《金融数学》(第二版)习题参考答案(修订版)

1孟生旺金融数学（第二版）参考答案 ( 2011. 1. 10 修订 ) 第 1章 利息的度量 00 2 i = 150 i = 2000 (1 + i)3 = 2848 12 1/12 18/121004 314 271 = ： (2 )2iX ， B：16 151122 + 16 15(1 ) (1 ) + = = ，= 时，2(1 2 ) 0= = 00(1 46%)2=1 1 1= + = = () ()() ()8A: () 12(t, B : () 0 = 2/1212(e 144= = A: () 0 )= 212an B: () 212gn 22112( )an bn gn +=821() 100(1 ) +=1+, 221+，2210 += () (1 )at t=+ , 12() (1 )at t=+ 11 11300 (3) 600 (6) 200 (2) (5) = +=+ ) d =. )1+ +, 1() (1 at t= 2 t = 5 a (t) = c，则 a (0) = c =1， a (= c= 1 + a (1) = a + b + c = 1 + 7% ，故 a = b = a (t) = t + 1 a (=（ (1+=20(3) 100 100d = += + 623(6) ( 100 A =+ = + (6) (3) ( + = t = 4 时的累积值为：d e = 设名义利率为 x，则 161000(1 ) = ) ，(2) (2)(4)2 1/2 4 1 1 += + + = 102051d d t kt t k = 2() +=， () (0) 162a = 01000 d 10 10 2101 10( 301 5( 30(=+ + =10 10 0(30( + = 222() d d ( 1(2)12) (2) )(t t = = 222(1)() (1)(1)an an n n+ =+(2) (1 ) 2(1 ) = =第 2章 等额年金 363 元 7943 元 实际利率为 年金的领取次数为 123，截至 2005 年 12 月 31 日，领取次数为 370。因此 123 23123 0123 00 18341200 (1 33873200 (1 26005+ =+ =金在第 30 年初的价值为920 6%10000 (1 6%) + = 如果限期领取 20 年，每次可以领取20 6%7435a=如果无限期地领下去， 每次可以领取6% 39526a= =， ， 年 9 月末 )322000 += 8 年 月实际利率为 j，则有 12 1(1 ) (1 ) 1 ) 3024=+ = =+=月实际利率为 i，则季度实际利率为3(1 ) 1 31111000 (1 ) 3020 3020 ) 1 + = = =+故年实际利率为 设最后一次付款的时间为 n，则：000 (1 =+= 假设在 23 年末的非正规付款额为 X，则有 42319 000 (1 (1 =+= 故最后一次付款的时间是 23 年末，付款额为 。 0100 000 9= 221, 1= 2221(1 ) 2 212ix x y i x d + +=+ +20 1010 201538 1072 1072 1538 466 0 vv i=+= j 为等价利率，则有3(1 = ，16 8100( ) 2999+= 每半年作为一个时期，则每个时期的实际利率为 /2i ，两年为一个时期的实际利率为 ()411/2j i=+ ，故 1 (1 ) 1)=+= 010 0 v a = + 重新投资后，+= ()20 0 2 64 1 is + = += 00 )1d +0() d (1 0.5)r +, 5(5) (5) (5). ) (2) (5)aa a=+= ) ()88 88001111d 1 d 8 8 100v t = =() ()581041 8 100 1 8 100 = = ()5104101 1 8 1001 =)/i 12 3 = ，13112 12 12 1/ 6= = = 第 3章 变额年金 )29 / 229 229 / j = = =()()3029 / 21/2 1/+= 0 10900 100( )= 3 1 2(1 ) (1 )123. n nv ia v nv + + + += + = = 3579 3 2462222 4 6 8 . 