ，使它与 a、b 都平行且与 a、b 距离相等3设 l1、l 2 是两条直线，、 是两个平面，A 为一点，有下列四个命题，其中正确命题的个数是_若 l1，l 2A ，则 l1 与 l2 必为异面直线；若 l1，l 2l 1，则 l2；若 l1，l 2 ，l 1，l 2，则 ；若 ，l 1，则 l1 .4在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，则下列命题中，正确的为_( 填序号) ACBD；AC截面 PQMN；ACBD ；异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45.5下列四个正方体图形中，A、B 为正方体的两个顶点，M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB面 MNP 的图形的序号是_( 写出所有符合要求的图形序号) 6(2010大连模拟)过三棱柱 ABCA1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1 平行的有_条7. 如图所示，ABCDA 1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，M，N 分别是下底面的棱A1B1，B 1C1 的中点， P 是上底面的棱 AD 上的一点，AP ，过 P，M ，N 的平面交上底面a3于 PQ， Q 在 CD 上，则 PQ _.8已知平面 平面 ，P 是 、 外一点，过点 P 的直线 m 与 、 分别交于A、C ，过点 P 的直线 n 与 、 分别交于 B、D 且 PA6，AC9，PD8，则 BD 的长为_二、解答题(共 42 分)9(12 分) 如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，M、N 分别是 BC 和 A1B1 的中点求证：MN平面 AA1C1C.10(14 分)(2010湖南改编) 如图所示，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点在棱 C1D1 上是否存在一点 F，使 B1F平面 A1BE？证明你的结论11(16 分) (2010济宁一模) 如图，四边形 ABCD 为矩形，DA 平面ABE，AEEB BC2，BF 平面 ACE，且点 F 在 CE 上(1)求证：AEBE；(2)求三棱锥 DAEC 的体积；(3)设点 M 在线段 AB 上，且满足 AM2MB，试在线段 CE 上确定一点 N，使得 MN平面 DAE.学案 40 空间的平行关系答案自主梳理1(1)平行 相交 在平面内 (2)平行 相交 2.(1) 平面内的一条直线 3.(1) 两条相交直线 (2)平行自我检测11 2.0 或 1 3.平行 4.必要不充分5面 ABC 和面 ABD课堂活动区例 1 解题导引 证明线面平行问题一般可考虑证线线平行或证面面平行，要充分利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化证明 方法一 如图所示，作 PMAB 交 BE 于 M，作 QNAB 交 BC 于 N，连结 MN.矩形 ABCD 和矩形 ABEF 全等且有公共边 AB，AEBD.又 APDQ，PEQB，又 PMABQN， ， ， .PMAB EPEAQNDC BQBD PMAB QNDCPM 綊 QN，四边形 PQNM 为平行四边形，PQMN又 MN平面 BCE，PQ平面 BCE，PQ平面 BCE.方法二 如图所示，连结 AQ，并延长交 BC 于 K，连结 EK，AEBD，AP DQ，PEBQ， .APPE DQBQ又 ADBK， . DQBQ AQQK由得 ，PQEK.APPE AQQK又 PQ平面 BCE，EK平面 BCE，PQ平面 BCE.方法三 如图所示，在平面 ABEF 内，过点 P 作 PMBE，交 AB 于点 M，连结 QM.PMBE，PM平面 BCE，PM平面 BCE，且 .APPE AMMB又 APDQ，PEBQ， . APPE DQBQ由得 ，MQAD，AMMB DQQBMQBC，又MQ平面 BCE，BC平面 BCE，MQ平面 BCE.又 PMMQ M，平面 PMQ平面 BCE，又 PQ平面 PMQ，PQ平面 BCE.变式迁移 1 证明 方法一 取 CD 中点 E，连结 NE、ME、MN.M、N 分别是 AB、PC 的中点，NEPD，MEAD.又 NE，ME平面 PAD，PD，AD平面 PAD，NE平面 PAD，ME平面 PAD.又 NEMEE， 平面 MNE平面 PAD.又 MN平面 MNE，MN平面 PAD.方法二 取 PD 中点 F，连结 AF、NF、NM.M、N 分别为 AB、PC 的中点，NF 綊 CD，AM 綊 CD，AM 綊 NF.12 12四 边形 AMNF 为平行四边形，MNAF .又 AF平面 PAD，MN平面 PAD，MN平面 PAD.例 2 解题导引 面面平行的常用判断方法有：(1)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线 都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；关键是利用“ 线线平行” 、“线面平行” 、“面面平行”的相互转化证明 方法一 如图所示，连结 B1D1、B1C.P、N 分别是 D1C1、B1C1 的中点，PNB1D1.