自然数引发思考论文-

自然数引发思考论文 随着九年义务教育小学数学教材（试用修订版） ，把 0 划归自然数后，一些数的概念是否发生变化， 引起小学了数学教师的关注。无论是在日常的教研 活动，还是教师私下交流，或是因特网上的教育论 坛，都有许多教师提出疑问，引发了大家的思考。 思考之一：为什么要把 0 划归自然数。 从历史上看，国内外数学界对于 0 是不是自然 数历来有两种观点：一种认为 0 是自然数，另一种 认为 0 不是自然数。建国以来，我国的中小学教材 一直规定自然数不包括 0。目前，国外的数学界大 部分都规定 0 是自然数。为了方便于国际交流， 1993 年颁布的中华人民共和国国家标准 （GB3100-3102-93） 量和单位 （11-2.9）第 311 页，规定自然数包括 0。所以在近几年进行的中小 学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国 家标准进行了修改。即一个物体也没有，用 0 表示。 0 也是自然数。 思考之二：最小的一位数是“1”还是“0”？ 0 是最小的自然数，那么最小的一位数是 “1”还是“0”？在 0 没有归入自然数以前大家都 很清楚，最小的一位数是 1。那么，现在 0 也成为 自然数了，最小的一位数还是 1 吗？这是许多教师 提出的疑问，笔者认为最小的一位数还是 1。 因为，0 表示一个物体也没有，在记数法中是 表示空位的一个符号，如 3005 里“0”就分别表示 这个数的十位、百位、都是空位。这次调整虽然将 “0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。 关于“几位数”是这样定义的“只用一个有效数字 表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中 左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位 数”假设 0 也算作一位数的话，那么最小的两 位数是“10”还是“00”呢？那么最小的三位数、 四位数又是多少呢？ 九年义务教育六年制小学数学第八册教师教 学用书第 98 页“关于几位数”是这样叙述的： “通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位 数。例如，2，含有一个数位的数，叫做一位数； 30 含有两个数位的数，叫做两位数；405 含有三个 数位的数，叫做三位数但是要注意：一般不说 0 是几位数。 所谓最大的几位数，最小的几位数，通常也是 在非零自然数有范围来说。所以，最大一位数是 9，最小一位数是 1；最大两位数是 99，最小两位 数是 10；最大三位数是 999，最小三位数是 100” 综上所述， “0”虽然是最小的自然数，但仍然 不能称为“一位数” ，更不能称为最小的一位数。 思考之三：自然数的计数单位还是“1”吗？ 大家都知道，0 是自然数中最小的一个。0 加 1 得 1，1 加 1 得 2，2 加 1 得 3，这样继续下 去可以得到任意一个自然数。而从自然数的排列顺 序可知，后面一个自然数比前面一个自然数多 1。 因此，任何一个自然数都是由若干个 1 合并而成， 所以 1 是自然数的单位。0 可以看成是由 0 个 1 组 成的自然数。 思考之四：0 是其它非零自然数的倍数吗？ 九年义务教育六年制小学数学第十册中， 关于“数的整除”及“约数和倍数”的定义并未做 任何改变，教材第 54 页就有这样的叙述：“因为 0 也能被 2 整除，所以 0 也是偶数” 。以此类推，0 能被所有非零自然数整除，根据约数倍数的定义， 0 是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是 0 的约数。但考虑到研究分解质因数、最大公约数、 最小公倍数时，一般限于非零自然数范围内，如讲 最小公倍数时，是把 0 排除在外的。为此， 九年 义务教育六年制小学数学第十册 50 页明确指出： “为了方便，以后在研究约数和倍数时，我们所说 的数一般不包括 0”。这样就避免了一些不必要的 麻烦。但过去的一些说法就必须加以纠正了。