六年级上山、下山的行程问题

六年级上山、下山的行程问题六年级上山、下山的行程问题所谓上山、下山的行程问题区别于通常的行程问题之处就在于在整个行程过程中速度会发生变化。下面通过几个问题介绍此类问题的解决思路。问题 从甲地到乙地，先是上坡路，然后就是下坡路，一辆汽车上坡速度为每小时 20 千米，下坡速度为每小时 35 千米。车从甲地到乙地共用 9 小时，从乙地返回到甲地共用 7.5 小时。求去时上坡路和下坡路分别为多少千米？ 先画出如右图形：图中 A表示甲地，C 表示乙地。从 A 到 B 是上坡路，从 B到 C 是下坡路；反过来，从 C 到 B 就是上坡路，从B 到 A 是下坡路。由于从甲地到乙地用 9 小时，反过来从乙地到甲地用 7.5 小时，这说明从 A 到 B 的距离大于从 B到 C 的距离。本题的难点在于上下坡不仅速度不同，而且距离不同，因此自然的思路是设法把上下坡的距离变不同为相同。在从 A 到 B 的路程中取一个点 D，使得从 D 到B 的距离等于从 B 到 C 的距离，这样 A 到 D 的距离就是 AB 距离比 BC 距离多出来的部分。下面我们分析为什么去时比回来时间会多用了：9-7.51.5（时）从图中容易看出就是因为去时从 A 到 D 是上坡，而回来时从 D 到 A 变成了下坡，其它路途所用的总时间是一样的。现在的问题是 AD 这段路程中速度由每小时 20千米改为 35 千米，则时间少用 1.5 小时，由此可以求出什么？如果设速度为每小时 20 千米所用时间为单位“1”，那么速度为每小时 35 千米所用时间为：由此就可以求出 AD 之间的距离为：203.570（千米）或 35270（千米）还可以求出从 D 到 C 和从 C 到 D 所用时间均为：93.55.5（时）或 7.525.5（时）至此我们已经完成了将上下坡的距离变为相同的目的了。如果设从 D 到上坡所用时间为：所以去时上坡的总路程就是：70+203.5=140（千米）下坡总路程是：352=70（千米）上面所用方法实质上是通过“截长变短”把上下坡的距离“变不同为相同” ，而实现这一目的还可以通过“补”的方法。将返回的路程补在去时路程的后面，画出右图：这时全程去与回所用的时间都是：97.516.5（时） 而且全程的上坡路程和下坡路程相等，都等于原来上下坡距离之和。设为：所以原来上下坡距离之和就是：2010.5=210（千米）或 356210（千米）下面采用解决“鸡兔同笼”问题的方法，假设原来从 A 到 C 速度不变，都是每小时 35 千米，这样 9 小时所行路程应该为：359180（千米）比实际距离少行了：21018030（千米）就是因为从 B 到 C 的下坡速度每小时 20 千米变成了 35 千米，因此从 B 到 C 的时间为：30（3520）2（时）从 A 到 B 上坡的时间为：92=7（时）由此上下坡的距离就不难求出了。这个解法的思路是通过“补” ，不仅使得上下坡距离相等，而且使得往返所用的时间相等。解决本题的两个方法说明，在“变不同为相同”这个基本思想的指导下，手段可以是多种多样的。下面再看一道类似的问题。问题 如右图，从 A 到 B 是下坡路，从 B 到 C是平路，从 C 到 D 是上坡路。小张和小王步行速度分别都是：上坡每小时 4 千米，平路每小时 5 千米，下坡每小时 6 千米。二人分别从 A、D 两点同时王到达 A 后 9 分钟，小张到达 D。求从 A 到 D的全程距离。首先发现二人平路上行走的距离相同，小张比小王多用 9 分钟的原因就是 CD 距离大于 AB 距离。