2 (1 2 3 4 .) )v vv v vv += += = 金 A 的现值为：1020 10 1055 55( )X + 年金 B 的现值为：10 2010 10 1030 60 90X + 故 10 10 2020 ) 30 60 90 5 a+=+ + = = = 年期年金的现值为234567891092345432PV v v v v v v v v v=+ + + + + + + + 10 年期年金的现值为23456789101023455432PV v v v v v v v v v v=+ + + + + + + + + 234510 95V v v v v v a =+= 因此，10 9522 22 V a=+=+= () ( )v 1(1)n =+ )n =+ 111(1)=+11(1 )( 1) +=10 0 0 0( ) 300 50 6250 a A+=+ = 6 7 8 9 10 56 2 4 5622 2 3 3 .v v v v vv v v （1+2 +3 +.）（ ）（1- ）1+ + + + += + = +25422(1 ) (1 )vv =+2（1- ）2 3311 . + += =)( ) ( ) ( )48 1244884815 110 1 5 12 3PV v v v v v v v v v=+ + += + + + + + += = =( )48 4 4812 4 4812 3 2 3 1 1 4v + + + = + + + =+ + + = 48 24444 5 4 v + = + =季度复利一次的利率为1/4(1 8%) 1 = 所有存款在第八年末的终值为18 16 22000 (1 ) (1 ) . (1 ) 35824ii i+ =4 ) / = 月支付 2000 等价于年末支付(12)1 24,000 因此年金的现金流等价于分别在时刻 k = 1，2，3，. . .，20 支付(12) 11 24,000 （） ，当(12) 时， 6现值为 () ()()19(12) 19220 (12)1 1 24,000 . 24,000 1 .+ = +1 +，(12)，1920 . = =故现值为 343320。 16607 一共有 11 次付款，最后一次付款发生在时刻 11，现值为： 23 111 5% 11 5%400 450 500 900 350 50( ) =v v a += +终值为： 共有 11 次付款，最后一次付款发生在时刻 10，现值为： 21011 8% 11 8%1000 1070 1140 1700 930 70( ) v a + = + =其终值为： 后一次付款发生在第 11 年末，现值为： 21111 6% 11 6%500 480 300 20( ) 280 v Da a+= + =在第 20 年末的终值为： 组付款在时刻零的现值为： 23 7850 40 30 20 40 50vv v v v+ + + +前 5 次付款的现值为：23459%50 40 30 20 10 10( ) v v + + = =后 4 次付款类似于期初付递增年金，其在第 4 年末的价值为： 23459%20 30 40 50 10( ) 10 v v += =后 4 次付款在时刻零的现值为： 这组付款的总现值： = 项投资在第 10 年末的终值为： 10 6% 10 6%80000 ( 5000) 500( )s= + 80000 ( 5000)(500( + = 有 11 次给付，第一次给付为 3000 元，最后一次给付为 2000 元。在第 4 年末的价值为10 6% 11 6%100( ) 2000Da a+ ，在时刻零的价值为： ()410 6% 11 6%100( ) 2000 a a=+= 第 15 年末的投资金额应为 200 200(15 5) 2200+ = ，这组投资在第 20 年末的终值为：1611 5%(1 ) 200( ) 0 4% 10 4%90 10( ) 90 0 += 第 8年的终值为：87% 87%60 5( ) 60 += 在第 10 年的终值为： 共领取 90 65 1 26 次，现值为： 22523 2615000 15000(15000(15000( + 将其贴现到 25 岁生日时的现值为：= 1000(4 3)+ 时刻 5 的现值为： 102255( )tt t s s ds + + 时刻零的现值为： + ) 