例如： “一个自然数的最小倍数是它本身” 、 “自然数的约 数的个数是有限的”等，这样的结论必须纠正。 思考之五：0 是不是合数？ 过去，在教学中，关于自然数的组成，有两种 情况：一是所有奇数和所有的偶数组成自然数集合； 二是所有的质数与所有的合数及 1 也组成自然数集 合。现在 0 也成为了自然数集合的一员，因而有许 多教师提出这样的问题：0 是不是合数？ 前面已经谈过了，以后“在研究约数和倍数时， 我们所说的数一般不包括 0”，但作为一种学术研 究，进行探讨也未尝不可。笔者以为，0 的约数有 无数个，根据九年义务教育六年制小学数学第 十册中关于合数的定义：“一个数，如果除了 1 和 它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。 ”似乎 应该把 0 划归为合数范围，但仔细一想 0 是个特殊 的自然数，因为所有非零自然数都有“本身”这个 约数，如，1 是 1 的约数，2 也是 2 的约数， 而 0 这个自然数恰恰少了“本身”这个约数，因此， 也不能归为合数。试想：假设如果 0 是合数，那么 它能用质因数相乘的形式表现出来吗？这就与“每 个合数都可以写成几个质数相乘的形式”产生了矛 盾。所以，我主张把 0 划归为“既不质数，也不是 合数”范围。当然了，这需要权威机构和专家们的 认定。但我认为，目前在没有明确 0 是不是合数的 情况下，还是以回避为好。 思考之六：“任何相邻的两个自然数是互质数” 对吗？ 0 没有成为自然数时，这一结论毫无疑问是正 确的。现在 0 也是自然数，我们只要研究“0 和 1”这两个相邻的自然数是不是质数，就行了。根 据九年义务教育六年制小学数学第十册中关于 互质数的定义：“公约数只有 1 的两个数，叫做互 质数。 ”笔者认为，0 的约数有无数个，而 1 的约 数只有一个，那就是它本身。综上所述，0 和 1 的 公约数只有“1” ，因此，0 和 1 是互质数。自然， “任何相邻的两个自然数是互质数”这个结论也是 正确的。 随着九年义务教育小学数学教材（试用修订版） ，把 0 划归自然数后，一些数的概念是否发生变化， 引起小学了数学教师的关注。无论是在日常的教研 活动，还是教师私下交流，或是因特网上的教育论 坛，都有许多教师提出疑问，引发了大家的思考。 思考之一：为什么要把 0 划归自然数。 从历史上看，国内外数学界对于 0 是不是自然 数历来有两种观点：一种认为 0 是自然数，另一种 认为 0 不是自然数。建国以来，我国的中小学教材 一直规定自然数不包括 0。目前，国外的数学界大 部分都规定 0 是自然数。为了方便于国际交流， 1993 年颁布的中华人民共和国国家标准 （GB3100-3102-93） 量和单位 （11-2.9）第 311 页，规定自然数包括 0。所以在近几年进行的中小 学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国 家标准进行了修改。即一个物体也没有，用 0 表示。 0 也是自然数。 思考之二：最小的一位数是“1”还是“0”？ 0 是最小的自然数，那么最小的一位数是 “1”还是“0”？在 0 没有归入自然数以前大家都 很清楚，最小的一位数是 1。那么，现在 0 也成为 自然数了，最小的一位数还是 1 吗？这是许多教师 提出的疑问，笔者认为最小的一位数还是 1。 因为，0 表示一个物体也没有，在记数法中是 表示空位的一个符号，如 3005 里“0”就分别表示 这个数的十位、百位、都是空位。这次调整虽然将 “0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。 关于“几位数”是这样定义的“只用一个有效数字 表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中 左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位 数”假设 0 也算作一位数的话，那么最小的两 位数是“10”还是“00”呢？那么最小的三位数、 四位数又是多少呢？ 