声与振动基础

声与振动基础 主要内容 第一章 绪论 第二章 声波的基本性质及传播特性 第一章 绪论 声学是物理学的一个 分支 ， 是自然科学中最古老的学科之一 ; 声学是一门发展的 、 具有广泛应用性的学科 ，涉及到人类生产 、 生活及社会活动的各个方面 ，具有很大的 “ 外延性 ” ， 即边缘学科的特点 。 声学是一门研究声波的产生 、 传播 、 接收以及与物质相互作用的科学 。 声是一种机械扰动在气态 、 液态 、 固态物质中传播的现象 。 声学研究的范畴非常广 ， 分支很多： 图 1声学分支与其他学科的关系 20020,;而膨胀时压强和密度都降低，即 则说明波沿正 果 x 0 ，这就说明（ 2表征了沿 （ 2） 任一时刻 ， 具有相同相位 0 的质点轨迹是一个平面 ， 这只要令 0 ， 即可解得： c o n s 00这就是说，这种声波传播过程中，等相位面是平面，所以通常称为平面波。 （ 3）由（ 2可得： 0可见 表单位时间内波阵面传播的距离，也就是声传播速度。 总之，以（ 2及（ 2描述的声场是一个波阵面为平面，沿正 0 传播的平面行波，同时容易看出，平面声波在均匀的理想媒质中传播时，声压幅值 质点速度振幅 是不随距离改变的常数，也即说明声波在传播过程中不会有任何衰减。 此外，应指出，平面声场中任何位置处，声压和质点速度都是同相位的。 二、声波传播速度 对理想气体中的小振幅声波，我们已经求得其声速为： 0020 例如，对于空气： =在标准大气压 温度为 0 时， 0 = 则 331.6 m/s 因为声速 媒质平衡状态的参数有关，所以温度的变化必然引起声速的变化。若考虑温度因素时，对理想气体由卡拉伯龙公式： 气体摩尔量 ， R 气体常数 因此声速的定义式可改写为 0000 (2由此可见，声速与无声扰动时媒质平衡状态的绝对温度 采用摄氏温标 t ，因为 273+t，则温度为 t 的声速为： 00 (2式中 o 100 将此值代入上式得： o (m/s) (2由此算得 20 时的声速为 344m/s。 三、 声阻抗率与媒质特性阻抗 声阻抗率的定义： 声场中某位置的声压与该位置的质点速度的比值为该位置的声阻抗率，即： 声场中某位置的声阻抗率 般来说可能是复数，像电阻抗一样，其实数部分反映了能量的损耗。 (2根据声阻抗率的定义（ 2，对平面声波情况，应用（ 2（ 2，可求得平面前进声波的声阻抗率为： 00 (2 对沿负 过类似的讨论可求得 : 00 (2由此可见，在平面声场中，各位置的声阻抗率数值上都相同，且为一实数。这反映了在平面声场中各位置上都无能量的贮存，在前一个位置上的能量可以完全地传播到后一个位置上去。 第五节 声场中的能量关系 声波传到原先静止的媒质中，一方面使媒质质点在平衡位置附近来回振动，同时在媒质中产生了压缩和膨胀的过程。前者使媒质具有了振动能量，后者使媒质具有了形变位能，两部分之和就是由于声扰动使媒质得到的声能量。扰动的传播，声能量也就跟着转移，因此可以说声波的过程实质上就是声振动能量的传播过程 一、 声能量与声能量密度 设想在声场中取一足够小的体积元 ， 其原先的体积为 强为 密度为 0 ， 由于声扰动使该体积元得到的动能为 20021 k （ 2 此外，由于声扰动，该体积元压强从 0 +，于是该体积元具有了位能。 （ 2 pp p d 式中负号表示在体积元内压强和体积的变化方向相反，压强增加时体积将缩小，此时外力对体积元作功，使它的位能增加，即压缩过程使系统贮存能量，反之，当体积元对外作功时，体积元的位能就会减小，也即膨胀过程使系统释放能量。 因为媒质体积的变化与压强的变化是互相联系的，这由状态方程（ 2所描述，对其微分可得 考虑到体积元在压缩和膨胀过程中质量保持一定，则体积元体积的变化和密度的变化之间存在着关系 0 （ 2 0 对小振幅声波，则可简化成 00 将其带入（ 2， 由此解出 2，再对 20000200022 体积元的总能量为动能与位能之和，即 22020200 12（ 2 单位体积的声能量称为声能量密度 ，即 22020201210 （ 2 尽管上式是以平面波为例而导出的，但因推导过程并未对声场作任何特殊限制，因而该式 即适用于平面声波，也适用于球面波及其他类型声波的普遍表达式。 