正项级数的收敛判别

二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、正项级数及其审敛法若定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列有界 .若 收敛 , 部分和数列有界 , 故 从而又已知故有界 .则称 为 正项级数 .单调递增 , 收敛 , 也收敛 .证 : “ ”“ ”机动 目录 上页 下页 返回 结束 都有定理 2 (比较审敛法 ) 设且存在 对一切 有(1) 若 强 级数 则 弱 级数(2) 若 弱 级数 则 强 级数证 :设对一切则有收敛 , 也收敛 ;发散 , 也发散 .分别表示 弱 级数和 强 级数的部分和 , 则有是两个 正项级数 , (常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性 , 故 不妨机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 若 强 级数 则有因此对一切 有由定理 1 可知 ,则有(2) 若 弱 级数因此 这说明 强 级数 也发散 .也收敛 .发散 ,收敛 ,弱 级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 1. 讨论 p 级数 (常数 p 0)的敛散性 . 解 : 1) 若 因为对一切而调和级数 由比较审敛法可知 p 级数发散 .发散 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为当 故考虑强级数 的部分和故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .时 ,2) 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 调和级数 与 p 级数 是两个常用的比较级数 .若存在 对一切机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明级数 发散 .证 : 因为而级数 发散根据比较审敛法可知 , 所给级数发散 .例 2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 3. (比较审敛法的极限形式 )则有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 (3) 当 l = 证 : 据极限定义 ,设两正项级数满足(1) 当 0 l 时 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 由 定理 2 可知同时收敛或同时发散 ;(3) 当 l = 时 , 即由 定理 2可知 , 若 发散 , (1) 当 0 l 时 ,(2) 当 l = 0时 , 由 定理 2 知收敛 , 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 是两个 正项级数 , (1) 当 时 , 两个级数同时收敛或发散 ;特别取 可得如下结论 :对正项级数(2) 当 且 收敛时 ,(3) 当 且 发散时 , 也收敛 ;也发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 的敛散性 . 例 3. 判别级数 的敛散性 .解 : 根据比较审敛法的极限形式知例 4. 判别级数解 :根据比较审敛法的极限形式知机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 4 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法)设 为正项级数 , 且 则(1) 当(2) 当证 : (1)收敛 ,时 , 级数收敛 ;或 时 , 级数发散 .由比较审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此 所以级数发散 .时(2) 当说明 : 当 时 ,级数可能收敛也可能发散.例如 , p 级数但级数收敛 ;级数发散 .从而机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 5. 讨论级数 的敛散性 .解 : 根据定理 4可知 :级数收敛 ;级数发散 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 对任意给定的正数 定理 5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 为正项级则证明提示 : 即分别利用上述不等式的左 ,右部分 , 可推出结论正确 .数 , 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 时 , 级数可能收敛也可能发散 .例如 , p 级数 说明 :但级数收敛 ;级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 6. 证明级数 收敛于 S ,似代替和 S 时所产生的误差 . 解 : 由定理 5可知该级数收敛 .令 则所求误差为并估计以部分和 Sn 近 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二 、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数称为 交错级数 .定理 6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件 :则级数 收敛 , 且其和 其余项满足机动 目录 上页 下页 返回 结束 证 : 是单调递增有界数列 ,又故级数收敛于 S, 且故机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛收敛用 Leibnitz 判别法 判别下列级数的敛散性 :收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?发散 收敛 收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、绝对收敛与条件收敛 定义 : 对任意项级数 若若原级数收敛 , 但取绝对值以后的级数发散 , 则称原级收敛 ,数为条件收敛 .均为绝对收敛 .例如 ：绝对收敛 ；则称原级数条件收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 7. 绝对收敛的级数一定收敛 .证 : 设根据比较审敛法显然 收敛 ,收敛也收敛且收敛 , 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 7. 证明下列级数绝对收敛 :证 : (1) 而 收敛 ,收敛因此 绝对收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 令因此收敛 , 绝对收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 其和分别为 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质 .*定理 8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. ( P203 定理 9 )说明 : 证明参考 P203 P206, 这里从略 .*定理 9. ( 绝对收敛级数的乘法 )则对所有乘积 按 任意顺序 排列得到的级数也绝对收敛 ,设级数 与 都绝对收敛 ,其和为但需 注意条件收敛级数不具有这两条性质 . (P205 定理 10) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用正项级数审敛法必要条件 不满足 发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛 发 散不定 比较审敛法用它法判别 积分判别法部分和极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法 :则交错级数 收敛概念 :绝对收敛条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习设正项级数 收敛 , 能否推出 收敛 ?提示 :由比较判敛法可知 收敛 .注意 : 反之不成立 . 例如 ,收