材料力学(ii)第一章1

材 料 力 学 电 子 教 案 1 1 非对称纯弯曲梁的正应力 1 2 两种材料的组合梁 1 3 开口薄壁梁的切应力 弯曲中心 1 4 开口薄壁截面梁约束扭转的概念 1 5 平面大曲率杆纯弯曲时的正应力第一章 弯曲问题的进一步研究1材 料 力 学 电 子 教 案 1 2 两种材料的组合梁 由 1, 2两种材料组合成一个整体的矩形截面梁如图 a所示。设 1, 2两种材料的弹性模量分别为 E1和 E2，且 E1E2，第一章 弯曲问题的进一步研究横截面面积分别为 A1和 A2。 现在分析该梁在纯弯曲时横截面上的正应力。弯矩 M 作用在纵向对称平面内，且 M 为正。2材 料 力 学 电 子 教 案图中， y为对称轴， z为中性轴 (位置未定 )。设平面假设依然成立，变形后中性层的曲率半径为 r， 横截面上距中性轴为 y的任一点的线应变为线应变沿高度的变化规律如图 b所示。(1)第一章 弯曲问题的进一步研究3材 料 力 学 电 子 教 案当材料均在线弹性范围内工作时，横截面上材料 1,2两部分的正应力分别为(2)第一章 弯曲问题的进一步研究正应力沿高度的变化规律如图 c所示4材 料 力 学 电 子 教 案静力学关系为把 (2)式代入 (3)式，得因为 所以第一章 弯曲问题的进一步研究(a)式为确定中性轴位置的条件。5材 料 力 学 电 子 教 案设中性轴 z到 z1轴的距离 为 yn， 微面积 dA到 z和 z1轴的距离分别为 y和 y(图 f)。 由图可见，把 (b)式代入 (a)式，得(c)(b)第一章 弯曲问题的进一步研究z(f)y z16材 料 力 学 电 子 教 案注意到， yn为常量，设面积 A1, A2的形心到 z1轴的距离分别为 yC1和 yC2 (图 f)则于是 (c)式成为解得 (d)第一章 弯曲问题的进一步研究z(f)y z17材 料 力 学 电 子 教 案将上式右端除以 E1， (d)式成为由 (5)式可以确定中性轴的位置。把 (2)式代入 (4)式，得式中， 分别表示面积 A1和 A2对 z轴的惯性矩。由 (e)式得中性层的曲率为(6)(e)(5)第一章 弯曲问题的进一步研究8材 料 力 学 电 子 教 案将 (6)式代入 (2)式，得I 为 等效惯性矩 ， (f),(g)式成为(f)(g)令 (7)第一章 弯曲问题的进一步研究(8)9材 料 力 学 电 子 教 案 相当截面设高度 h1和 h2及材料 1部分的宽度 b不变，把材料 2部分的宽度按第一章 弯曲问题的进一步研究折算，折算后的截面如图 e所示。折算的截面相当于仅由材料1构成的截面，称为相当截面 。10材 料 力 学 电 子 教 案由图 e可见，材料 1,2两部分的面积的形心位置 yC1， yC2不变。求实际截面的中性轴公式 (5)成为该式也是求相当截面水平形心轴的公式。实际截面的等效惯性矩为相当截面对水平形心轴的惯性矩。第一章 弯曲问题的进一步研究zy(b)11材 料 力 学 电 子 教 案按相当截面求出的正应力，为材料 1部分的正应力，将它乘以 后才是材料 2部分的应力，即（同 8式）第一章 弯曲问题的进一步研究zy(b)12材 料 力 学 电 子 教 案例 1 图 a所示矩形截面梁，由铝合金 1和碳钢 2组成，两种材料的弹性模量分别为 E1 70 GPa， E2=210 GPa， 横截面上的正弯矩 M 50 kNm。 试求正应力沿高度的变化规律。5012Oy200100z(a)第一章 弯曲问题的进一步研究y30050200100Oz(b)36.711.171.034.2(c)13材 料 力 学 电 子 教 案解： 为了说明利用公式和相当截面计算的截面几何性质的一致性，分别采用两种方法计算截面的几何性质。