将平面行波的声压（ 2及（ 2取实部后带入（ 2，即可得到 220020202022020200 c o sc o sc o 2 由此可看出，平面声场中任何位置上动能与位能的变化是同相位的，动能达到最大值时位能也达到最大值。 （ 2代表体积元内声能量的瞬时值，如果将 它对一个周期取平均，则得到声能量的时间平均值。 200200 211d 单位体积中的平均声能量称为平均声能量密度，即 200220020 2 式中 为有效声压。因为在理想媒质平面声场中，声压幅值是不随距离改变的常数，所以平均声能量密度处处相等，这是理想媒质中平面声场的又一特征。 2(2二、 声功率与声强 平均声能量流的单位为 W（瓦） 单位时间内通过垂直于声传播方向的面积 因为声能量是以声速 此平均声能量流应等于声场中面积为 S、高度为 (2通过垂直于声传播方向的单位面积上的平均声能流就称为 平均声能量流密度或称为声强 ，即 20(2根据声强的定义，它还可用单位时间内、单位面积的声波向前进方向毗邻媒质所作的功来表示，因此也可写成 式中 强的单位为 W/ 对沿正 论将（ 2代入（ 2或是将（ 2代入（ 2，都可以得到 eT e01 (2212122002000202002(2对沿负 求得 这时声强是负值，它表明声能量向负 此可见，声强是有方向的量，它的指向就是声传播的方向。 由（ 2（ 2可见， 声强与声压幅值或质点速度幅值的平方成正比。此外在相同质点速度幅值的情况下，声强还与媒质的特性阻抗成正比。 例如在空气和水中有两列相同频率、相同速度幅值的平面声波，这时水中的声强要比空气中的声强约大 3600倍。 可见，在特性阻抗较大的媒质中，声源只需用较小的振动速度就可以发射出较大的能量，从声辐射的角度看这是很有利的。 2000020 212 aa (2第六节 声波的反射、折射与透射 前面讨论了平面声波在无限空间中自由传播的规律 ， 然而声波在传播路径上常会迁到各种各样的 “ 障碍物 ” 。 例如 ， 声波从一种媒质进入另一种媒质时 ， 后者对前一种媒质所传播的声波就是一种障碍物 。 当声波在前进过程中遇到障碍物将会产生反射 、 折射与透射等现象 。 一、 声学边界条件 声波的反射、折射及透射都是在两种媒质的分界面处发生的。因此首先要讨论在分界面存在些什么声学特性和规律，即声学的边界条件是什么。 设有两种都延伸到无限远的理想流体，其特性阻抗分别为 12下图所示那样互相接触 12（ 1） P（ 2） 图 2想在分界面上割出一块面积为 s，厚度足够薄的质量元，其左右两个界面分别位于两种媒质里，其质量设为M ，如果在分界面附近两种媒质里的压强分别为 P(1)和 P(2) ，它们的压强差就引起质量元的运动，按牛顿第二定律，其运动方程为 )2()1(因为分界面是无限薄的，即这个质量元的厚度乃至质量 是趋近于零的，而质量元的加速度不可能趋于无穷大，所以要上式成立就必须存在 0)2()1( 2(2对有无声波的情况都成立，当无声波存在时，该式给出两媒质中的静压强在分界面处是连续的。 当有声波存在时，考虑到 )2()1( 00 10 )1()1( 202 )2()2( ， 则有 21 (2(2即两种媒质中的声压在分界面处是连续的。 此外，如果分界面两边的媒质由于声扰动得到的法向速度（垂直于分界面的速度）分别为 和 ，因为两种媒质保持恒定接触，所以两种媒质在分界面处的法向速度相等，即 21 (2（ 2与（ 2就是媒质分界面处的声学边界条件。 二、 平面声波垂直入射时的反射和透射 12i r 0 x 下面分别求解媒质 和媒质 中的声场。 在媒质 中求解一维声波方程（ 2得声压 形式为 11 (2图 2 (2一项代表沿 就是原来已知的入射波 所以这里的常数 第二项代表向负 实际代表了入射波遇到分界面以后在媒质 中产生的反射波，记为 即有 因此（ 2可改写为 11 (2即媒质 中的声场为入射波与反射波之和。 