我们仿照上题思路，在 CD 上取一点 F，使得CF 距离等于 AB 距离，并画出如右图形：设从 D 到F 下坡所用时间为“1” ，则从 F 到 D 上坡所用时间为：到 F 所用时间 18 分钟，因此可以求出平路的距离为：以上两个问题的共同之处在于将上下坡的不同距离变为相同，完成这种变化的基础问题是：已知同一段路程的两个不同速度和相差的时间，如何求出这段行程的时间和路程。六年级上山、下山的行程问题所谓上山、下山的行程问题区别于通常的行程问题之处就在于在整个行程过程中速度会发生变化。下面通过几个问题介绍此类问题的解决思路。问题 从甲地到乙地，先是上坡路，然后就是下坡路，一辆汽车上坡速度为每小时 20 千米，下坡速度为每小时 35 千米。车从甲地到乙地共用 9 小时，从乙地返回到甲地共用 7.5 小时。求去时上坡路和下坡路分别为多少千米？ 先画出如右图形：图中 A表示甲地，C 表示乙地。从 A 到 B 是上坡路，从 B到 C 是下坡路；反过来，从 C 到 B 就是上坡路，从B 到 A 是下坡路。由于从甲地到乙地用 9 小时，反过来从乙地到甲地用 7.5 小时，这说明从 A 到 B 的距离大于从 B到 C 的距离。本题的难点在于上下坡不仅速度不同，而且距离不同，因此自然的思路是设法把上下坡的距离变不同为相同。在从 A 到 B 的路程中取一个点 D，使得从 D 到B 的距离等于从 B 到 C 的距离，这样 A 到 D 的距离就是 AB 距离比 BC 距离多出来的部分。下面我们分析为什么去时比回来时间会多用了：9-7.51.5（时）从图中容易看出就是因为去时从 A 到 D 是上坡，而回来时从 D 到 A 变成了下坡，其它路途所用的总时间是一样的。现在的问题是 AD 这段路程中速度由每小时 20千米改为 35 千米，则时间少用 1.5 小时，由此可以求出什么？如果设速度为每小时 20 千米所用时间为单位“1”，那么速度为每小时 35 千米所用时间为：由此就可以求出 AD 之间的距离为：203.570（千米）或 35270（千米）还可以求出从 D 到 C 和从 C 到 D 所用时间均为：93.55.5（时）或 7.525.5（时）至此我们已经完成了将上下坡的距离变为相同的目的了。如果设从 D 到上坡所用时间为：所以去时上坡的总路程就是：70+203.5=140（千米）下坡总路程是：352=70（千米）上面所用方法实质上是通过“截长变短”把上下坡的距离“变不同为相同” ，而实现这一目的还可以通过“补”的方法。将返回的路程补在去时路程的后面，画出右图：这时全程去与回所用的时间都是：97.516.5（时） 而且全程的上坡路程和下坡路程相等，都等于原来上下坡距离之和。设为：所以原来上下坡距离之和就是：2010.5=210（千米）或 356210（千米）下面采用解决“鸡兔同笼”问题的方法，假设原来从 A 到 C 速度不变，都是每小时 35 千米，这样 9 小时所行路程应该为：359180（千米）比实际距离少行了：21018030（千米）就是因为从 B 到 C 的下坡速度每小时 20 千米变成了 35 千米，因此从 B 到 C 的时间为：30（3520）2（时）从 A 到 B 上坡的时间为：92=7（时）由此上下坡的距离就不难求出了。这个解法的思路是通过“补” ，不仅使得上下坡距离相等，而且使得往返所用的时间相等。解决本题的两个方法说明，在“变不同为相同”这个基本思想的指导下，手段可以是多种多样的。下面再看一道类似的问题。问题 如右图，从 A 到 B 是下坡路，从 B 到 C是平路，从 C 到 D 是上坡路。小张和小王步行速度分别都是：上坡每小时 4 千米，平路每小时 5 千米，下坡每小时 6 千米。二人分别从 A、D 两点同时王到达 A 后 9 分钟，小张到达 D。求从 A 到 D的全程距离。首先发现二人平路上行走的距离相同，小张比小王多用 9 分钟的原因就是 CD 距离大于 AB 距离。