7X =+3 ) 14s 5 年的现值：59%20 从第 6 年开始，以后各年付款的现值为： 23511 + + = 总的现值为 335，故有 k = ()10 100125000 9 =+190k= 5% 155%20( ) 160 20 60 a+=+= 8第 4章 收益率 315000 40000 1000050000 0 )(1)i+ + =+ +0 6 5 4 310000(10000 k= 间加权法：75000 90000 670001( )( )( )5000 15000 90000 25000+= = =+币值加权法：利息 67000 50000 15000 25000 27000I =+=，故 5000(1 1/ 3) 25000(1 2 / 3)i =+两种方法计算的收益率之差为 = 金 X 的利息 43100 50000 24000 36000 5100I =+= 故其币值加权收益率为 4000(1 1/ 3) 36000(1 5/ 6)i =+基金 Y 时间加权收益率满足：1050001 3000100000 105000 15000 = =值加权收益率为 0% ，说明 0I = ，故 120 90 3 0 10= 时间加权收益率为 90 110 120()()()110%100 110 120i = 间加权收益率 120 100 65()( )( )10 36100 120 100 50+故币值加权收益率为 65 100 36 6(1 1/ 4) 50(1 3/ 4)i +=+时间加权收益率有 1212 =+由币值加权收益率有 12122000 =+故 ， ， ) = 时间加权法计算前六个月的实际收益率为 40 80 0 160j = = 。 与其等价的年实际收益率为 2(1 =。 9全年的时间加权收益率率为 () 50= = =。 金在现金流发生前的价值如下表所示： 时间 现金流发生前的基金价值 现金流 现金流发生后的基金价值 0000 2000 1000 23000 3800 1000 24800 4000 1000 25000 4100 1000 25100 故 22000 23800 24000 241001 3000 24800 25000 = = 第一年末， 投资者得到利息 40， 第二年末得到利息为 240, 第五年末得到 540 。投资者将这些利息以年利率 3%再投资，则到第五年末，这些利息的积累值为 ) 故 5 年末投资者共得到 。设购买价格为 P ，要得到 4%的收益率 , 有 5(= 资者在第一年末的利息为 500i ，第二年末的利息为 2(500 )i ，第 20 年末的利息为 20(500 )i 。这些利息在 20 年末的积累值为 20 / 2(500 )( )本金共20(500) 10,000= 元。已知年实际收益率为 8%，故： 20 0 / 2500 10000 (500 )( ) =资者 A 每年获得利息为 100 元，十年末积累值为 1500，则 101500 100 = 投资者 B 第 2 年末获得利息 150(第 3 年末获得利息 2(150)(第 20 年末获得利息 19(150)(利息再投资后的积累值为 19 ) )1020 0 2 64 1 is i i + = + = = 项投资在 2001 年初的余额为 1000(1000(1000 3269+ += 在 2001 年末的余额为： 1000(1000(1000(= 故 2001 年中所获利息为 269 = 10第 5章 债务偿还 贷款额为 L，则 /a= 第 t 次付款的利息部分为1(1 ) 故 (1 )nX v =2(1 ) =(1 ) = X = ） 每年的等额分期付款金额为 R，由已知 28(1 )R v =135，14(1 )R v = 108 14v = R =144 7(1 )R v =144（ 1=72 t 年的分期付款中的利息金额为30 1(1 ) 30 1 30 12(1 ) v t+ += 故在第 23 年分期付款中利息金额最接近于付款金额的三分之一。 贷款总额为 L，则10 。 