例题和习题解析高一数学寒假课程(答案)

寒假课程 说明 高一数学 1 第一讲 集合及其应用 一 、 例题解析和参考答案 【 例 1】 解析： 根据 1, 2 ，得 42 x ， 2x ， 但 4,2,1 ， 由元素的互异性 2x . 2x . 答案： C 又例 ： 答案： a 0， 1， 3， 3 【 例 2】 错解分析 ： 根据 M 为直线 1 的点集， N 为单位圆 122 的点集， 中元素的个数是 2，选 C. 解析： 根据 1 得 ，为数集， 1),( 22 单位圆 122 的点集， . 答案： A 又例 ： 解析： 显然 都是坐标平面内的点集，抛物线 12 圆 122 三个交点， 即集合 有 个元素， 有 8 个子集 . 答案： D 【 例 3】 解析： A （ A B ） ， （ B C ） C ， 又 A B B C ， A C ，故选A. 答案： A 又例 ： 解析： N 0, 1 ， M 1,0,1 ， N M U. 答案： B. 【 例 4】 解 析 ： AB 3， 3 A 且 3 B， 将 3 代入方程： 12 0 中，得 a 1，从而 A 3， 4. 将 3 代入方程 c 0，得 3b c 9. A B 3， 4， A B A， B A. AB， B A， B 3. 方程 c 0 的判别式 4c 0， 3b c 9 4c 0 寒假课程 说明 高一数学 2 由 得 c 3b 9，代入 整理得： （ b 6） 2 0， b 6， c 9. 故 a 1， b 6， c 9. 【 例 5】 解析： A x|y 2x x|0x2， B y|y 2 y|y0， A B 0， ） ， AB 0,2 ， 因此 AB （ 2， ） ，故选 A. 答案： A 【 例 6】 解析： （ 1） 由已知得： 3 x） 3 x43 x0 ，解得 1x 3， A x| 1x3. 由 5x 21，得 （ x 2）（ x 3） 0，且 x 20，解得 2 x3. B x| 2 x3. （ 2） 由 （ 1） 可得 x|x 1 或 x3， 故 （ B x| 2 x 1 或 x 3. 又例 : 解析：由题意易得： B （ 0， ） ， （ ， 0，所以 Ay| 2 y 0. 答案： A 【 例 7】 解析： A x|6x 8 0， A x|2 x 4. （ 1） 当 a 0 时， B ，不合题意 . 当 a 0 时， B x|a x 3a，应满足 a23a4 即 43 a 2， 当 a 0 时， B x|3a x a，应满足 3a2a4 即 a . 当 A B 时， 43 a 2. （ 2） 要满足 AB ， 当 a 0 时， B x|a x 3a， a 4 或 3a 2， 0 a23或 a4； 当 a 0 时， B x|3a x a， a 2 或 a 43， a 0 时成立，当 a 0 时， B ， AB 也成立 . 综上所述， a 23或 a 4 时， AB . （ 3） 要满足 AB x|3 x 4，显然 a 0 且 a 3 时成立， 此时 B x|3 x 9，而 AB x|3 x 4， 故所求 a 的值为 3. 又例 : 解析：集合 A 是方程 2x 3 0 在实数范围内的解集 . （ 1） A 是空集， 方程 2x 3 0 无解 . 4 12m 0，即 m 13. （ 2） A 中只有一个元素， 方程 2x 3 0 只有一解 . 寒假课程 说明 高一数学 3 若 m 0，方程为 2x 3 0，只有一个解 x 32； 若 m0，则 0，即 4 12m 0， m 13. m 0 或 m 13. （ 3） A 中含有两个元素， 方程 2x 3 0 有两解，满足 m0 0 ， 即 m04 12m0 ， m13且 m0. 二 、 课后训练 参考答案 D 解析：当 m 0 时， Q P； 当 m0 时，由 Q P 知， x 1m 1 或 x 1m 1，得 m 1 或 m 1. B 解析：由题意得 MN 4， 5， M N 2， 3， 4， 5， 6， 7 U， （ M 3， 4， 5， 7U， （ N 2， 6N，综上所述，选 B. C 1 D 解析：依 题意，结合韦恩图分析可知，集合 AB 的元素个数是 m n，选 D. A 解析： B x| 1x1， A B x| 1x 2. C 解析： 2011 （ A B） ， 即 2011 A 且 2011 B ，故选 C. B 解析： P x|1 （ 0， 2） ， Q x|x 2| 1 （ 1， 3） ，则 P Q （ 0， 1. 