公开课教学设计 圆锥曲线的共同性质教案

公开课教学设计 圆锥曲线的共同性质教案教学目标了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法教学重点，难点圆锥曲线的统一定义及准线方程教学过程一、问题情境1情境：我们知道，平面内到一个定点 的距离和到一条定直线 不在 上 的距离的比等于 的动点 的轨迹是抛物线当这个比值是一个不等于的常数时，动点 的轨迹又是什么曲线呢？2问题：试探讨这个常数分别是 和 时，动点 的轨迹？二、学生活动探讨过程略（可以用课件演示或直接推导） ；可以得到：当常数是 时，得到的是椭圆；当常数等于 2 时得到的是双曲线；三、数学运用1例题：例 1已知点 到定点 的距离与它到定直线 的距离的比是常数 ，求点 的轨迹解：根据题意可得化简得令 ，上式可化为这是椭圆的标准方程所以点 的轨迹是以焦点为 ，长轴、短轴分别为 的椭圆。这个椭圆的离心率 就是 到定点 的距离和它到定直线 不在 上 的距离的比类似地，我们可以得到：当点 到定点 的距离和它到定直线 的距离的比是常数 时，这个点的轨迹是双曲线，方程为 （其中 ） ，这个常数就是双曲线的离心率这样，圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点 和到一条定直线 （ 不在 上）的距离的比等于常数 的点的轨迹当 时，它表示椭圆；当 时，它表示双曲线；当 时，它表示抛物线其中 是圆锥曲线的离心率，定点 是圆锥曲线的焦点，定直线 是圆锥曲线的准线根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在 轴上的椭圆或双曲线，与焦点 对应的准线方程分别为 例 2椭圆 上一点到右准线的距离是 ，求该点到椭圆左焦点的距离解：设该椭圆的的左右焦点分别是 ，该椭圆的离心率为 ，由圆锥曲线的统一定义可知，所以， 即该点到椭圆左焦点的距离为 说明：椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线，在解题过程中要注意对应，即左焦点对应左准线，右焦点对应右准线（或上焦点对应上准线、下焦点对应下准线 ）例 3若椭圆 内有一点 ， 为右焦点，椭圆上有一点 使最小，则点 为 （ ）略解：因为椭圆的离心率为 ，则 就等于 点到右准线的距离 ，则可以看到 ，由点到直线的最短距离是垂线段得 可以得到 故选 教学目标了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法教学重点，难点圆锥曲线的统一定义及准线方程教学过程一、问题情境1情境：我们知道，平面内到一个定点 的距离和到一条定直线 不在 上 的距离的比等于 的动点 的轨迹是抛物线当这个比值是一个不等于的常数时，动点 的轨迹又是什么曲线呢？2问题：试探讨这个常数分别是 和 时，动点 的轨迹？二、学生活动探讨过程略（可以用课件演示或直接推导） ；可以得到：当常数是 时，得到的是椭圆；当常数等于 2 时得到的是双曲线；三、数学运用1例题：例 1已知点 到定点 的距离与它到定直线 的距离的比是常数 ，求点 的轨迹解：根据题意可得化简得令 ，上式可化为这是椭圆的标准方程所以点 的轨迹是以焦点为 ，长轴、短轴分别为 的椭圆。这个椭圆的离心率 就是 到定点 的距离和它到定直线 不在 上 的距离的比类似地，我们可以得到：当点 到定点 的距离和它到定直线 的距离的比是常数 时，这个点的轨迹是双曲线，方程为 （其中 ） ，这个常数就是双曲线的离心率这样，圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点 和到一条定直线 （ 不在 上）的距离的比等于常数 的点的轨迹当 时，它表示椭圆；当 时，它表示双曲线；当 时，它表示抛物线其中 是圆锥曲线的离心率，定点 是圆锥曲线的焦点，定直线 是圆锥曲线的准线根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在 轴上的椭圆或双曲线，与焦点 对应的准线方程分别为 例 2椭圆 上一点到右准线的距离是 ，求该点到椭圆左焦点的距离解：设该椭圆的的左右焦点分别是 ，该椭圆的离心率为 ，由圆锥曲线的统一定义可知，所以， 即该点到椭圆左焦点的距离为 说明：椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线，在解题过程中要注意对应，即左焦点对应左准线，右焦点对应右准线（或上焦点对应上准线、下焦点对应下准线 ）例 3若椭圆 内有一点 ， 为右焦点，椭圆上有一点 使最小，则点 为 （ ）略解：因为椭圆的离心率为 ，则 就等于 点到右准线的距离 ，则可以看到 ，由点到直线的最短距离是垂线段得 可以得到 故选 教学目标了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法教学重点，难点圆锥曲线的统一定义及准线方程教学过程一、问题情境1情境：我们知道，平面内到一个定点 的距离和到一条定直线 不在 上 的距离的比等于 的动点 的轨迹是抛物线当这个比值是一个不等于的常数时，动点 的轨迹又是什么曲线呢？2问题：试探讨这个常数分别是 和 时，动点 的轨迹？二、学生活动探讨过程略（可以用课件演示或直接推导） ；可以得到：当常数是 时，得到的是椭圆；当常数等于 2 时得到的是双曲线；三、数学运用1例题：例 1已知点 到定点 的距离与它到定直线 的距离的比是常数 ，求点 的轨迹解：根据题意可得化简得令 ，上式可化为这是椭圆的标准方程所以点 的轨迹是以焦点为 ，长轴、短轴分别为 的椭圆。这个椭圆的离心率 就是 到定点 的距离和它到定直线 不在 上 的距离的比类似地，我们可以得到：当点 到定点 的距离和它到定直线 的距离的比是常数 时，这个点的轨迹是双曲线，方程为 （其中 ） ，这个常数就是双曲线的离心率这样，圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点 和到一条定直线 （ 不在 上）的距离的比等于常数 的点的轨迹当 时，它表示椭圆；当 时，它表示双曲线；当 时，它表示抛物线其中 是圆锥曲线的离心率，定点 是圆锥曲线的焦点，定直线 是圆锥曲线的准线根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在 轴上的椭圆或双曲线，与焦点 对应的准线方程分别为 例 2椭圆 上一点到右准线的距离是 ，求该点到椭圆左焦点的距离解：设该椭圆的的左右焦点分别是 ，该椭圆的离心率为 ，由圆锥曲线的统一定义可知，所以， 即该点到椭圆左焦点的距离为 说明：椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线，在解题过程中要注意对应，即左焦