九年义务教育六年制小学数学第八册教师教 学用书第 98 页“关于几位数”是这样叙述的： “通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位 数。例如，2，含有一个数位的数，叫做一位数； 30 含有两个数位的数，叫做两位数；405 含有三个 数位的数，叫做三位数但是要注意：一般不说 0 是几位数。 所谓最大的几位数，最小的几位数，通常也是 在非零自然数有范围来说。所以，最大一位数是 9，最小一位数是 1；最大两位数是 99，最小两位 数是 10；最大三位数是 999，最小三位数是 100” 综上所述， “0”虽然是最小的自然数，但仍然 不能称为“一位数” ，更不能称为最小的一位数。 思考之三：自然数的计数单位还是“1”吗？ 大家都知道，0 是自然数中最小的一个。0 加 1 得 1，1 加 1 得 2，2 加 1 得 3，这样继续下 去可以得到任意一个自然数。而从自然数的排列顺 序可知，后面一个自然数比前面一个自然数多 1。 因此，任何一个自然数都是由若干个 1 合并而成， 所以 1 是自然数的单位。0 可以看成是由 0 个 1 组 成的自然数。 思考之四：0 是其它非零自然数的倍数吗？ 九年义务教育六年制小学数学第十册中， 关于“数的整除”及“约数和倍数”的定义并未做 任何改变，教材第 54 页就有这样的叙述：“因为 0 也能被 2 整除，所以 0 也是偶数” 。以此类推，0 能被所有非零自然数整除，根据约数倍数的定义， 0 是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是 0 的约数。但考虑到研究分解质因数、最大公约数、 最小公倍数时，一般限于非零自然数范围内，如讲 最小公倍数时，是把 0 排除在外的。为此， 九年 义务教育六年制小学数学第十册 50 页明确指出： “为了方便，以后在研究约数和倍数时，我们所说 的数一般不包括 0”。这样就避免了一些不必要的 麻烦。但过去的一些说法就必须加以纠正了。例如： “一个自然数的最小倍数是它本身” 、 “自然数的约 数的个数是有限的”等，这样的结论必须纠正。 思考之五：0 是不是合数？ 过去，在教学中，关于自然数的组成，有两种 情况：一是所有奇数和所有的偶数组成自然数集合； 二是所有的质数与所有的合数及 1 也组成自然数集 合。现在 0 也成为了自然数集合的一员，因而有许 多教师提出这样的问题：0 是不是合数？ 前面已经谈过了，以后“在研究约数和倍数时， 我们所说的数一般不包括 0”，但作为一种学术研 究，进行探讨也未尝不可。笔者以为，0 的约数有 无数个，根据九年义务教育六年制小学数学第 十册中关于合数的定义：“一个数，如果除了 1 和 它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。 ”似乎 应该把 0 划归为合数范围，但仔细一想 0 是个特殊 的自然数，因为所有非零自然数都有“本身”这个 约数，如，1 是 1 的约数，2 也是 2 的约数， 而 0 这个自然数恰恰少了“本身”这个约数，因此， 也不能归为合数。试想：假设如果 0 是合数，那么 它能用质因数相乘的形式表现出来吗？这就与“每 个合数都可以写成几个质数相乘的形式”产生了矛 盾。所以，我主张把 0 划归为“既不质数，也不是 合数”范围。当然了，这需要权威机构和专家们的 认定。但我认为，目前在没有明确 0 是不是合数的 情况下，还是以回避为好。 思考之六：“任何相邻的两个自然数是互质数” 对吗？ 0 没有成为自然数时，这一结论毫无疑问是正 确的。现在 0 也是自然数，我们只要研究“0 和 1”这两个相邻的自然数是不是质数，就行了。根 据九年义务教育六年制小学数学第十册中关于 互质数的定义：“公约数只有 1 的两个数，叫做互 质数。 ”笔者认为，0 的约数有无数个，而 1 的约 数只有一个，那就是它本身。综上所述，0 和 1 的 公约数只有“1” ，因此，0 和 1 是互质数。自然， “任何相邻的两个自然数是互质数”这个结论也是 正确的。 随着九年义务教育小学数学教材（试用修订版） ，把 0 划归自然数后，一些数的概念是否发生变化， 引起小学了数学教师的关注。