第8章 数字电路基础知识

第 8章 数字电路基础知识 第 8章 数字电路基础知识 8.1 数制和编码 8.2 逻辑代数 第 8章 数字电路基础知识 8.1 数制和编码 8.1.1 计数体制常用的计数体制有十进制、二进制、八进制、十六进制等。1.十进制数在十进制中，用 0， 1， 2， ， 9这 10个不同的数码按照一定的规律排列起来表示数值的大小，其计数规律是 “逢十进一 ”。十进制数是以 10为基数的计数体制。 当数码处于不同的位置时，它所表示的数值也不相同。例如，十进制数 785可表示成 第 8章 数字电路基础知识 (785)D=7102+8101+5100括号加下标 “D”表示十进制数。等式右边中的 102，101， 100， 标明数码在该位的 “权 ”。不难看出各数位表示的数值就是该位数码（系数）乘以相应的权。按此规律，任意一个十 进制数 (N)D都可以写成按权展开式 (N)D=Kn-110n-1+Kn-210n-2+K 1101+K0100 =式中， Ki代表第 i位的系数，可取 09这 10个数码中的任一个； 10i为 第 i位的权； n为原数的位数。本书只讲整数的数制。关于小数数制，请阅读其它资料。 (81) 第 8章 数字电路基础知识 2. 二进制数二进制数是以 2为基数的计数体制。它只有 0和 1两个数码，采用 “逢二进一 ”的计数规律 。任意一个二进制数 (N)B都可以写成按权展开式 (N)B=Kn-12 n-1+K n-22 n-2+K 121+K020=式中，下标 “B”表示二进制数； Ki表示第 i位的系数，只能取 0或 1;2i为第 i位的权 ;n为原数总位数。(82) 第 8章 数字电路基础知识 例如 ，四位二进制数 1011，可以表示成 (1011)B=123+022+121+120二进制数的运算规则：加法 0+0=0 0+1=1+0=1 1+1=10乘法 00=0 01=10=0 11=1从以上可知，二进制数比较简单，只有 0和 1两个数码，并且算术运算也很简单，所以二进制数在数字电路中获得广泛应用。但是二进制数也有缺点：用二进制表示一个数时，位数多，读写不方便，而且也难记忆。第 8章 数字电路基础知识 3.八进制数八进制数是以 8为基数的计数体制，它用 0， 1， 2， ， 7这 8个数码表示，采用 “逢八进一 ”的计数规律。三位二进制码可用一位八进制码表示。任意一个八进制数 (N)O可写 成按权展开式 (N)O=K n-18 n-1+K n-28 n-2+K 181+K080 =式中，下标 “O”表示八进制数， Ki表示第 i位的系数，可取 07这 8个数； 8i为第 i位的权； n为原数总位数。 第 8章 数字电路基础知识 例如，一个三位八进制数 625，可以表示成 (625)O=682+281+5804.十六进制数十六进制数是以 16为基数的计数体制，它用 0， 1， 2， ， 9， A， B， C， D， E， F这 16个数码表示，采用 “逢十六进一 ”的计数规律。四位二进制码可用一位十六进制码表示。任意 一个十六进制数 (N)H可以写成按权展开式 (N)H=K n-116 n-1+K n-216 n-2+K 1161+K0160 =第 8章 数字电路基础知识 例如，一个多位十六进制数 4A8C， 可以表示成 (4A8C)H=4163+10162+8161+12160 表 8.1为几种计数体制对照表。 第 8章 数字电路基础知识 第 8章 数字电路基础知识 8.1.2 数制转换1.二进制、八进制、十六进制数转换为十进制数 将一个二进制、八进制或十六进制数转换成十进制数，只要写出该进制数的按权展开式，然后按十进制数的计数规律相加，就可得到所求的十进制数。例 8.1 将二进制数 (1101)B转换成十进制数。解 (1101)B=123+122+021+120=(13)D例 8.2 将八进制数 (156)O转换成十进制数。解 (156)O=182+581+680=(110)D例 8.3 将十六进制数 (5D4)H转换成十进制数。解 (5D4)H=5162+13161+4160=(1492)D第 8章 数字电路基础知识 2.十进制正整数转换为二进制、八进制、十六进制数在将十进制数转换成二进制、八进制、十六进制数时 ,分别采用 “除 2取余法 ”、 “除 8取余法 ”、 “除 16取余法 ”，便可求得二、八、十六进制数的各位数码K n-1， K n-2， ， K1， K0。例 8.4 将十进制数 (35)D转换为二进制数。解 采用 “除 2取余法 ”第 8章 数字电路基础知识 2 2 2 2 2 235 17 8 4 2 1 0 余 1K 0=1 余 1K 1=1 余 0K 2=0 余 0K 3=0 余 0K 4=0 余 1K 5=1 高位底位最后的商为 0。于是，得 (35)D=(K5 K4 K3 K2 K1 K0)B=(100011)B 第 8章 数字电路基础知识 例 8.5 将 (139)D转换成八进制数。解8 8 8 1391720 余 3K 0=3 余 1K 1=1 余 2K 2=2高位底位(139)D=(213)O 得 第 8章 数字电路基础知识 例 8.6 将 (139)D转换成十六进制数。解16 16 13980 余 11K 0=B 余 8 K 1=8 高位底位得(139)D=(8B)H第 8章 数字电路基础知识 3. 八进制数、十六进制数与二进制数的相互转换因为 23=8，所以对三位的二进制数来讲，从000111共有 8种组合状态，我们可以分别将这 8种状态用来表示八进制数码 0， 1， 2， ， 7。