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第十节一 、最值定理 二、介值定理 *三、一致连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 闭区间上连续函数的性质 第一章 注意 : 若函数在 开区间 上连续 ,结论不一定成立 .一 、最值定理定理 1.在 闭区间 上连续的函数即 : 设 则 使值和最小值 .或在闭区间内 有间断 在该区间上一定有最大(证明略 )点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如 ,无 最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论 . 由 定理 1 可知有证 : 设上 有界 .二、介值定理定理 2. ( 零点定理 )至少有一点且使机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 )在闭区间上连续的函数在该区间上有界 . 定理 3. ( 介值定理 ) 设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点证 : 作辅助函数则 且故由 零点定理知 , 至少有一点 使即推论 :使至少有在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 1. 证明方程一个根 .证 : 显然 又故据零点定理 , 至少存在一点 使 即说明 :内必有方程的根 ;取 的中点内必有方程的根 ; 可用此法求近似根 .二分法在区间 内至少有机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则上连续 , 且恒为正 ,例 2. 设 在对任意的 必 存在一点证 :使令 , 则使故由 零点定理知 , 存在 即当 时 , 取 或 , 则有证明 :小结 目录 上页 下页 返回 结束 *三 . 一致连续性已知函数 在 区间 I 上连续 , 即 :一般情形 , 就 引出了一致连续的概念 .定义 : 对 任意 的都有在 I 上一致连续 .显然 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如 , 但不 一致连续 .因为 取点则 可以任意小但这 说明 在 ( 0 , 1 上不一致连续 .定理 . 上 一致连续 .(证明略 )思考 : P73 题 6提示 : 设 存在 , 作 辅助函数显然机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结在上达到最大值与最小值 ;上可取最大与最小值之间的任何 值 ;4. 当 时 , 使必存在上有界 ;在在机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 任给一张面积为 A 的纸片 (如图 ), 证明必可将它思考与练习一刀剪为 面积相等的两片 .提示 : 建立坐标系如图 .则 面积函数因故由 介值定理可知 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 则证明至少存在使提示 : 令则 易证2. 设作业P73 题 2 ; 3; 4一点习题课 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 至少有一个不超过 4
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