寒假课程 说明 高一数学 4 第二讲 函数的解析式、定义域和值域 一、 例题解析和参考答案 【例 1】 解析：方法一（配凑法） 45)1( 2 4)11(5)11( 2 )( 4)1(5)1( 2 1072 方法二（换 元法） 设 1 ，则 1 于是 4)1(5)1()( 2 1072 即 )( 1072 又例 : 错解分析 ： 14)12( 3)12(2 x ， )( 32 x ， 31 x . 定义域是函数的一个要素，没有 考虑定义域的变化，所求函数出错 解析： 14)12( 3)12(2 x ， 又 31 x ，有 5121 x ， )( 32 x ， 51 x . 再例 : 错解分析 ： 令 于是 a 1， t 0； 10 a ， t 0 将 代入，得 )( )(12 tt a ， )( )(12 xx a （ a 1， x 0； 10 a ， x 0） 在 a 0， a 1， x 0 的条件下， 解析：令 ， 将 代入，得 )( )(12 tt a )( )(12 xx a （ a 0， 0a ， x R ） 【例 2】 解析：由 )1( ， )1( ， )0( 寒假课程 说明 高一数学 5 得 )0()1()1(21)0()1()1(211(f ， )1(f ， )0(f 不能同时等于 1 或 1， 所以所求函数为 ： )( 12 2 x 或 )( 12 2 x 或 )( 12 或 )( 12 )( 12 )( 12 又例 : 解析：设 )( ，则 )1(3 33 ， )1(2 22 ， 由 )1(3 1(2 172 x ，得 1725 比较系数及常数项，得1752 2k ， 7b )( 72 x 再例 : 解析： 依题意，得 2240即220 22)( 2 又由21)2( f，得 2124 4 b b N+， 012 b ，25b b 1 或 b 2 又 2， 故当 b 1 时 ， c 0，不符合题意； 当 b 2 时， c 2 )1(22)(2 【例 3】 解析： )1()(2 将 x 用)()1(2 由 ， 得 又例 ： 解析： 方法一 ：由 )0(f 1， )12()()( 寒假课程 说明 高一数学 6 令 x y ，得 2)()12()()0( ， )( 12 方法二：令 x 0， 得 1)()(1)1()0()( 22 )( 12 【例 4】 解析：这个函数是两项之和，由第一项有：110121 由第二项有： 09 2 x ， 33 x ， 取两者之交集，得所求函数的定义域为 3,2()2,1( 又例 : 解析：（ 1）要使函数 )(意义，必须有010104即114 应填： 4,1()1,1( （ 2）要使函数有意义，必须有 )23(x 0， 1230 x ，即 132 x 应填： 1,32( 再例 ： 解析：这是分段函数，其定义域应是各段函数定义域的并集，应填： 1,( 【例 5】 解析： 由 2 x ， 有 20 得 )(ln 定义域为 ,1 2e 应填： ,1 2e 又例 : 错解分析 ： 由 12 对全体实数都成立，得00m ，即0402 m 的取值范围是 0 m 4故选 A 解析： 由 12 0 对全体实数都成立，得 当 m 0 时， 10，对全体实数都成立； 当 m 0 时，00m ，即 0402 寒假课程 说明 高一数学 7 m 的取值范围是 0m 4故选 B 再例： 解析：由题意知 时， 012)1()1( 22 （ 1）当 012 a 且 01a 时，有 a 1，此时 )( 1， 显然对 时， 012)1()1( 22 （ 2）当 012 a 时，有012)1(4)1(01222解不等式组得 91 a 综上知，当 时，使得 )(意义的 a 的取值范围是 1， 9 【例 6 】 解 析 ： 本 题 中 含 有 二 次 函 数 可 利 用 配 方 法 求 解 ， 为 便 于 计 算 不 妨 设)0)(4)( 2 配方 得 )4,0(4)2()( 2 利用二次函数的相关知识得 4,0)( 从而得出所求函数的值域为 0,2y 又例 ： 解析 ：由绝对值知识及二次函数值域的求法易得 ,042x ， ,2242x ， ,2y 再例 ： 解析 ：观察分子、分母中均含有 2 项，可先变形后再采取分析法 43)21(111111 22222 由 2)21( x0，有43)21( 2 x43， 043)21(12 x34， 3443)21(12 x 0，31143)21(12 x 1， 所求函数的值域为 1,31y 寒假课程 说明 高一数学 8 【例 7】 解析：由题意知 ，把原函数变形为 0)2( 2 当 02y 时，满足题意； 当 02 y 时，因 ，所以 0)(2(42 即 08)2(44 22 31 y ， 1 和 3 是方程 08)2(44 22 两个实根， 