公式法由 (5)式可得实际截面的中性轴位置为第一章 弯曲问题的进一步研究14材 料 力 学 电 子 教 案1, 2两部分面积对中性轴的惯性矩分别为等效惯性矩为第一章 弯曲问题的进一步研究15材 料 力 学 电 子 教 案相当截面法相当截面如图 b所示，水平形心轴的位置为第一章 弯曲问题的进一步研究y30050200100Oz(b)yn16材 料 力 学 电 子 教 案对 z轴的惯性矩为可见两种方法所得到的结果完全一致。第一章 弯曲问题的进一步研究17材 料 力 学 电 子 教 案由 (8)式可得 1, 2两部分的最大压应力和最大拉应力分别为正应力沿梁高度的变化规律如图 c所示。36.711.171.034.2(c)第一章 弯曲问题的进一步研究18材 料 力 学 电 子 教 案例 2 一木梁因承载能力不足，在梁的顶部和底部用钢板加固，如图 a所示。钢板和木材的弹性模量和许用应力分别为E1=210 GPa， s1=160 MPa， E2=10.5 GPa， s2=10 MPa。 试求该梁所能承受的最大弯矩 M。第一章 弯曲问题的进一步研究62506150112(a)19材 料 力 学 电 子 教 案解：相当截面如图 b所示。其惯性矩为由钢板的强度条件得第一章 弯曲问题的进一步研究yz662507.5150(b)20材 料 力 学 电 子 教 案由木材的强度条件得梁能承受的最大弯矩为 M 47.95 kNm第一章 弯曲问题的进一步研究62506150112(a)21材 料 力 学 电 子 教 案例题 1-4T字截面梁的横截面尺寸如图。设截面承受负值的弯矩 M， 其翼缘和腹板的材料不同，弹性模量分别为 E1和 E2，且 E1 E2 。 试推导折算宽度的计算公式，并求出相当截面。解： 将截面折算成同一材料的相当截面，可将翼缘或腹板的宽度进行折算。现选择 E 小的翼缘为折算对象，设折算后的翼缘宽度为 。原截面和相当截面的中性轴位置不变，所以距中性轴相同距离的点线应变相同。即22材 料 力 学 电 子 教 案翼缘部分的弯曲正应力： 原截面 相当截面 翼缘部分的法向内力： 原截面相当截面23材 料 力 学 电 子 教 案考虑到 ，得： 24材 料 力 学 电 子 教 案 应力计算：25材 料 力 学 电 子 教 案 1 3 开口薄壁截面梁的切应力 弯曲中心T字形截面悬臂梁如图 a所示。图中， z为对称轴， y, z轴为形心主惯性轴。横向力 F平行于 y轴，到竖直板中线的距离为 e。 试验表明：梁将在 xy面内 发生平面弯曲，同时还伴随有扭转。第一章 弯曲问题的进一步研究Cy xzeyzFC(a)a26材 料 力 学 电 子 教 案为了分析产生扭转的原因，先分析梁横截面上的切应力。非对称开口薄壁截面梁横截面上的切应力公式仍为图 a所示梁横截面的水平板上和 y方向平行的切应力很小，可以忽略不计。竖直板上与切应力相应的合力FR几乎等于横截面的剪力 FSy， 即其作用线沿竖直板的中线，如图 b所示。第一章 弯曲问题的进一步研究(b)Cyz27材 料 力 学 电 子 教 案从梁中截取长度为 a的一段梁 (图 c)进行分析，该段梁上两个反向平行力 F组成一个力偶，其矩为该力偶矩使梁产生扭转。只有当力F的作用线沿竖直板的中线， Mx=0时 ,梁只产生弯曲，不产生扭转。 yzFe(c)第一章 弯曲问题的进一步研究28材 料 力 学 电 子 教 案若力 F沿梁自由端的 z轴，略去竖直板上平行于 z方向切应力，水平板上与切应力相应的合力 FRFSz， 其作用线沿 z轴 (图 d)。 剪力 FSy和 FSz相交 于 A点 (图 e)， A点称为 截面的弯曲中心或剪力中心 。当横向力 F通过弯曲中心 A时，梁只产生弯曲，不产生扭转。yz(d)第一章 弯曲问题的进一步研究yzA(e)29材 料 力 学 电 子 教 案开口薄壁截面梁的抗扭刚度较小，当横向力不通过弯曲中心 A时，将引起很大的扭转变形，并且当扭转时横截