我们仿照上题思路，在 CD 上取一点 F，使得CF 距离等于 AB 距离，并画出如右图形：设从 D 到F 下坡所用时间为“1” ，则从 F 到 D 上坡所用时间为：到 F 所用时间 18 分钟，因此可以求出平路的距离为：以上两个问题的共同之处在于将上下坡的不同距离变为相同，完成这种变化的基础问题是：已知同一段路程的两个不同速度和相差的时间，如何求出这段行程的时间和路程。六年级上山、下山的行程问题所谓上山、下山的行程问题区别于通常的行程问题之处就在于在整个行程过程中速度会发生变化。下面通过几个问题介绍此类问题的解决思路。问题 从甲地到乙地，先是上坡路，然后就是下坡路，一辆汽车上坡速度为每小时 20 千米，下坡速度为每小时 35 千米。车从甲地到乙地共用 9 小时，从乙地返回到甲地共用 7.5 小时。求去时上坡路和下坡路分别为多少千米？ 先画出如右图形：图中 A表示甲地，C 表示乙地。从 A 到 B 是上坡路，从 B到 C 是下坡路；反过来，从 C 到 B 就是上坡路，从B 到 A 是下坡路。由于从甲地到乙地用 9 小时，反过来从乙地到甲地用 7.5 小时，这说明从 A 到 B 的距离大于从 B到 C 的距离。本题的难点在于上下坡不仅速度不同，而且距离不同，因此自然的思路是设法把上下坡的距离变不同为相同。在从 A 到 B 的路程中取一个点 D，使得从 D 到B 的距离等于从 B 到 C 的距离，这样 A 到 D 的距离就是 AB 距离比 BC 距离多出来的部分。下面我们分析为什么去时比回来时间会多用了：9-7.51.5（时）从图中容易看出就是因为去时从 A 到 D 是上坡，而回来时从 D 到 A 变成了下坡，其它路途所用的总时间是一样的。现在的问题是 AD 这段路程中速度由每小时 20千米改为 35 千米，则时间少用 1.5 小时，由此可以求出什么？如果设速度为每小时 20 千米所用时间为单位“1”，那么速度为每小时 35 千米所用时间为：由此就可以求出 AD 之间的距离为：203.570（千米）或 35270（千米）还可以求出从 D 到 C 和从 C 到 D 所用时间均为：93.55.5（时）或 7.525.5（时）至此我们已经完成了将上下坡的距离变为相同的目的了。如果设从 D 到上坡所用时间为：所以去时上坡的总路程就是：70+203.5=140（千米）下坡总路程是：352=70（千米）上面所用方法实质上是通过“截长变短”把上下坡的距离“变不同为相同” ，而实现这一目的还可以通过“补”的方法。将返回的路程补在去时路程的后面，画出右图：这时全程去与回所用的时间都是：97.516.5（时） 而且全程的上坡路程和下坡路程相等，都等于原来上下坡距离之和。设为：所以原来上下坡距离之和就是：2010.5=210（千米）或 356210（千米）下面采用解决“鸡兔同笼”问题的方法，假设原来从 A 到 C 速度不变，都是每小时 35 千米，这样 9 小时所行路程应该为：359180（千米）比实际距离少行了：21018030（千米）就是因为从 B 到 C 的下坡速度每小时 20 千米变成了 35 千米，因此从 B 到 C 的时间为：30（3520）2（时）从 A 到 B 上坡的时间为：92=7（时）由此上下坡的距离就不难求出了。这个解法的思路是通过“补” ，不仅使得上下坡距离相等，而且使得往返所用的时间相等。解决本题的两个方法说明，在“变不同为相同”这个基本思想的指导下，手段可以是多种多样的。下面再看一道类似的问题。问题 如右图，从 A 到 B 是下坡路，从 B 到 C是平路，从 C 到 D 是上坡路。小张和小王步行速度分别都是：上坡每小时 4 千米，平路每小时 5 千米，下坡每小时 6 千米。二人分别从 A、D 两点同时王到达 A 后 9 分钟，小张到达 D。