由韦达定理解得 22 又例 ： 解析：（ 1）当 a 21时， )(x 22 221 22)21( 2 函数1 在 ,1x 上是增函数， 1 211 ， 2)21( 在 ,1x 上是增函数，于是2)21( 2)211( 223 )( 22)21( 2 22223 27， 所以 )(最小值为27. （ 2） )( 0 即为 20，又 ,1x ， a 2 恒成立 而当 ,1x 时， 22 )1(12 3， a 3 二 、 课后训练 参考答案 1答案： D 解析：由 6 ，知 0x ，令 86 x ，得 212x ， )8( x，故选 D 2答案： D 解析： )8(f )13( )10(f 7，故选 D 3答案 : A 寒假课程 说明 高一数学 9 解析 : )(34 )( 334434x ，整理比较系数得 m 3. 4解析：（ 1）令 21 ，得 3 ，即 3 ， 因此 3|x|0 ，从而 33 x ， 故函数的定义域是 3x3|x （ 2）因为 )(定义域为 0,1 ，即 10 x 故函数 )(定义域为下列不等式组的解集， 1010即 即两个区间 ,1与 ,1的交集，比较两个区间左、右端点，知 （ i）当 021 )(定义域为 1| ； （ 210 )(定义域为 1| ； （ 21述两区间的交集为空集，此时 )(能构成函数 5解析：要使函数有意义，则必须 342 0 恒成立， 因为 )(定义域为 R ，即方程 0342 实根 当 k 0 时，需 03416 2 成立 ，解得430 k； 当 k 0 时，方程变为 3 0 恒无实根 综上 k 的取值范围是430 k 寒假课程 说明 高一数学 10 6解析：（ 1）证明： 2211221 11lo g)()( )11( ； 又 )1111(lo g)1(2121212122121)11( )()( 21 1( 21 21 xx （ 2） )1( )( )(， 又 )( 11 12 )11( bb 11 )( )( 1 )( 1 )( 23 7解析：方法一 : 由于本题的分子、分母均为关于 x 的二次形式，因此可以考虑使用判别式法 将原函数变形为 74232 22 整理得 073)2(2)2( 2 显然 2y ，上式可以看成关于 x 的二次方程， 该方程的 x 范围应该满足 032)( 2 即 此时方程有实根即 0 ， 2,290)73)(2(4)2(2 2 函数32 742 22 xx 2,29 方法二 ： 将函数式变形为32 742 22 xx )1( 132 2 x 2)1( 2 x 2， 02)1( 132 x213， 292)1( 132 2 x 2 寒假课程 说明 高一数学 11 函数32 742 22 xx 2,29 8解析：由于题中含有 不便于计算，但如果令： 13 注意 0t 从而得： )0(321341322 形得 )0(8)1(2 2 即： 4,(y 9 解析： y 1 12 x a x 11 a a (x 1)11 2a 1)11)1( 2 当 x 0 时等号成立 ， 1 10解析：令 ， 1,0u ， 1,0,1 于是，有 122 0u ， )0v ， 且 ，即 ， 由直线方程斜截式纵截距的几何意义， 1y ， 2y 第 三 讲 函数的 基本性质 一 、 例题解析和参考答案 【 例 1】 错解分析 ： （ 1）11)1()(11)1( 2 1)1)(1( 2 显然有 )( )( )(偶函数 . （ 2） 22)12)1( 22 于是 )( )( )( )( )(非奇非偶函数 . 寒假课程 说明 高一数学 12 解析： （ 1） )(定义域为11，即 1 x 1. 定义域不是关于原点对称的数集， )(非奇非偶函数 . （ 2） )(定义域为 01 2 x 且 22 x ，即 1 x 1 且 x 0， 此时 02x . )12)1( 22， )(奇函数 . 又例 : 解析： （ 1） 21 x 0，即 1 x 55 ，1)( ，为奇函数 . （ 2）当 x 0， x 0 时， )( 2 ， )( 22 )()( ， )( )( ； 当 x 0， x 0 时， )( 2 ， )( 22 )()( ， )( )( ； )(奇函数 . （ 3） 33)( 22 定义域为 |3 . 此时函数化为 )( 0， |3 . )(是奇函数又是 偶函数 . 【 例 2】 解析：函数定义域为 R， 又 11161222116)( )(22116141612 . )(偶函数 . 又例： 解析： )( )( )1(1 22 )1(1 22 )1)(1(1 222 11 2 0 )(奇函数 . 