华中科技大学材料力学课后习题解答

第二版 材料力学 习题解答 （华中科大版 倪樵主编） 第二章至第七章 22 3F 1 1 3 3 F F 最大正应力为 : 3F 2F 1 1 2 2 2F F 最大正应力为： F 2F 1 1 2 2 F 2F 最大正应力为： (a) (b) (d) F a a a2F F 1 1 2 2 2F 3F 最大正应力为： (c) 2F F 3F F 2 2 3 3 3 3 M P a 15m 1010 N 150 26- M P a 453 P a 453 M P a 302 下图，对小手臂部分做受力分析，可求得 ： 030 肱二头肌中所受应力为 ： 21 5 0 0 N 2 . 5 M P 0 m 25 时： 24 5 0 c o s 4 5 5 0 M P a 4 5 01 s i n 2 4 5 5 0 M P 0 1 0 0 M P a=时： 24 5 0 c o s 4 5 5 0 M P a 4 5 01 s i n 2 4 5 5 0 M P a=135 时： 21 3 5 0 c o s 1 3 5 5 0 M P a 1 3 5 01 s i n 2 1 3 5 5 0 M P a=时： 21 3 5 0 c o s 1 3 5 5 0 M P a 1 3 5 01 s i n 2 1 3 5 5 0 M P 各截面受力如图 ： 2角度为 20 a01 2 a要使 2则有 20 0 01c o s 2 s i n 2 2 s i n c o a a a ac o s 2 s 12 = a r c t a n 0 . 5 = a r c s i n = a r c c o -6 3 1 ( ) 0 : A0:12 2N N F3 0N 由胡克定律 ： 3 0l12 0 . 4 7 6 m A l结构中 此 受 A， A， 因此 点纵向位移相同： 0 6 m 2-7 2 dr x x 截面面积为： 22 dA x r x t t x 0xF x V x g g A x d x 对该函数取一阶倒数，可知该函数没有极值，为一个单调递增的函数，在 202xx l d g x lA x x l x l 22102dx 在 因此 m a x 34 此处轴向变形为 20 0 02222 2 l x xx x x d x d x x l d x lg x x l l x 223 2 l n 2 0 . 4 0 34 g l g E 25301 m 0.8 点列平衡方程： = 1 8 . 1 k : 5 = 0 1 + 30 : c o s 4 5 + c o s 3 0 = F 2= = 2 5 . 6 k 3 N 由胡克定律 ： 1 1 1 11 2 2 21114 1 8 . 1 k N m4 s 5= = = 1 . 0 7 8 m 0 G P a 3 . 1 4 1 2 ( m m )N l N E d 2 2 2 22 2 2 2220 . 84 2 5 . 6 k N m4 s 0= = = 1 . 1 0 5 m 0 G P a 3 . 1 4 1 5 ( m m )N l N E d 分析 点。 l2l点向中心线作垂线交于 则 水平 位移为 ： A 4530R P + P Q = R Q A Q 12A x A xt a n 3 0 + t a n 4 5 -c o s 4 5 c o s 3 0 P = 0 9 m m2A A x= A R + R P + t a n 3 0 = 1 . 3 6 7 m mc o s 3 0l 因为： 所以有： 正号表示 A点与假设的位置相同，因此有： 2对 2 3030 : k y d y F k l 在 2 3 3301 =3y FN y k y d y k y 由胡克定律，在 33 A E A l 地桩总的缩短量为 ： 3300 4 F ld y y d l E A 2对 452 20 : c o s 4 5 5 0 k N 0 : s 5 2 5 0 k N N 杆 1的应力校核 ： 111 214 14 2 0 m 杆 2的应力校核 ： 222 22 2 8 4 m 故杆 1的最小直径为 20 2的最小截面边宽为 84 2b F F d F F 由 受力分析 可知 4F 1 1 2 2 3 3 F/4 钢板的 2剪应力和挤压应力的强度条件 722 80 1 0 9 9 . 5 M P 1 4 1 . 6 2 23 3 8 0 k N 1 2 5 M P 2 ) 4 1 0 ( 8 0 2 1 6 ) m 28 0 k N 1 2 5 M P 1 0 1 6 m s b 3 28 0 k N 1 2 5 M P a( ) 1 0 ( 8 0 1 6 ) m 综上，接头安全。 故该接头满足强度要求。 2 2 3 4F F F F F 1322 e F 24F a F a 244 1 32 l l lA 2 1 32F F F1 2 3 413242 1 3222F F F F e FF a F F 由静力平衡： 对 2 对 1 几何协调件 1： 由对称性， 又因为杆的尺寸及材料相同，由胡克定律可知 几何协调条件 2： 物理条件： 可得： 联立方程 1解得： 12344 244 24 与方程（ 3）重复。 (1) (2) (3) (4) 12l1 kN/ 0 k F 由静力平衡： (1) 30 kN/1 m 3 m 3 0 k N x d x 对 矩： (2) 几何协调条件 : 213胡克定律 : 2 2 1 12 2 1 13F l F E A (3) 联立方程 1,2,3，可解得 : 1 38.6 2 32.1 19.3 杆 1受压，需校核许用压应力 : 11 . 5 M P a 所以杆 1可安全使用，杆 2有失效危险。 21.5 m 1.5 F由静力平衡： (1) C D D B C Bl l l T D 其中 C A B A 0 1 m m 1 m m 2 1 m D l 0时 ： 2.1 时 0m a x 2 0 0 k N 8 0 M P 0 0 m 1.2 时 0BF所以 时 所以 时 有几何协调条件 : C D D B C Bl l l T 由胡克定律 : C C D B D l E Aa (2) 联立方程 1,2，可解得 : 152.5 47.5 2m a x 1 5 2 . 5 k N 6 1 M P 0 0 m 2筋： c静力平衡： (1) 在拉力 筋的变形为 ： 而且钢筋受拉，混凝土受压 0s s A E拉力 筋和混凝土的残余变形分别为 ： A A其中钢筋伸长，混凝土被压缩。 几何协调条件 : l l由胡克定律 : (2) 0s c c sF l F l E A E联立方程 1,2，可解得 : 01519ss 0138c c sc c s A 钢管： 200 100 sA sF c30 30 50 铆钉： 10 6 0 6 1 0 0由静力平衡： (1) 几何协调条件 : 2) s c cF l F lT l T E 联立方程 1,2，可解得 : 9314 其中 : a a 则有 : 9314 有两个铆钉，每个铆钉所受剪切力为 : 2 2/2 5 9 M P a/42-1 a 2 a a 1 .5 kN ma a a) (b) (d) (c) 38 3/ 8 4 1 2 7 M P ad pT d 432p /4 3/ 4 8 2 5 5 M P ad pT d /2 3/ 2 1 6 5 0 9 M P ad pT d 3 4116p am a x 1 9 4 M 3m a x 2 1 0G 3力偶矩为： 0 9 5 4 9 7 2 1 N n 3116p 实心轴的抗扭截面模量为： 最大切应力为： 3 42 116p a 0m 1 / 301 16 4 5 . 1 m 实心轴的抗扭截面模量为： 最大切应力为： 0m 1 / 302416 4 6 . 1 m a22 2 3 m 3m300 扭矩图： m a x 2 6 9 . 5 M P m a x 2 6 0 . 0 M P 30M 0图可知， 力大小相等，方向相反，构成的力偶方向为 +力偶应相互平衡。 计算 设最大切应力为 0，则 半径 0rR 2223d A r r Ld r r Ld r d r 由切应力互等定理 ，则 半径 计算 202 2 20000 0 03d A L rd d d r r d r a r然 ： 3m a x 111 4 M P 1 m画扭矩图，可知实心段的最大扭矩为 1.5 心段的最大扭矩为 1 心 段中 最大切应力： 31 16p 0.5 kN mB1 kN mA1 m 1 802m a x 121 4 M P 空心 段中 最大切应力： 432 116pD 截面 的扭转角： 1 1 2 212120 . 0 0 9 2 r a l T G I 41 32p 442 132pD 1 1 2 21212180 0 . 5 3l T G I 3力偶矩为： m a x 4 9 . 4 M P 11 9 5 4 9 6 2 1 N n 22 9 5 4 9 8 1 2 N n 33 9 5 4 9 1 4 3 2 N n 1M 2M 3 m621 C D 知可能的危险截面在 是 0.5 m 0.3 m 1 31d 2 3116p 1 m a x 180 1 . 7 7 / 4132p m a x 2 1 . 3 M P 3216p 3 m a x 180 0 . 4 4 / 4232p 3力偶矩为： 0 9 5 4 9 3 9 0 N n 设单位长度上土壤对钻杆的阻力矩为 m，则 深度为 M y m y由静力平衡 0M l M则： 0 9 N m / 0M 3 4116p a钻杆的抗扭截面模量为： 0m a x 1 7 . 8 M P 0000321. 48 10 r a y dy m y M G 则 深度为 0M y m y M 3力平衡： 500 750 B M M 几何协调条件： C、 即 0C D C A A B B 其中 C C A A C A B C M 可解得： 620 N 380 N 由此可画出轴的扭矩图如图，可知危险截面在 620 20 80 度校核： m 4 2 .9 m 刚度校核： 6 5 .2 m 180 因此圆轴的直径应为： 65.2 3者的材料相同时，可看成同一材料在不同位置的切应力： 4232p 11m a x 1 42/ 2 1 6pT d T d 2m a x 2 32/2 16I d二者的材料不同时，设杆 1的扭矩为 2的扭矩为 12T T T静力平衡： 411 32 442 2 132p I d d几何协调条件：二杆之间无相对滑动，故相对扭转角相同 12 或 12 即 121 1 2 2 G I方程 1、 2联立，可解得： 442 2 1222 4 4 