10 9 +=+ i=R= L = 支付的利息金额总数为 10等额年度付款金额为 R：，5101000 5v =第 5 年末的未偿还本金为 5101000(1 )+ = 1）借款人第 2 年末向偿债基金的储蓄额应为0|4| =） （ 2）第 2 年末的余额为 |2|s= = （元） （ 3）第 2 年末的贷款净额为0|20000 = = （元） 1）借款人第 2 年末向偿债基金的储蓄额应为 D =4|） （ 2）第 2 年末的余额为 |2|s= = （元） （ 3）第 2 年末的贷款净额为0|20000 = = （元） 于偿债基金，各年末的储蓄额为 D =4|） ，各年应支付的利 11息为 20000*8% = 1600。故每期总的支付金额为 。 如果两笔贷款对借款人而言是等价的，则各期支付的金额应该相等，故 0|4| 20000/ ki = = 4 次付款后的未偿还金额为 50 290 230 ( ) += + 故第 5 次付款的利息部分为 ) a = + =12229125,000 1 ( 526a = + + + =期还款的积累值为 2020 0000(1 ) = 第 t 次分期付款的本金部分为 1+故所有分期付款的本金部分的现值之和为 11111n += =又分期付款的现值满足 1*nA a= ，故 1()= =令月实际利率 j = i/12。 1212155000 = 12 12 112 5000(1 ) )j=+ =+ 12, 第一笔贷款，每期偿还额 = 。 由分期偿还表,第 11 年内偿还的本金金额为 30 11 = 。 同理，第二笔贷款 =，= 。 故 2010 年一年内偿还的两笔贷款的本金之和为 。 将还款额分成 3 部分，一部分是 的第一笔付款 X；第二部分是自 开始，支付 4 次，每次支付 2 X；第三部分是自 开始，支付 5 次，每次支付 2 X，故有 000 (2 (2 (327845% 53%a X=+ + = 由已知 31000 3 = =，得 由过去法，第 2 期后未偿还本金金额为 21000( =。 故第 3 次支付的本金金额为 = = 。 由将来法，第 4 期后未偿还本金金额为 3 。 故第 5 次支付的利息金额为 。 第 69 期还款额中本金金额为 360 1 69 29269v+=。 故由已知 2922921 ， 解得 112( 1) =。 另一种解法：由于等额分期偿还中各期还款中的本金金额为1= ，故第 69 期和 70 期偿还的本金金额比为1/ 1 /12 (1 /(1 69 70PP v X=+ = 。 同样解得 。 由已知，前10 次付款等于应付利息，故十年末的未偿还贷款余额仍为 1000 元。 第 11 至 20次付款等于应付利息的两倍，即本金偿还值等于应付利息值，有 = =11 1011 10 11 10 11 10212 11 1010 1020 (1000) 0 期每期付款等于 X，故 = 分别用将来法计算两种偿还方式在第 5 次付款之后的未偿还本金，有 10 0 00 ( )解得 K = 故调整后最后一次的支付额为 800+ 9 K = 妨假设两笔贷款均为 1。 对于贷款 L，30 。 对于贷款 N， 1/30=+。 由已知，第 t 期对应的利息 I 为 30） /30。 故要使贷款 L 的支付额超过贷款 N，有 1/ 30 0 1) / 30 + = 解得 。 故在第 11 年末，贷款 L 的支付额首次超过贷款 N。 由已知，每期偿还金额为 10 1139= 。 调整后，由 8%的年收益率，在借款日满足 44 000a + = 解得调整后的每期偿还金额为 。 故通过调整，借款人增加的付款为 4*1139=112。 由已知，各期还款的现值满足 132 3 20 20102030 10 19100000 ( 100) ( 200) ( 1900) ( 1900)1900 100 ( )v X v X v X v a v + + + +=+ +解之得 X =） 。 贷款本金为 L。由已知，当期的利息为 故每年末向偿债基金的储蓄额依次为 又偿债基金的年实际利率为 7%，故贷款本金为 32(2000 3000 4000 5000 L + + 解之得 L= 1）偿债基金的季度实际利率为 = 借款人第 2 年末向偿债基金的储蓄额为 D =10|） （ 2）第 2 年末的余额为 | 4|s= = （元） （ 3）第 2 年末的贷款净额为 0|10000 = = （元） 第 6章 债券和股票 格为 ，账面值为 （理论方法） ， 理论方法） ， 1015（实践方法 0 9010 10 10100 00 . 100 av + 票未来的收益流为23( (, (,. 