再例： 解析： 2x 2a ， 要分 a 0 与 a 0 两类讨论 . （ i）当 a 0 时，由，函数的定义域为 ,0()0, ， 寒假课程 说明 高一数学 13 0， 2)( ， )(奇函数； （ a 0 时，由，函数的定义域为 , 0 0,， 0， 22 ， )(不是奇函数，也不是偶函数 . 【 例 3】 错解分析 ： 设41)23(23)( 22 )23,(为函数 )(单调递减区间； ),23( 为函数 )(单调递增区间 . 又 lo g)23(lo g 为 t 的减函数， )23,(为函数 20 . 7l o g ( 3 2 )y x x 的单调递增区间； ),23( 为函数 20 . 7l o g ( 3 2 )y x x 的单 调递减区间 . 解析：设 23)( 2 由 0232 函数的定义域为 ),2()1,( ， 区间 )1,( 和 ),2( 分别为函数 23)( 2 单调递减区间和单调递增区间 . 又 根据复合函数的单调性的规则， 得区间 )1,( 和 ),2( 分别为函数 单调递增区间和单调递减区间 . 又例： 解析：在定义域内任取 1x 2x ， )()( 21 12x a x ax b x b )( )(2121 ， a b 0， b a 0， 1x 2x 0， 只有当 1x 2x b 或 b 1x 2x 时函数才单调 . 当 1x 2x b 或 b 1x 2x 时 )()( 21 0. （ b ，）和（， b ）都是函数 )(单调减函数区间 . 寒假课程 说明 高一数学 14 【 例 4】 解析：（ 1）依题意，对一切 ，有 ( ) ( )f x f x ，即 1 e a e . 11( )( )0 对一切 成立， 则 1 0，即 1a . 0a ， 1a . （ 2）设120 ，则12121211( ) ( ) x f x e e 212 1 1 2 11 2 2 111( ) ( 1 ) ( 1 ) x x x xx x x e e ， 由1 2 2 10 , 0 , 0x x x x ，得 2112 0 , 1 0e ， 2110， 12( ) ( ) 0f x f x， 即12( ) ( )f x f x， )( (0, ) 上为增函数 . 又例： 解析： )( R 上的偶函数且在 ),0 上为减函数 . 由 )12()2( 2 有 |12|2| 2 即222)12(202解得 a 1 或 a 2. 再例： 解析：由二次函数 )(二次项系数为正，知函数的图象为开口向上的抛物线， 由 )2( )2( ， 知 x 2 为对称轴， 于是有结论：距对称轴较近的点的纵坐标较小 . 221221 22 即 22 )1(12 22 )1(12 2 x 0. 【 例 5】 解析：在 R 上任取 1x 、 2x ，设 1x 2x ， )( 1 )( 2 ,)()(11) ()()(1)()(1)()()(2112112212 寒假课程 说明 高一数学 15 )( R 上的增函数，且 )5(f 1， 当 x 5 时 0 )( 1， 而 当 x 5 时 )( 1； 若 1x 2x 5，则 0 )( 1 )( 2 1， 0 )( 1( 2 1， )()( 11 21 0， )( 2 )( 1； 若 2x 1x 5，则 )( 2 )( 1 1 ， )( 1( 2 1, )()( 11 21 0， )( 2 )( 1 综上， )(（ ， 5）为减函数，在（ 5， ）为增函数 . 又例： 解析： （ ）设 21 ，则 )()()()(1)()()()(1)()()()(211221211212所以函数 )(奇函数 . （ ）令 21 2 ， ，则)2()( 1)()2()( 即)2(1 1)2(1 ，解得： )2( 0. 于是有 )()2( 1)2()()2( )(1)()2( 1)2()( . 所以)()(11)2(1)4( . 因此，函数 )(周期函数，并且有一个周期为 4a . 【 例 6】 解析： 方法一 ： 显然 m 0，由于 函数 )(在 ),1 x 上是增函数， 寒假课程 说明 高一数学 16 则当 m 0 时， 0)()( 恒成立，因此 m 0. 当 m 0 时，函数 )()()( 在 ),1 x 上 是减函数， 因此，当 1x 时， )(得最大值)1( ， 故 0)()()( 成立等价于 )( ),1 x 上的最大值小于零， 即 01)1( 001m 得 m 1. 于是实数 m 的取值范围是 )1,( . 方法 二 ： 显然 m 0，由于 函数 )(在 ),1 x 上是增函数， 则当 m 0 时， 0)()( 恒成立，因此 m 0. 