这样，每一位八进制数正好相当于三位二进制数。反过来，每三位二进制数又相当于一位八进制数。同理， 24=16，四位二进制数共有 16种组合状态，可以分别用来表示十六进制的 16个数码。这样，每一位十六进制数正好相当于四位二进制数。反过来，每四位二进制数等值为 一位十六进制数。 第 8章 数字电路基础知识 例 8.7 将八进制数（ 625） O转换为二进制数。解 （ 625） O（ 110010101） B例 8.8 将二进制数 (110100111)B转换为十六进制数。解 (110100111)B=(1A7)H当要求将八进制数和十六进制数互相转换时，可通过二进制来完成。 第 8章 数字电路基础知识 8.1.3 编码在二进制数字系统中，每一位数只有 0或 1两个数码，只限于表达两个不同的信号。如果将若干位二进制数码来表示数字、文字符号以及其它不同的事物，我们称这种二进制码为代码 。 赋予每个代码以固定的含义的过程，就称为编码。 第 8章 数字电路基础知识 1. 二进制编码一位二进制代码可以表示两个信号。二位二进制代码可以表示四个信号。依此类推， n位二进制代码可以表示 2+n个不同的信号。将具有特定含义的信号用二进制代码来表示的过程称为二进制编码。第 8章 数字电路基础知识 2. 二 十进制编码所谓二 十进制编码，就是用四位二进制代码来表示一位十进制数码，简称 BCD码。由于四位二进制码有 0000， 0001， ， 1111等 16种不同的组合状态，故可以选择其中任意 10个状态以代表十进制中 09的 10个数码，其余 6种组合是无效的。因此，按选取方式的不同， 可以得到不同的二 十进制编码。最常用的是8421码。 第 8章 数字电路基础知识 这种编码是选用四位二进制码的前 10个代码00001001来表示十进制的这 10个数码。此编码的特点如下：(1)这种编码实际上就是四位二进制数前 10个代码按其自然顺序所对应的十进制数，十进制数每一位的表示和通常的二进制相同。例如，十进制数 845的 8421码形式为(845)D=(100001000101)BCD第 8章 数字电路基础知识 (2)它是一种有权码。四位二进制编码中由高位到低位的权依次是 23， 22， 21， 20（即 8， 4， 2， 1），故称为 8421码。在 8421码这类有权码中，如果将其二进制码乘以其对应的权后求和，就是该编码所表示的十进制数。例如：(1001)BCD=123+022+021+120=(9)D第 8章 数字电路基础知识 (3)在这种编码中， 10101111这 6种组合状态是不允许出现的，称禁止码。8421码 是最基本的和最常用的，因此必须熟记。其它编码还有 2421码、 5421码等，见表 8.2。格雷码 是常用的一种编码，它的特点是两个相邻的码只有一位不同。这种码可靠性高，出现错误的机会少。 (又可称为余循环码 )第 8章 数字电路基础知识 第 8章 数字电路基础知识 第 8章 数字电路基础知识 3. 奇偶检验码数码在传送和存取过程中，会发生将 “1”码误成 “0”码、 “0”码误成 “1”码的错误。为了检查出这种错误，可采取奇偶校验码的编码方式。在这种编码方式中，代码由两部分组成：一部分是信息位，一部分是检误位。若加上去的检误位中 “1”码的个数和信息位中 “1”码的个数之和为奇数个，则为奇校验码，否则为偶校验码。例如，对 8位一组的二进制码来说，若低 7位为信息位，最高位为检误位，码组1011011的奇校验码为 01011011，而偶校验码为 11011011。在代码传送的接收端，对所收到的码组中 “1”码的个 数进行计算，如 “1”码的个数与预定的不同，则可判定已经产生了误码。 第 8章 数字电路基础知识 8.2 逻辑代数 逻辑代数又称布尔代数，是英国数学家乔治 布尔在 1847年首先创立的。逻辑代数是研究逻辑函数与逻辑变量之间规律的一门应用数学，是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。第 8章 数字电路基础知识 8.2.1 基本概念、基本逻辑运算1. 逻辑变量与逻辑函数逻辑代数是按一定逻辑规律进行运算的代数，它和普通代数一样有自变量和因变量。虽然自变量都可用字母 A， B， C， 来表示 ,但是只有两种取值，即 0和 1。这里的 0和 1不代表数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。例如，用 “1”和 “0”表示事物的 “真 ”与 “假 ”，电位的 “高 ”与 “低 ”，脉冲的 “有 ”与 “无 ”，开关的 “闭合 ”与 “断开 ”等。 这种仅有两个取值的自变量具有二值性，称为逻辑变量。第 8章 数字电路基础知识 普通代数中的函数是 “随着自变量变化而变化的因变量 ”。同理，逻辑函数就是逻辑代数的因变量。它也只有 0和 1两种取值。如果逻辑变量 A， B， C， 的取值确定之后，逻辑函数 Y的值也被惟一地确定了，那么，我们称 Y是 A， B， C， 的 逻辑函数 ，写作 Y=F（ A,B,C, ） （ 85 ） 第 8章 数字电路基础知识 2. 基本逻辑运算所谓逻辑，是指 “条件 ”与 “结果 ”的关系。在数字电路中，利用输入信号反映 “条件 ”，用输出信号反映 “结果 ”，从而输入和输出之间就存在一定的因果关系，我们称它为逻辑关系。 在逻辑代数中，有与逻辑、或逻辑、非逻辑三种基本逻辑关系，相应的基本逻辑运算为与、或