m07差分方程模型

1 差 分方程简介2 市场经济中的蛛网模型3 减肥计划 节食与运动4 商业贷款5 差分形式的阻滞增长模型6 汽车租赁公司的运营差分方程模型以 t 表示时间，规 定 t只取非负整数。 t=0表示第一周期初， t=1表示第二周期初等。 记 yt 为变量 y在时刻 t 时的取值，则称 为 yt 的 一阶差分 ，称 为的 二阶差分 。类似地，可以定义 yt的 n阶差分。由 t、 yt及 yt的差分给出的方程称 为 yt差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的 阶 。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 也可改写成 1 差分方程简介差分方程简介满足一差分方程的序 列 yt称为此差分方程的解，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程 的 通解 。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的 特解 ，例如，考察两阶差分方程 两个任 意常数。则为 它的通解，其 中 c1， c2为则为 它的通解，其 中 ， 为均是它的特解，而 与易 见满足一差分方程的序 列 称为此差分方程的解，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程 的 通解 。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的 特解 ，例如，考察两阶差分方程容易 证 明，若序列 与 均 为 方程（ 2）的解， 则也是方程（ 2）的解，其 中 c1、 c2为 任意常数， 这说 明，齐 次方程的解构成一个 线 性空 间 （解空 间 ）。 此规律对于（ 1）也成立。当 0时， 则称其为 n阶常系数非线性差分方程。（ 1）（ 2）容易 证 明，若序列 与容易 证 明，若序列 与容易 证 明，若序列 均 为 方程（ ）的解， 则与容易 证 明，若序列当 时， 则称其为 阶常系数非线性差分方程。称其为对应的齐次方程。当 时， 则称其为 阶常系数非线性差分方程。均 为 方程（ ）的解， 则与容易 证 明，若序列当 时， 则称其为 阶常系数非线性差分方程。方程（ 1）可用如下的代数方法求其通解：（ 步一 ）先求解 对应 的特征方程 （ 3） （ 步二 ）根据特征根的不同情况，求 齐 次方 程 (2)的通解情况 1 若特征方程（ 3）有 n个互不相同的 实 根, , ， 则齐 次方程（ 2）的通解 为(C1, ,Cn为 任意常数 )，情况 2 若 是特征方程（ 3）的 k重根，通解中 对应 于 的 项为为 任意常数， i=1, ,k。情况 3 若特征方程（ 3）有单重复根 通解中对应它们的项为 为 的模， 为 的幅角。 情况 4 若 为 特征方程（ 4.17）的 k重复根， 则 通 解 对应 于它 们 的 项为为 任意常数， i=1, ,2k。 .若 yt为 方程 (4.16)的通解 ,则 非 齐 次方程 (4.15)的通解 为（ 步三 ） 求非 齐 次方程 (4.15)的一个特解求非齐次方程（ 1）的特解一般要用到 常数变易法 ，计算较繁。对特殊形式 的 b(t)也可使用 待定系数法 。 差分方程反映的是关于离散变量的变化规律。差分方程模型有着非常广泛的实际应用背景，在经济、金融和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许多方面都有非常重要的应用。2 市场经济中的蛛网模型问 题供大于求现象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降 减少产量增加产量 价格上涨 供不应求描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡蛛 网 模 型gx0y0 P0fxy0xk第 k时段商品数量； yk第 k时段商品价格消费者的需求关系生产者的供应关系减函数增函数供应函数需求函数f与 g的 交点 P0(x0,y0) 平衡点一旦 xk=x0，则 yk=y0, xk+1,xk+2,=x 0, yk+1,yk+2, =y 0 xy0f gy0x0P0设 x1偏离 x0x1x2P2y1 P1y2 P3P4x3y3P0是稳定平衡点P1P2P3 P4P0是不稳定平衡点xy0y0x0P0f g 曲线斜率的绝对值蛛 网 模 型曲线斜率的绝对值曲线斜率的绝对值在 P0点附近用直线近似曲线P0稳定P0不稳定方 程 模 型方程模型与蛛网模型的一致 商品数量减少 1单位 , 价格上涨幅度 价格上涨 1单位 , (下时段 )供应的增量考察 , 的含义 消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度小 , 有利于经济稳定 小 , 有利于经济稳定结果解释xk第 k时段商品数量； yk第 k时段商品价格经济稳定结果解释经济不稳定时政府的干预办法1. 使 尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变2. 使 尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释需求曲线变为水平供应曲线变为竖直模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高设供应函数为需求函数不变二阶线性常系数差分方程x0为平衡点 研究平衡点稳定，即 k, xkx0的条件方程通解 (c1, c2由初始条件确定 )1, 2特征根，即方程 的根 平衡点稳定，即 k, xkx0的条件 :平衡点稳定条件比原来的条件 放宽了模型的推广3 减肥计划 节食与运动背景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分析 体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重指数 BMI=w(kg)/l2(m2). 18.525 超重 ; BMI30 肥胖 .模型假设1）体重增加正比于吸收的热量 每 8000千卡增加体重 1千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重 每周每公斤体重消耗 200千卡 320千卡 (因人而异 ),相当于 70千克的人每天消耗 2000千卡 3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过 1.5千克，每周吸收热量不要小于 10000千卡。某甲体重 100千克，目前每周吸收 20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至 75千克。第一阶段：每周减肥 1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（ 10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。 确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡基本模型w(k) 第 k周 (末 )体重 c(k) 第 k周吸收热量 代谢消耗系数 (因人而异 )1）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收 20000千卡 w=100千克不变 第一阶段 : w(k)每周减 1千克 , c(k)减至下限 10000千卡第一阶段 10周 , 每周减 1千克，第 10周末体重 90千克吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划 第二阶段：每周 c(k)保持 Cm, w(k)减至 75千克 1）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型 第二阶段：每周 c(k)保持 Cm, w(k)减至 75千克 第二阶段 19周 , 每周吸收热量保持 10000千卡 , 体重按 减少至 75千克。运动 t=24 (每周 跳舞 8小时或自行车 10小时 ), 14周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡 ): 跑步 跳舞 乒乓 自行车 (中速 ) 游泳 (50米 /分 )7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周运动时间 (小时 )基本模型3）达到目标体重 75千克后维持不变的方案每周吸收热量 c(k)保持某常数 C， 使体重 w不变 不 运动 运动 (内容同前 )设有一笔 P万元的商贷，若贷款期是 n年，年利率是 r1,今采用月还款的方式逐月偿还，建模求每月的还款金额。模型建立 设贷款后第 k个月后的欠款数是 元，设贷款后第 个月后的欠款数是 元，月还款为 m元 r，月贷款利息为 ,则即模型求解4 商业贷款月还款为 元 ，月贷款利息为 则令 则递推可得（ 4.1）即即令令模型求解 令模型建立 设贷款后第 个月后的欠款数是 元，所以这就是差分方程（ 4.1）的解结果分析 将已知数据 A0,r代人 A12n=0中，可以求出月还款额 m。例如，当 A0=10000， r=0.0052125,n=2时可以求出 m=444.356元。所以 r=0.0052125; A0=10000; n=2; m=r*A0*(1+r)(12*n)/(1+r)(12*n)-1)m = 444.35605 差分形式的阻滞增长模型连续形式 的阻滞增长模型 (Logistic模型 )t, xN, x=N是 稳定平衡点 (与 r大小无关 )离散形式x(t) 某种群 t 时刻的数量 (人口 )yk 某种群第 k代的数量 (人口 )若 yk=N, 则 yk+1,yk+2,= N讨论平衡点的稳定性，即 k, ykN ？y*=N 是平衡点离散形式阻滞增长模型的平