又 B1D1BD，PNBD.又 PN面 A1BD，PN平面 A1BD.同理 MN平面 A1BD.又 PNMNN ，平面 MNP平面 A1BD.方法二 如图所示，连结 AC1、AC.ABCDA1B1C1D1为正方体，ACBD.又 CC1面 ABCD，BD面 ABCD，CC1BD，BD面 ACC1，又 AC1面 ACC1，AC1BD.同理可证 AC1A1B，AC1平面 A1BD.同理可证 AC1平面 PMN，平面 PMN平面 A1BD.变式迁移 2 (1)证明 如图所示， 连结 PG1、PG2、PG3 并延长分别与边 AB、BC、AC 交于点 D、E、F，连结 DE、EF、FD，则有 PG1PD23，PG2PE23，G 1G2DE.又 G1G2 不在平面 ABC 内，DE 在平面 ABC 内，G1G2平面 ABC.同理 G2G3平面 ABC.又因为 G1G2G 2G3G 2，平面 G1G2G3平面 ABC.(2)解 由(1)知 ，G1G2 DE.PG1PD PG2PE 23 23又 DE AC，G1G2 AC.12 13同理 G2G3 AB，G1G3 BC.13 13G1G2G3CAB，其相似比为 13，SG1G2G3SABC1 9.例 3 解题导引 近几年探索性问题在高考中时有出现，解答此类问题时先以特殊位置尝试探究，找到符合要求的点后再给出严格证明(1)证明 连结 AC，过点 C 作 CEAB，垂足 为 E.在四边形 ABCD 中，ADAB，CDAB， ADDC ，四 边形 ADCE 为正方形ACDACE45.AECD AB，BEAE CE .BCE45.12ACBACEBCE454590.ACBC.又 BCPC，AC平面 PAC，PC平面 PAC，ACPCC，BC平面 PAC.PA平面 PAC，PABC.(2)解 当 M 为 PB 的中点时，CM平面 PAD.方法一 取 AP 的中点 F，连结 CM，FM，DF.则 FM 綊 AB.12CDAB，CD AB，12FM 綊 CD.四 边形 CDFM 为平行四边形CMDF .DF平面 PAD，CM平面 PAD，CM平面 PAD.方法二 在四边形 ABCD 中，设 BC 的延长线与 AD 的延长线交于点 Q，连结 PQ，CM.CDAB， .QCQB CDAB 12C 为 BQ 的中点M 为 BP 的中点，CMQP.PQ平面 PAD，CM平面 PAD，CM平面 PAD.方法三 取 AB 的中点 E，连结 EM，CE，CM.在四边形 ABCD 中，CDAB ，CD AB，E 为 AB 的中点，12AEDC，且 AEDC.四 边形 AECD 为平行四边形CE DA.DA平面 PAD，CE平面 PAD，CE平面 PAD.同理，根据 E，M 分别为 BA，BP 的中点，得 EM平面 PAD.CE平面 CEM，EM平面 CEM，CEEME ，平面 CEM平面 PAD.CM 平面 CEM，CM平面 PAD.变式迁移 3 解 当 Q 为 CC1 的中点时，平面 D1BQ平面 PAO.Q 为 CC1 的中点，P 为 DD1 的中点， QBPA.P、O 为 DD1、DB 的中点，D 1BPO.又 POPAP，D 1BQBB，D 1B平面 PAO，QB平面 PAO，平面 D1BQ平面 PAO.课后练习区11 2. 3.0 4.5解析 面 AB面 MNP，AB面 MNP，过 N 作 AB 的平行线交于底面正方形的中心 O，NO面 MNP，AB 与面 MNP 不平行易知 ABMP，AB面 MNP；过点 P 作 PCAB，PC面 MNP，AB 与面 MNP 不平行6.6解析 如图，EF E1F1AB，EE1FF1BB1，F1EA1D，E1FB1D，EF、E1F1、EE1、FF1、F1E、E1F 都平行于平面 ABB1A1，共 6 条7. a223解析 如图所示，连结 AC，易知 MN平面 ABCD，又 PQ 为平面 ABCD 与平面 MNQP 的交线，MNPQ.又 MNAC，PQAC，又 AP ，a3 ，PQ AC a.DPAD DQCD PQAC 23 23 223824 或245解析 分两种情况：图(1)中，由 得 ABCD，求得 BD24，图(2)中，同理得 ABCD，求得 BD .2459证明 设 A1C1 的中点为 F，连结 NF，FC，N 为 A1B1 的中点，NFB1C1，且 NF B1C1，12又由棱柱性质知 B1C1綊 BC，(4 分)又 M 是 BC 的中点，NF 綊 MC，四 边形 NFCM 为平行四边形MNCF，(8 分)又 CF平面 AA1C1C，MN平面 AA1C1C，MN平面 AA1C1C.(12 分)10解 在棱 C1D1 上存在点 F，使 B1F平面 A1BE.证明如下：如图所示，分别取 C1D1 和 CD 的中点 F，G，连结 B1F，EG，BG，CD1，FG.因为A1D1B1C1BC，且 A1D1BC ，所以四 边形 A1BCD1 是平行四边形，因此 D1CA1B.又 E，G 分别为 D1D，CD 的中点，所以 EGD1C，从而 EGA1B.这说明 A1，B，G，E 四点共面，所以