无论是在日常的教研 活动，还是教师私下交流，或是因特网上的教育论 坛，都有许多教师提出疑问，引发了大家的思考。 思考之一：为什么要把 0 划归自然数。 从历史上看，国内外数学界对于 0 是不是自然 数历来有两种观点：一种认为 0 是自然数，另一种 认为 0 不是自然数。建国以来，我国的中小学教材 一直规定自然数不包括 0。目前，国外的数学界大 部分都规定 0 是自然数。为了方便于国际交流， 1993 年颁布的中华人民共和国国家标准 （GB3100-3102-93） 量和单位 （11-2.9）第 311 页，规定自然数包括 0。所以在近几年进行的中小 学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国 家标准进行了修改。即一个物体也没有，用 0 表示。 0 也是自然数。 思考之二：最小的一位数是“1”还是“0”？ 0 是最小的自然数，那么最小的一位数是 “1”还是“0”？在 0 没有归入自然数以前大家都 很清楚，最小的一位数是 1。那么，现在 0 也成为 自然数了，最小的一位数还是 1 吗？这是许多教师 提出的疑问，笔者认为最小的一位数还是 1。 因为，0 表示一个物体也没有，在记数法中是 表示空位的一个符号，如 3005 里“0”就分别表示 这个数的十位、百位、都是空位。这次调整虽然将 “0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。 关于“几位数”是这样定义的“只用一个有效数字 表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中 左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位 数”假设 0 也算作一位数的话，那么最小的两 位数是“10”还是“00”呢？那么最小的三位数、 四位数又是多少呢？ 九年义务教育六年制小学数学第八册教师教 学用书第 98 页“关于几位数”是这样叙述的： “通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位 数。例如，2，含有一个数位的数，叫做一位数； 30 含有两个数位的数，叫做两位数；405 含有三个 数位的数，叫做三位数但是要注意：一般不说 0 是几位数。 所谓最大的几位数，最小的几位数，通常也是 在非零自然数有范围来说。所以，最大一位数是 9，最小一位数是 1；最大两位数是 99，最小两位 数是 10；最大三位数是 999，最小三位数是 100” 综上所述， “0”虽然是最小的自然数，但仍然 不能称为“一位数” ，更不能称为最小的一位数。 思考之三：自然数的计数单位还是“1”吗？ 大家都知道，0 是自然数中最小的一个。0 加 1 得 1，1 加 1 得 2，2 加 1 得 3，这样继续下 去可以得到任意一个自然数。而从自然数的排列顺 序可知，后面一个自然数比前面一个自然数多 1。 因此，任何一个自然数都是由若干个 1 合并而成， 所以 1 是自然数的单位。0 可以看成是由 0 个 1 组 成的自然数。 思考之四：0 是其它非零自然数的倍数吗？ 九年义务教育六年制小学数学第十册中， 关于“数的整除”及“约数和倍数”的定义并未做 任何改变，教材第 54 页就有这样的叙述：“因为 0 也能被 2 整除，所以 0 也是偶数” 。以此类推，0 能被所有非零自然数整除，根据约数倍数的定义， 0 是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是 0 的约数。但考虑到研究分解质因数、最大公约数、 最小公倍数时，一般限于非零自然数范围内，如讲 最小公倍数时，是把 0 排除在外的。为此， 九年 义务教育六年制小学数学第十册 50 页明确指出： “为了方便，以后在研究约数和倍数时，我们所说 的数一般不包括 0”。这样就避免了一些不必要的 麻烦。但过去的一些说法就必须加以纠正了。例如： “一个自然数的最小倍数是它本身” 、 “自然数的约 数的个数是有限的”等，这样的结论必须纠正。 思考之五：0 是不是合数？ 过去，在教学中，关于自然数的组成，有两种 情况：一是所有奇数和所有的偶数组成自然数集合；