媒质 中的声场 的一般解形式上仍为（ 2，但由于媒质 无限延伸，不会出现负 以这里只需保留（ 2中的第一项，它实际上代表了透入媒质 的透射波，记为 ，即得 运用速度方程可求出两种媒质中质点速度 (2 （ 2 2 式中， 11111 22 下面通过声学边界条件来确定反射、透射的大小。据声学边界条件知，在 x=0的分界面处应有声压连续及法向质点速度连续 0201 xx 0201 xx 2 将式（ 2（ 2代入（ 2得到 （ 2 联合 （ 2式及 （ 2式即可求得在分界面上反射波声压与入射波声压之比 反射波质点速度与入射波质点速度之比 分别为： 1112121212i 121212122212211122 （ 2 式中 111 222 1212 2121 由此可见，声波在分界面上反射与透射的大小仅决定于媒质的特性阻抗，这再次说明媒质的特性阻抗对声传播有着重要的影响。下面分几种情况讨论： 1、 2（ ） 由（ 2代入得 rp= tp= 这表明声波没有反射，即全部透射，也就是说即使存在着两种不同媒质的分界面，但只要两种媒质的特性阻抗相等，那么对声的传播来说分界面就好像不存在一样。 2、 1（ 1） 由（ 2得 , 因为 1， 媒质 比媒质 在声学性质上更“ 硬 ” 。 这种边界称为 硬边界 ， 在硬边界附近 ， 当入射波质点速度 指向边界面使这里的媒质 呈压缩相时 ， 入射波的质点速度在碰到分界面时好像弹性碰撞一样 ， 变成一个反向的速度 ， 结果反射波的质点速度 也使这里的媒质 呈现压缩相 ， 所以在硬边界面上 ， 反射波质点速度与入射波质点速度相位改变 180 ， 反射波声压与入射波声压同相位 。 3、 ,1（ 1） 由（ 2得 , -1 2 , 0 因为 质 比媒质 说来十分“坚硬”，入射质点速度 v ， 所以反射波的质点速度 v r 与入射波的质点速度 v 位相反，结果在分界面上合成质点速度为零，而反射波声压与入射波声压大小相等，相位相同，所以在分界面上的合成声压为入射声压得两倍。 实际上这时发生的是全反射，在媒质 中入射波与反射波叠加形成了驻波，分界面处恰是速度波节和声压波腹。至于在媒质 中，这时并没有声波传播，媒质 的质点并未因媒质 质点的冲击而运动 ( 0 )，媒质 中存在的压强也只是分界面处的压强静态传递，并不是疏密交替的声压。 下面讨论声波通过分界面时的能量关系。因为反射波与透射波都仍是平面波，应用 (2可求得反射波声强与入射波声强大小之比即声强反射系数 透射波强度与入射波声强之比即声强透射系数 21212212121121121122 2121222121112222)1(4)(4122 (2(2从 (2可以看出，因为公式中 1 是对称的，所以声波不论从媒质 入射到媒质 或者相反，声强反射系数都是相等的。 三、 平面声波斜入射时的反射与折射 为了处理方便，我们把分界面的坐标取为 x=0如左 图 2有一入射平面波，其行进方向与分界面的法线即 ，因为波的行进方向不再向前面一节那样是恰好沿着 轴的，所以现在的入射平面也不能写成像(2那样简单的形式。 t y 0 x r i 图 2们知道，当平面声波的传播方向也就是波阵面的法线方向与 x 轴相一致时，平面波的表达式为 )( (2这时同一波阵面上不同位置的点 (x,y,z )因为有相同的x 坐标 ， 因此声压的振幅和相位均相同 ， 即这些位置上的声压都以上式描述 ， 式中的 值实际上代表的是位置矢量 在波阵面法线方向 (这里恰巧为 轴 )上的投影 。 如下页 2a)。 如果设想一列沿空间任意方向行进的平面波 ， 也会发现 ， 那时波阵面上的不同位置也因为位置矢量在波阵面法线方向上的投影相等而具有相同的声压 。 见下页 图 2b)。 所以我们可以把上式中 一般化地理解为声场某点的位置矢量 在波阵面法线上的投影 ， 它等于波阵面法线的单位矢量n= 与位置矢量 r=xi+yj+ 标量积 ， 即 x=n r , 图 a z z 0 x r y x y (x ,y , z) n z 0 x r y x y 图 b (x ,y , z) 图 2,为波阵面法线与 x,y,该法线的方向余弦 。 