故第六年的收益将为6( ，它的 50%将用来分红，故有 .1 =+= 1 =+ = ，2%P =345, 4, 5 年的账面值，已知 1000(80 = ，故 ( )( ) ( )54 1 ) 80 1 80 1 ) 80(1 ) 80 V BV i BV i += + +=+=(3)3 80 1000 2n+ = = 141212 000( + = 题意可知 20 20 20 40(1) - ) ) 2 =由 (3) /(1)得： 50 130240 3= =由（ 1） +93)得：20 20 (90 2 )90 2 =所以 20 (45 ) / 2= 股的利润为 10 ，保证金为 10 = ，保证金所得利息为5 ，分红为 = ，7005+ = 券 X 00 v a=+= 债券 X 在第六年应得利息为 = ，实际息票收入为 100，所以账面调整值为 100 。 债券 Y a F= + = 债券 Y 在第六年应得利息为 ，而实际息票收入为 以账面调整值为 。 由于 X 和 Y 的账面调整值相等可知，故 = 所以 0 = 2012 年 1 月 1 号作为参考期，有 10t = ，则 210210 ) 15(1 )15 . = + + += 9 1 9101100 190110 33= = 0 0， 30，设第三种债券的价格为 X， 80，因此 10a= ， 50a= ，10 1550 5 410=+ = ) ()() ()1010 100 000 1100 =+= + ()1010 100 + = 票为 300 ,债券在出售时，应计息票的期限是 2 个月，相当于 1/3 个息票期。债券在出售时的价格可以表示为投资余额（账面值）加上应计息票收入。理论方法与半理论方法的差异在于应计息票收入之差。理论方法计算的应计息票收入为1/3300；半理论方法计算的应计息票收入为 ( )300 1 3 ，两者相差 ()() ()21920 2 3 0 777Pv v v v =+ + =+ =00040Pa v =+ =第 7章 远期、期货和互换 头的回收和盈亏如下表所示： 1 年后即期价格 回收 盈亏 45 45 0 50 5 55 0 60 5 65 0 70 4 75 75 9 1年后价格是 66元的时候回收为 66元， 初始投资在 1年后的现金累积值为： 60（ 1+10%）=66（元） ，所以盈亏 = 6666=0（元） 。 股票空头的回收即为多头回收的相对值，盈亏为回收加上初始所得在未来的价 值66 元，空头的回收和盈亏如下表所示： 1 年后即期价格 空头的回收 空头的盈亏 45 1 1650 6 55 1 60 65 70 4 75 9 1 年后价格是 66 元的时候，回收为 ，初始所得在 1 年后的现金累积值为： 60（ 1+10%） =66（元） ，所以盈亏 = 66+66 = 0（元） 。 =） 1）日股利： 65105=） （ 2）若我们在年初持有一单位股票，年末将持有： 3）若要在年末持有一单位股股票，年初应持有：应投资： 105*） 。 1）70e e=） （ 2）() 0 72=，则 =度连续股利收益率是 套利情况： 105*） （ 1）远期价格 115所以在今天先签出一份远期合约，约定在 6 个月后以 115元的价格卖出你手中持有的 X 公司股票。同时在今天借入 105 元购买 X 公司的股票，承诺在 6 个月后还款。于是到 6 个月后，以 115 元卖出手中股票，同时还款：（ 105*） ，最终无风险获利 。 （ 2） 远期价格 107= =不妨假设两种零息债券的面值均为 1000，则 4 年期零息债券的价格为()4 +4 年期零息债券的马考勒久期为 44 2710 年期零息债券的价格为()10 +10 年期零息债券的马考勒久期为1010 假设有 %x 的债券投资 4 年期的零息债券， (1 %)x 的债券投资 10 年期的零息债券，由，有： ( %)(4) (1 %)(10) 83.3%xx x+ = = 投资 4 年期零息债券的金额： = 投资 10 年期零息债券的金额： = 各种债券的购买数量分别如下： 购买 5 年期债券的数量 8 购买 4 年期债券的数量 30 购买 2 年期债券的数量 60 购买1 年期零息债券 10 购买各种债券以后净负债的现金流如下： 年度 1 2 3 4 5 负债的现金流 1794 6744 144 3144 824 5 年期债券的现金流 24 24 24 24 824 净负债的现金流 1770 6720 120 3120 0 4 年期债券的现金流 120 120 120