42 2 1 1 2 2 1 1 1d G I G d d G d 411 111 4 4 42 2 1 1 2 2 1 1 1 G I G d d G d (1) (2) 4 32 3322l 2l 299AF 3212截面 1 截面 2 截面 3 剪力 弯矩 9 截面 2 截面 3 剪力 弯矩 a) (b) 33322027 B 11 22 3311 22332a 2a a a aq 32面 1 截面 2 截面 3 剪力 弯矩 3838AM q a 52BF 258qa面 1 截面 2 截面 3 剪力 弯矩 12 212 22qa qa(c) (d) 4-2 - + - la bl(a) (b) 4-2 + (c) (d) 0Ml - (e) f) - (g) (h) a (b) + 2a) + 0d) + c) - a a a 2+ (e) a 2a a a aq (f) - - (g) - 54(h) - - 27 32m 2 m 2 kN m10 kN/kN m40 kN m20 kN m2.5 kN m+ 34 a3a 2 - (a) 52b) - - 支座只能提供剪力或轴力，不能提供弯矩，故铰支处弯矩为零。 4-4 a a - (c) d) - - 32F 24-7 22 2B B 2 2 02 2 y l x d y y y F y x l x d y x l x y x l y x d l y x d y 2即 20l x d 时，最大弯矩在 此时 y x d 222 2 2 3C x d l x d x l d x d l 当： 2时，最大弯矩在 此时 22 2 2 2B l x d x x l d 234即 时， 2m a x 28C l d 2 4即 时， 2m a x 28B l d 故当 2 4 234均有最大弯矩，但作用点不同 2m a x 28l d 4-8 - (a) (b) 2 l /4l/42- 1238- m+ 12641 m 2 m 2 m+ 1215521834463040 5053154-8 - (c) (d) 100- 注 1：弯矩图应封闭；无集中力偶的作用，故弯矩图上不应有突变。 注 2：载荷图应满足静力平衡条件，即合力为零，合力偶为零。 1002 m4 kN m50 kN/m 50 kN/00 00xO(kN m)M + 求出支反力 3 k 60 800 200 3003 5A 6 4 k 画出弯矩图，可知空心部分和实心部分的危险截面 - 4 4 6 41 1 1 4 . 4 9 6 1 0 m a x 1m a x 116 2 . 1 M P 实心部分： 4 642 2 1 . 2 0 6 1 0 W m a x 2m a x 126 3 . 4 M P 故最大弯曲正应力为 4 kN m)M + 求出支反力 3 k 60 800 200 3003 5A 6 4 k 画出弯矩图，可知空心部分和实心部分的危险截面 - 4 4 6 41 1 1 4 . 4 9 6 1 0 m a x 1m a x 116 2 . 1 M P 实心部分： 4 642 2 1 . 2 0 6 1 0 W m a x 2m a x 126 3 . 4 M P 故最大弯曲正应力为 4 x， y A B A A B A B A l l I 又： C D C C D C D C l l I 0 10 9 100 m 可解得： 10 代回到伸长量的计算中： 2 0 0 m C 故： 0 . 0 2 m 910因此，梁中的最大拉应力为： 2 0 3 0 M P M 梁中的最大压应力为： 3 0 1 2 0 M P M 4形心 1 1 2 2121 0 0 1 5 0 7 5 5 0 7 5 8 7 m 0 1 5 0 5 0 7 5CA y A 0550 分解为大矩形 1和小矩形 2，令小矩形 2的面积为负值，则由叠加原理可知： 因此，组合图形对 z 23236411 0 0 1 5 0 7 5 7 0 0 0 1 5 01215 0 7 5 8 7 0 0 7 5122 5 1 0 m m a x 7 0 I 可能的最大压应力为 ： m a x 1 5 0 7 0 . 8I 7 k N 2 5 k N 所以该截面可承受的最大正弯矩为 虑正弯矩，使截面下方受拉，上方受压，故可能的最大拉应力为 ： 4qx- 画出剪力及弯矩图，知： SF x q x22 212M x q x所截截面为中性层，有最大切应力： 3 3 3222x F x q b h b h梁被截下部分的切应力的合力与两侧横截面上的正应力的合力相平衡： 右侧截面上： 000左侧截面上： 22l y 0 22/2324 l q l d A y d y 中性层上切应力的合力为： 203324q x d A x d x bb h h 二者合力大小相等，方向相反，相互平衡。 4- 1 5 k - 危险截面为 的右邻截面 ,并且两截面上剪力及弯矩的绝对值 大小相等： 正应力校核： a m a xm a a F W b h b 147 切应力校核： m a xm a bh 122 故截面尺寸应满足： b=147 h=221 + 出剪力及弯矩图，知危险截面为 正应力校核： m a xm a x 26W b h 切应力校核： m 2 故许可载荷为： 胶合缝上切应力校核： 2 224y I 25 m m = 64+ 4力 m a xm a x 1 . 