若 1)()(mx 2 0 恒成立， 因为 ),1 x ， m 0，则需 222 12 0 恒成立 ， 设函数 222 12)( ，则 )( ),1 x 时为增函数， 于是 1x 时， )(得最小值 1)1( 2 解 0012得 m 1. 于是实数 m 的取值范围是 )1,( . 方法 三 ： 显然 m 0，由于 函数 )(在 ),1 x 上是增函数， 则当 m 0 时， 0)()( 恒成立，因此 m 0. 因为 对任意 ),1 x ， 0)()( 成立， 所以对 1x ，不等式 0)()( 成立， 于是 0)1()( 即 01 寒假课程 说明 高一数学 17 解 001m 得 m 1. 于是实数 m 的取值范围是 )1,( . 又例 ： 解析 ： （ 1）当 0a 时， 2)( 为偶函数； 当 0a 时， )(不是奇函数也不是偶函数 . （ 2） 设 212 22212121 )()( 12 1 2 1 212 ( ) xx x x x x 由 212 得 16)( 2121 又 021 021 要使 )(区间 ),2 上 是增函数 ， 只需 0)()( 21 即 0)( 2121 成立， 解得 16a . 二 、 课后训练 参考答案 A A B 解析 ： 由条件 222 22 222 22 即 222 22 由此解得 22 g ， 222 所以 2a ， 415222 22 f，所以选 B. D A D 解析： 由 函数 )8( 偶函数知 )( 的图像关于直线 8x 对称，又函数 )( ),8( 上为减函数知 )( 在 )8,( 上是增函数，由而可以比较大小 . 1 寒假课程 说明 高一数学 18 解析： )(12 为奇函数， )0(f 0，故 a 1. 26 ),21( 由 0x ，知 0x， 因为 12)12(212212)()(0 所以 )(偶函数 . ）令 )1()1()11(,121 有 ， ( f （ ） 令121, ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) , ( 1 ) 0f f f f 有 解 得令 ).()(),()1()(,1 21 有 )(偶函数 . （ ） ()16()416(,2)4()4()44( )64()62)(13(3)62()13( 即 （ 1） )( ),0( 上是增函数， （ 1）等价于不等式组：2)(13(,0)62)(13(,64)62)(13(,0)62)(13( 解得331,537,313或或 或 x 的取值范围为 7 1 1 | 3 3 5 3x x x x 或 或 寒假课程 说明 高一数学 19 第 四 讲 基本初等函数 一 、 例题解析和参考答案 【例 1】 解析 ： 0 ，其他各数都大于零，故 最小； 又 10 1， 100 2， 1 15 25 2 32 8， 对于 2153 与 3153 ，首先，它们都属于区间（ 0,1），且是同底的幂， 考虑函数 y x53 为减函数， 2153 3153 . 于是有 331212 o g . 又例 : 解析：（ 1） 1， 0 1， 0 ， （ 2） g g ，g g . 又函数 y 函数， 0 再例 ：解析： 0 b1 a1 1， 又函数 y ( 为 减函数， y （ 0,1）上为增函数， ，故选 D. 【例 2】 解析： y 2)1( 2 2)1( 2 u ， 又 11 x ， 当 a 1 时， ,1 1u ， 2)1( 2 u 为 u 的增函数 . 函数的最大值为 )(531214 2 舍或 当 0 a 1 时， 1, 1u ， 2)1( 2 u 为 u 的增函数 . 函数的最大值为 舍）或 (5131112114 2 寒假课程 说明 高一数学 20 综上得， 331 . 又例 ：解析：（ 1） 由 032 2 得 )(定义域为 )3,1( ， 记 u 232 （ x 1） 2 4，对称轴为 x 1. )(增区间为（ 1， 1】，减为区间【 1， 3） . （ 2） u （ x 1） 2 44， 当 x 1 时有最大值 y 1. 【例 3】 解析：由 0311 12 x ，得 131 12 x ， 即 012 )31(31 x ， 由 x)31(为减函数， 012 x . 又例 ： 解析： 由 132a，即 ， 当 a 时， 是 32a， a . 当 a 时， 是 32a， a 32. 综上可知 a 的取值范围是 a 或 a 32. 再例 ：解析：由0)1)(2(lo g 2221 2 )(2 0，即 0122 21 21 舍去） . 当 a b 时 , )21( 当 a b 时，)21( 当 a b 时，不等式无解 . 【例 4】 解析：由 022 得 20 x ， 而函