只是在此情况下的法线方向与 x 轴 重合 ， 所以有 =0o,= =90o。于是可以将上式更一般地推广到三维空间而写成 )( k n 如果令 ，它代表波阵面法线方向上长度为 为 波矢量 (简称波矢 )。则上式成为 )( 此式即为沿空间任意方向行进的平面波的表达式，其中 为 c o sc o sc o s (2所以 (2也可写成 )c o sc o sc o s( 根据上式 ， 只要知道平面波传播方向的方向余弦 就可以计算空间一点 (x ,y ,z) 的声压 。 由声压 P ，应用速度式即可求得空间任意一点(x ,y ,z )的质点速度沿三个坐标的分量 o o o （ 2 （ 2 再回到斜入射问题（ 图 2当有一列行进方向仍在 面内，但与 据刚才的讨论，对该入射平面波有 = i,=90o - i, =90o，所以按 (2及 (2，声压 及质点速度沿 方向的分量分别为： s i nc os(c o (2式中 ，反射波的行进方向仍在 与x 轴有一夹角，设为 =如图所示，显然有 =90o - r, =90o ，所以反射波声压及质点速度沿 x 方向的分量可表示为 11 / c s i nc os(c o （ 2 因此，媒质 中的声场就为入射波与反射波之和 )s i nc 1)s i nc 11)s i nc s i nc 11111111c o sc o （ 2 在媒质 中就简单地只有一列折射波，设折射波前进方向与 t ，则 = t,=90=90 o ，所以折射波声压及质点速度沿 方向的分量分别可表示为 s i nc o s(c o （ 2 现在的问题就是应用 x=0 处的声学边界条件确定反射波、折射波的大小及方向。 根据 (2及 (2，在分界面处应满足声压及法向质点速度连续，即 x=0处有 将 (2及 (2代入上式即得 s i i i i ns i ns i o sc o sc o s(2要使 (2对 x=0平面上任意 y 值都成立，必要条件是各项的指数因子相等，即 s i ns i ns i n 211 由此解得 2112s i ns i (2这就是著名的 斯奈尔声波反射与折射定律 ， 它说明声波遇到分界面时 ， 反射角等于入射角 ， 而折射角的大小与两种媒质中声速之比有关 ， 媒质 的声速越大 ，则折射波偏离分界面法线的角度越大 。 考虑到 (2，则 (2可简化为 (2由此解得分界面上反射波声压与入声波声压之比 ，以及透射波声压与入射波声压之比 分别为 c o sc o sc o o sc o sc o o sc o sc o sc o sc o sc o sc o sc o 设 c o sc o 2 这里的 别为入射波及折射波的声压与相应质点速度的法向分量的比值，称为 法向声阻抗率 ，它即与媒质特性阻抗有关，又与声波传播方向有关，那么 (2可改写为 12212122将斜入射时的结果 (2与垂直入射时的结果(2相比较，可见两种情况下的 是斜入射时要用法向声阻抗率 R，实际上 (2只是 (2在 i =0时的特例，所以也可以把 (2得 2 理解为声波的法向声阻抗率。只是此时i =t =0 ，所以垂直入射时的法向声阻抗率恰等于媒质的特性阻抗。 关于媒质特性阻抗对于声波反射及透射的影响已作了详细讨论，下面主要考察声波入射角对反射现象的影响，为方便书写，引入符号 211212(2 对媒质 的折射率。于是(2可改写成： 222s i nc i nc 22 s i nc o sc o (2分几种情况讨论 1、全透射 当声波入射角 ，也就是入射角为 0s o s 22 i 1s 222此时 ,，即声波以 波全部透进媒质 ，所以 然并不是对任意两种媒质（即任意的 m和 可能出现全透射现象，这可由（ 2看出。只有从该式解得实数的 会发生全透射，即必须满足条件 ,解此不等式得 当 m1 时， mn1 或当 m 情况；后者相当于 2 c2 t i 。 那么可以想象，当入射角 射角自然也随之增大，当入射角大到等于某一定角度 ，有 t =90o ，即这时折射波沿着分界面传播