34 3 1 有简支梁 故： M 4F l aM m a xm a x 4l m a x 4M F l a m a xm a x 1 l 4出剪力及弯矩图 m a x m a xm a x m a x 6 0m y 2 0 6 k 正应力校核： 故： 0 0m .1 - + 0.1 m 0.1 0801010100求出几何量 由对称性知，形心坐标： 因此，组合图形对 3 3 6 4111 0 0 1 2 0 8 0 1 0 0 7 . 7 3 1 0 1 2 切应力校核 (可参考工字形截面量的计算公式 )： 2 2 2m a x 0 00 88 y h h h 22 2 200* 8 2 4S z F h h yI t I t 其中： 00 . 1 0 . 2 0 . 1 0 . 0 2 mb h h t 1 5 4 k 焊接面上切应力校核： 0 1 4 1 k 故该梁的许可载荷为 141 2l 2lq a) 32BF 298BM 分段列微分方程并积分： 229 3 1 0 , /28 2 2/2, q l q lx q x y M xq l x l l l 2 2 31219 3 1 0 , /28 4 61 /2, 2q l x q lx q x C l x l D l l 2 2 3 4123129 1 1 0 , /21 6 4 2 41 / 2, 6q l x q lx q x C x C l x l D x D l l 约束条件： 00y 00y 12 0 连续条件： 2 3 423129 1 12 1 6 2 4 2 2 4 216 2 2l l l y q l q l l l D D 光滑条件： 232219 3 12 8 2 4 2 6 21 22l l l y q l q l l l D 3142254865384D 445128y l 32548y l 5-2(b) 0分段列微分方程并积分： 0 , /2 /2 , F x y M x F x l l l 21211 0 , /221 /2, 2F x C x l D l l 3123121 0 , /261 /2 , 6F x C x C x l D x D l l 约束条件： 00y 00y 12 0 连续条件： 3312112 6 2 6 2 2l l l y F F l D D 光滑条件： 22111 2 2 2 2 2l l y F F l D 1320124 l 3124y l 0c) 0B MF l 0C MF l分段列微分方程并积分： 0000 , , M y M xM x M a 20120010 , 2, 2M x C yM x M x D a 30123200120 , 6, 62M x C x C x D x D a 约束条件： 00y 0 0C连续条件： 3 3 20 0 01 1 26 6 2M M y a a C a a a D a 光滑条件： 22001 0 122 y a a C a M a 0122012022263262MC a ab a 0 ()3M a b b 220 ()3M a a b 0Ma 2 062l D l D d) B C 分段列微分方程并积分： 0 , , aF y M xF x F a l l l a 21210 , 2, 2aF x C x F a l x D l l a 31232120 , 6, 62aF x C x C a l x D x D l l a 约束条件： 00y 0 0C 32 12 062a l l D l D 光滑条件： 221122a F y l l C l F a l l 1223466l F 2 ()3a a ly a ( 3 2 )6a a ly a B 10 66a F a l C F a) 331 1 1 1= a =2 4 2 4C B C Bq l q y E I 2）又可分解为图（ a）与图（ b）的叠加 + 图 (1) 图 (a) 图 (b) 33C a B a 故 3 3 2 3 21272 4 3 2 4C C Cq l q l q l a q l q l E I E I E I E I E I 将图形等效为单一载荷作用效果的 叠加 ，得图 1与图 2 图 (2) 2I322 += 3C C a C bq l q l E I E I 32 22 a + = 32C C a C bq l q y a E I 3 3 2 3 2 221272 4 3 2 2 4 2C C Cq l q l q l q a l q l ay y y a a E I E I E I E I 5-3(a) 用 逐段刚化法 将图形分解： 1 1 1 1 C y 1）刚化 外载等效到 图（ 1） 图 （ 1）又可分解为图（ a）与图（ b）的叠加 + 图 (1) 图 (2) 图 (a) 图 (b) 3 3 317+ 2 4 3 2 4B B a B bq l q l q E I E I E I （ 2）刚化 效到 点的支反力（包括剪力 和弯矩 ），不需单独列出，得图（ 2） 22I 222 2I故 3212724C C Cq l q l E I E I C C 21 2 1 272 4 2C C C C Cq l a q l ay y y I E I 5-3(b) 121212A A y y y+ 故有 将图形等效为单一载荷作用效果