《常微分方程》东师大第二版习题答案

1 常 微 分 方 程 习 题 解 答 东 北 师 范 大 学 微 分 方 程 教 研 室 (第 二 版 )高 等 教 育 出 版 社2习 题 列 可分 离变 量微 分方 程的 通解 ：(1) ：积 分， 得12211 = 即 22(2) ： 1,0= 特解 ，当 1,0 ， 分， 得 0ln,1 =+= 即 3) 解 ： 变 形得 分， 得 (4) 0变 形得 0=解 ，当 0 积 分， 得 11 += ,即 0, = 求下 列方 程满 足给 定初 值条 件的 解：(1) 1)0(),1( = 1,0= 特解 ，当 1,0 ， )111( ，积 分， 得 0,1,11 =+= )0(=， 得 0=c， 即 1=求 的解 。(2) 1)0(,02)1(22 =+ 0,1222 = 特解 ，当 0 = ，积 分， 得 = 1)0(=， 得 1=c， 即 11= 所求 的解 。(3) 0)2(,32 = 0=解 ，当 0 2 ，积 分， 得 331 )(, =+=将 0)2(=， 得 2=c， 即3)2(= 0=所 求的 解。(4) 1)1(,0)()( 2222 =+ 0,0= 特解 ，当 0,0 ， 01122 =+ 积 分， 得 0,111 =+ )1(=y 代 入， 得 2=即 2= 为 所求 的解 。4 求解 方程 011 22 =+ )11(1),11(1 = 特解 ，当 1,1 ， 01122 =+ ， 得 )0(11 22 =+ 求一 曲线 ，使 其具 有以 下性 质： 曲线 上各 点处 的切 线与 切点 到原 点的 向径 及 围 成一 个等 腰三 角形 (以 底 )， 且通 过点 (1,2)设 所求 曲线 为 )( 其上 任一 点 ),(线 方程 ：)( = 于 的 截距 为 由 题意 建立 方程 ：0 = 2)1(, =方 程的 通解 为 0, = 由 得 c= 所求 曲线 为4为 2=人工 繁殖 细菌 ，其 增长 速度 和当 时的 细菌 数成 正比 （ 1） 如 果 4小 时的 细菌 数为 原细 菌数 的 2倍 ，那 么经 过 12小 时应 有多 少？（ 2） 如 果在 3小 时时 的细 菌数 为得410个 ， 在 5小 时时 的细 菌数 为得 4104个 ， 那 么在 开始 时有 多少 个细 菌？解 ：设 的 细菌 数为 q(t),由 题意 建立 微分 方程 0=方 程得 设 t=0时 ，细 菌数 为 0q,求 得方 程的 解为 1） 由 02)4( 040 2 42ln=)12( k =（ 2） 由条 件 450430 104)5(,10)3( = kk 两 式得 24ln=k， 再 由402408)3( = 0 列 方程 ：(2) 0)2( 22 =+ 方 程改 写为 2)()(2令 有 22=+ 整 理为 )1,0()111( = ， 得 即 111=变 量， 得通 解 0,)( = 是方 程的 解(4) 解 ：方 程改 写为 令 有 即 )0(= ， 得 变 量， 得通 解 ) += 解 ：方 程改 写为 += (令 有 )11( +=当 1,0 + )11(积 分， 得 )1 回变 量， 得通 解 )16) = 22解 ：方 程改 写为 =2)(1令 有 21= 分 离变 量 )11(12 ,对 充分 大的 1x,当 1 ,有 |()|其 积 分 曲 线 如 图 (3)所 示 ;当 其 积 分 曲 线 如 图 (6)所 示 ;当 x= 0,21 ,0,21),( 除 去 的 整 个 上15连 续 ,所 以 在 除 去 的 整 个 上 初 值 解 存 在 且 唯 一 论 方 程 312 怎 么 样 的 区 域 中 满 足 定 理 件 通 过)0,(的 一 切 解 右 端 函 数 对 导 数 3221=显 然 它 在 任 何 一 个 不 包 含 (= 点 的 有 界 闭 区 域 中 是 有 界 的 ,因 此 在 这 种 区 域 中 解 是 存 在 唯 一的 只 有 通 过 0= 点 可 能 出 现 多 个 解 的 情 况 (方 程 右 端 的 连 续性 保 证 在 任 何 有 界 区 域 中 ,解 是 存 在 的 ) 程 分 离 变 量 得 上 式 两 端 取 积 分 得 3232332 =23)(=其 中 外 有 特 解 0= 过 点 )0,(有 无 穷 多 个 解 (如 图 (9)所示 ).0=y, = )(,023 = .,)(,023 逐 次 逼 近 法 求 方 程 2满 足 初 值 条 件 0)0(=y 的 近 似 解 :)(),(),(),(3210 图 (9)16解 ： 0)0()(0 =01 1)0(0)( x =+=520 222 2011)1(0)( x =+= 20121(0)( 118520 2523 x +=+= 逐 次 逼 近 法 求 方 程22满 足 初 值 条 件 1)0(=y 的 近 似 解 :)(),(),( 210 解 ： 1)0()(0 =01 11)1(0)( x +=+= 3111)(75420 2232 x +=+= 明 定 理 似 解 )( 确 解 )( 下 的 误 差 估 计式 : 10)!1()()( + 由 +=xx (,()( 0 及 迭 代 列 00)(, ,2,1)(,()(0 10 =+= xx 得 000 )(,()()( 设 10)!1()()( + 011 )!2()!( )(,()(,()()(00 + + + nn 由 归 纳 法 可 知 ,对 任 意 似 解 ,估 计 式 10)!1()()( + 用 上 面 的 估 计 式 ,估 计 :(1)4题 中 的 三 次 近 似 )(31= 误 差 ;(2)5题 中 的 二 次 近 似 )(21= 误 差 (1)显 然 初 值 问 题2, 0)0(=y 在 区 域 1,1: 存在 唯 一 解 ,由 解 的 存 在 唯 一 性 定 理 知 ,解 的 定 义 区 间 为0 中 ),m , =2),(m ,1,1= 而 210=h,即得 解 的 定 义 区 间 为 21 误 差 估 计 公 式 10)!1()()( + 普 希 兹 常 数 ,22= 取 ,2=1=有 241)21(!42)()( 433 =当 1=有32)1(!42)()( 433 =18(2)显 然 初 值 问 题 22, 1)0(=y 在 区 域 11,1: 存在 唯 一 解 ,由 解 的 存 在 唯 一 性 定 理 知 ,解 的 定 义 区 间 为 :0 中 ),m , = 22),(m ,1,1= 而 410=h,即得 解 的 定 义 区 间 为 41 误 差 估 计 公 式 10)!1()()( + 普 希 兹 常 数 ,22= 取 ,2=241)41(!324)()( 32 = 形 区 域 , +y 内 ,假 设 方 程 ( 所 有 解 都 唯 一 ,对 其 中 任 意 两 个 解 )(),(21 如 果 有 )()( 0201 则 必 有)()( 21 0 令 =)(