《高等数学B(三)》强化训练题1-3及解答 2.6元

高等数学 B(三 )强化训练题一 一. 单项选择题 1. 设2,xy x +=, 则 (, )f ). A. 22()+B. 2(1)1C. (11+D. 22x y 2. 二元函数22,(,)(0,0(, )0, ( , ) (0,0)+=),在点 处( ). (0,0)A. 连续、偏导数存在 B. 连续、偏导数不存在 C. 不连续、偏导数存在 D. 不连续、偏导数不存在 3. 函数33(, ) 12 8f xy x xy y= + 在驻点 (2 处( ). ,1)A. 取得极小值 B. 取得极大值 C. 取不到极值 D. 无法判断 4. 若幂级数 在点02x = 处收敛, 则 在点01x = 处( ). A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 收敛性不定 5. 设1(1)= +, 则下列结论正确的是( ). A. 与121都收敛 B. 1与21都发散 C. 发散而121收敛 D. 1收敛而21发散 二 . 填空题 16. 设 , 则e(1)x y+=+)(1,0) . 7. 交换二次积分的积分次序: 210d(,)y=. 8. 已知区域22( , ) |1 4, 0xy y= + , 则二重积分 y =. 9. 幂级数1(3)3的收敛域为 . 10. 2 的麦克劳林公式中的系数为 . 三 . 计算下列各题 11. 已知 (1 )x + , 求. 12. 设函数 ),( 由方程 22 3 ) 2 3x =+所确定, 求y+. 13. 设函数 ,=, 其中 (,)f 求2zx y . 14. 某企业生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价、销售量分别为121,;,2p 需求函数分别为 11224 10 =2235 40( ) + 问: 企业如何确定两个市场的售价, 才能获得最大总利润 ? 15. 试求22(+), 其中区域 为 y + 16. 计算二重积分2110x. 17. 判别级数21(1)+(其中 为一正常数) 的敛散性, 若收敛, 讨论绝对收敛还是18. 求数项级数=+1)12)(12(119. 将函数1( ) 在 处展开为幂级数, 并指出收敛域. 0x =1112=20. 求幂级数 在 内的和函数. 题 21. 设2,2)四 . 证明()f x 为正连续函数, 证明 : 21()d d ( ) ( ).()xx x ba =, 6且 2, += = 所以由莱布尼兹判别法知: 原级数收敛; 综上可知原级数条件收敛. 18. 求数项级数=+1)12)(12(1解：因为级数的前 项之和 2 1)(2 1) 2 2 1 2 1 2 2 1k k n=+ + +所以 12= 故所求的和为12. 将函数1( ) 19. 在 处展开为幂级数 并指出收敛域解 : 因为 0x = , . 2201() (1) , 1 1,1x = = 即 时, 级数发散; 当 时, 由1+可知 , 级数发散. 6综上可得当 时, 级数收敛 ; 当0x, 则2(1)=( ). A. 2R B. 24R C. 323R D. 0二 . 填空题 6. 设( ) , 则 . 17. 设 由方程(, )() 所确定, 其中 ()导, 则. 8. 幂级数1(1)!的和函数为 . 9. 1(2)的收敛区间是 . 10. 若22()+ =, 其中222:(Dx y + 则 a = . 三 . 计算下列各题 11. 设y y z=+x, 求 . 设 , 其中(e, , )f 具有二阶偏导数, 求2zx y . 13. 计算二重积分22y+, 其中22:1 4+且 0 . 14. 讨论级数11(1)=!的敛散性. 15. 已知2(, ,) , 其中 是由(, )0+ =所确定, 且 f 为可微函数, 求 (0,1, 1)xf . 16. 将2 3 2 )y + 展开成 x 的幂级数, 并求收敛区间. 17. 计算22|1 |, 其中 ( , ) 0 1, 0 1x y= 18. 求22(, ) 2 4 1x y= +在椭圆2214 = 上的最大值、最小值. 19. 计算积分112111224 x. 220. 求级数21112(2 1)=+的和函数. 21. 设函数 (, )f 连续, 如果 22:0 122 2(, ) (, )8+ 求 (, )f 3高等数学 B(三 )强化训练题三解答 一 . 单项选择题 1. C 2. D 3. A 4. B 5. D 二 . 填空题 6. ) )xy yx 7. 11()x 8. 9. 10. 1 (1, 3) 2 三 . 计算下列各题 11. 设y y z=+, 求 . 因为 1z =+, 1=+, 1=+. 所以 =+11 1(ln)d(ln)d(zy xz)=+ + + z 12. 设 , 其中(e, , )f 具有二阶偏导数, 求2zx y . 解 : 因为 13 1f =+= +f所以 2111 1231 3ee(e 1) y fx f fx y x =+ 421111231f xf f xf f =+ + + 13. 计算二重积分22y+, 其中22:1 4+且 0 . 解：22 2 224012221)84(e e) 14. 讨论级数11(1)=!的敛散性. 解：因为 1122!11,(1) (1)! + = = =+ 因此由正项级数的比值审敛法知, 级数收敛. 15. 已知2(, ,) , 其中 是由(, )0+ =所确定, 且 f 为可微函数, 求 (0,1, 1)xf . 解 : 设 , 有 (, ,)x y z +(0,1, 1)(0,1, 1)(0,1, 1)12,1z= = 所以 2(0,1, 1)(0,1, 1) e e 2 1 4 =+ =+=16. 将2 3 2 )y + 展开成 x 的幂级数, 并求收敛区间. 5解 : 2 3 2 ) 1 2 )(1 ) ) 2 ),x = = + x 因为 1 ) ,=收敛区间为 (1,1) , 1(2 ) 2 ) ,=收敛区间为 12 1x , 即11,22, 于是 211(2 ) 1 2 3 2 ) ,nn n=+ = + =11,17. 计算22|1 |, 其中 ( , ) 0 1, 0 1x y= 解 : 1222 22 2212|1 |d (1 )d d ( 1)d d ,x = + + =+ 2211,:0, 0;+2221,:01,0+ 由于 1122 21(1 )d d (1 ) d = 12200d(1),= 221122 22201(1)Dx)dI xy xy x += + y 331122220022 12(1 ) d (1 ) 32x xx x=+ =+x 231 1 d 3422 38= + = + = +所以 22121 |1 |d =+=+618. 求22(, ) 2 4 1x y= +在椭圆2214 = 上的最大值、最小值. 解 : 用拉格朗日乘数法求最值. 设 222 2(, , ) 2 4 1 1,4x y =+ +由 2242 0,8021,4=+ = + =+=, 求得驻点 (0,2), (0, 2), (1,0), ( 1,0). 且 (0,2) 15, (0, 2) 15, (1,0) 3, ( 1,0) = = 比较这些点处的函数值, 得最大值为 3 , 最小值为 15 . 19. 计算积分112111224 x. 解 : 交换积分次序得 2111211 1122 24xy y 11231(e e )d e =20. 求级数21112(2 1)=+的和函数. 解 : 设211()2(2 1)=+, 则 7222 22 2112() , 12xx x= = 显然 , 故 (0) 0S =220022() () (0) ()d d x S St t t x = = =+ 21. 设函数 (, )f 连续, 如果