初中数学优秀课例《二次函数与一元二次方程关系》教学设计实录

初中数学优秀课例二次函数与一元二次方程关系教学设计实录一、课堂实录（简）问题 1：二次函数的一般形式是什么？举例说明。答：y=ax2+bx+c(a0)教师：每确定一组 a、b、c 的合适值，都有一个对应的二次函数解析式，如：y=4x2-3x+2。问题 2：作函数图像的步骤有哪些？答：（1）列表；（2）描点；（3）连线。实践 1：在同一坐标系中作出下列函数的图像。y1=x2+2x y2=x2-2x+1 y3=x2-2x+2学生通过列表、描点、连线作出函数的图像问题 3：根据图像说出上述抛物线的性质。答：学生从开口方向、对称轴、顶点、增减性方面进行总结。 （以上已用时间 18 分钟）问题 4：观察图像与 x 轴、y 轴交点个数，若有交点，说出交点的坐标。答：y1=x2+2x 与 x 轴有两个交点：（0，0） ，（-2，0） ；与 y 轴交于（0，0） ；y2=x2-2x+1 与 x 轴有一个交点：（1，0） ；与y 轴交于（0，1） ；y3=x2-2x+2 与 x 轴有无交点；与 y 轴交于（0，2） 。 （已用时间 23 分钟）讨论、探究：观察分析上述二次函数图像与 x轴交点坐标与对应的一元二次方程解的关系，如下：（1）Y1=x2+2x x2+2x=0（2）y2=x2-2x+1 x2-2x+1=0（3）y3=x2-2x+2 x2-2x+2=0学生分组讨论。 （讨论较积极，课堂争论声较大，课堂好像“失控”了）总结：小组代表汇报本小组讨论结果（1） 方程的解 0、2 即为交点的横坐标；（2） 方程只有两个相等的解 1，也是交点的横坐标；（3） 方程无解，抛物线与 x 轴无交点。（已用时间 28 分钟）猜想：二次函数图像与 x 轴交点坐标与对应的一元二次方程的解有何关系？学生继续讨论（课堂好像再次失控） 。总结：小组代表汇报本小组猜想结果1、二次函数图像与 x 轴交点坐标横坐标与对应的一元二次方程的解2、方程解的个数等于抛物线与 x 轴交点的个数：（1）若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有两个不同的解，则二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 与 x轴有两个交点；（2）若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的解，则二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 与 x轴只有一个交点；（3）若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)无实数解，则二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 与 x 轴无交点；（教师帮助总结，引导学生规范用语） （已用时间 43 分钟）验证：（教师出示小黑板）1、 已知二次函数 y=ax2-2 图像经过（1，-1） ，求它与 x 轴交点坐标。学生解题（已用时间 45 分钟，下课）2、 已知二次函数 y=kx2-7x-7 的图像与 x 轴有两个交点，求 k 的取值范围。3、 判断下列函数的图像与 x 轴是否有交点，说明理由。(1) y=x2-x； （2）y=-x2+6x-9 ；（3）y=3x2+6x+11；小结：（没有进行）作业：验证（2、3）一、课堂实录（简）问题 1：二次函数的一般形式是什么？举例说明。答：y=ax2+bx+c(a0)教师：每确定一组 a、b、c 的合适值，都有一个对应的二次函数解析式，如：y=4x2-3x+2。问题 2：作函数图像的步骤有哪些？答：（1）列表；（2）描点；（3）连线。实践 1：在同一坐标系中作出下列函数的图像。y1=x2+2x y2=x2-2x+1 y3=x2-2x+2学生通过列表、描点、连线作出函数的图像问题 3：根据图像说出上述抛物线的性质。答：学生从开口方向、对称轴、顶点、增减性方面进行总结。 （以上已用时间 18 分钟）问题 4：观察图像与 x 轴、y 轴交点个数，若有交点，说出交点的坐标。答：y1=x2+2x 与 x 轴有两个交点：（0，0） ，（-2，0） ；与 y 轴交于（0，0） ；y2=x2-2x+1 与 x 轴有一个交点：（1，0） ；与y 轴交于（0，1） ；y3=x2-2x+2 与 x 轴有无交点；与 y 轴交于（0，2） 。 （已用时间 23 分钟）讨论、探究：观察分析上述二次函数图像与 x轴交点坐标与对应的一元二次方程解的关系，如下：（1）Y1=x2+2x x2+2x=0（2）y2=x2-2x+1 x2-2x+1=0（3）y3=x2-2x+2 x2-2x+2=0学生分组讨论。 （讨论较积极，课堂争论声较大，课堂好像“失控”了）总结：小组代表汇报本小组讨论结果（1） 方程的解 0、2 即为交点的横坐标；（2） 方程只有两个相等的解 1，也是交点的横坐标；（3） 方程无解，抛物线与 x 轴无交点。（已用时间 28 分钟）猜想：二次函数图像与 x 轴交点坐标与对应的一元二次方程的解有何关系？学生继续讨论（课堂好像再次失控） 。总结：小组代表汇报本小组猜想结果1、二次函数图像与 x 轴交点坐标横坐标与对应的一元二次方程的解2、方程解的个数等于抛物线与 x 轴交点的个数：（1）若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有两个不同的解，则二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 与 x轴有两个交点；（2）若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的解，则二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 与 x轴只有一个交点；（3）若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)无实数解，则二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 与 x 轴无交点；（教师帮助总结，引导学生规范用语） （已用时间 43 分钟）验证：（教师出示小黑板）1、 已知二次函数 y=ax2-2 图像经过（1，-1） ，求它与 x 轴交点坐标。学生解题（已用时间 45 分钟，下课）2、 已知二次函数 y=kx2-7x-7 的图像与 x 轴有两个交点，求 k 的取值范围。3、 判断下列函数的图像与 x 轴是否有交点，说明理由。(1) y=x2-x； （2）y=-x2+6x-9 ；（3）y=3x2+6x+11；小结：（没有进行）作业：验证（2、3）一、课堂实录（简）问题 1：二次函数的一般形式是什么？举例说明。答：y=ax2+bx+c(a0)教师：每确定一组 a、b、c 的合适值，都有一个对应的二次函数解析式，如：y=4x2-3x+2。问题 2：作函数图像的步骤有哪些？答：（1）列表；（2）描点；（3）连线。实践 1：在同一坐标系中作出下列函数的图像。y1=x2+2x y2=x2-2x+1 y3=x2-2x+2学生通过列表、描点、连线作出函数的图像问题 3：根据图像说出上述抛物线的性质。答：学生从开口方向、对称轴、顶点、增减性方面进行总结。 （以上已用时间 18 分钟）问题 4：观察图像与 x 轴、y 轴交点个数，若有交点，说出交点的坐标。答：y1=x2+2x 与 x 轴有两个交点：（0，0） ，（-2，0） ；与 y 轴交于（0，0） ；y2=x2-2x+1 与 x 轴有一个交点：（1，0） ；与y 轴交于（0，1） ；y3=x2-2x+2 与 x 轴有无交点；与 y 轴交于（0，2） 。 （已用时间 23 分钟）讨论、探究：观察分析上述二次函数图像与 x轴交点坐标与对应的一元二次方程解的关系，如下：（1）Y1=x2+2x x2+2x=0（2）y2=x2-2x+1 x2-2x+1=0（3）y3=x2-2x+2 x2-2x+2=0学生分组讨论。 （讨论较积极，课堂争论声较大，课堂好像“失控”了）总结：小组代表汇报本小组讨论结果（1） 方程的解 0、2 即为交点的横坐标；（2） 方程只有两个相等的解 1，也是交点的横坐标；（3） 方程无解，抛物线与 x 轴无交点。（已用时间 28 分钟）猜想：二次函数图像与 x 轴交点坐标与对应的一元二次方程的解有何关系？学生继续讨论（课堂好像再次失控） 。总结：小组代表汇报本小组猜想结果1、二次函数图像与 x 轴交点坐标横坐标与对应的一元二次方程的解2、方程解的个数等于抛物线与 x 轴交点的个数：（1）若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有两个不同的解，则二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 与 x轴有两个交点；（2）若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有两个相等的解，则二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 与 x轴只有一个交点；（3）若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)无实数解，则二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 与 x 轴无交点；（教师帮助总结，引导学生规范用语） （已用时间 43 分钟）验证：（教师出示小黑板）1、 已知二次函数