药学高数29（微分方程组）ppt课件

例 9-25 求微分方程组 解 : 由第一个方程两边求导 代入第二个方程中 : 特征方程 : r2-1=0, r=1 第五节 微分方程组 例 9-26 求微分方程组 满足初始条件 x|t=0=1, y|t=0=0 的特解 . 解 : 由 (1) 得 : 由特征方程 r2-2r+1=0 求得特征根 r1=r2=1 故有通解 x=(C1+C2t)et 代入 (9-33) 方程的通解为 代入初始条件 x|t=0=1, y|t=0=0 ,得 C1=1, C2=2 例 9-27 已知 B 鱼只以 A 鱼为食物 , A 鱼的食物为 小虫 . 假设这两种鱼的食物总是充分的 , 求这两 种鱼共同生活时其数量的变化规律 . 解 用 x(t) 和 y(t)分别表示 t 时刻 A 鱼和 B 鱼的 数量。假设两种鱼单独生活，则 两种鱼共同生活时，沃尔 特拉 -洛特卡 (Volterra- Lotka)的捕食方程 第二方程除以第一个方程： 分离变量： 到了中晚期 , 生长速率将逐渐减慢 . 肿瘤体 积关于时间的变化率 , 不是常数 , 而是时间的 函数 . 可以认为 的变化率与 的值成正比 . (0)=0 , V(0)=V0 例 9-28 肿瘤在早期阶段的生长过程 , 可以用指 数生长模型来描述 . 肿瘤体积随时间增加而迅速 增大 . 解方程 : 由第二个方程求得 : (t)= 0e-t . 代入第一个方程得 第八节 微分方程在药学中的应用 数学模型 : 根据研究对象的内在规律运用适当 的数学工具建立的一种数学结构 . 这种结构通 常为描述所研究系统 (或过程 )动态规律的方程 . 化学动力学、药物动力学、酶动力学、数理流 行病学 步骤： 建模 模型参数估计 模型检验 改进 进行估计、预测、调控 一、微分方程在化学动力学中的应用 （一）单分子反应 在单分子反应 A B 中，如果化学反应的速度 与反应物的量 x(t) 成正比 , 则称此化学反应为 一级反应 分离变量得 : ln x 与 时间 t 呈线性关系 反应物的量 x0 减少到 x0/2 所 需要 的时间 t1/2 称为 半衰期 一级反应 : 放射性衰变 , 一些药物的水解 , 部 分药物在体内的吸收、分布、代射和排泄 的时间过程 (二 ) 化学合成反应 在化学合成反应 A+B C 中 , 化学反应速度与两 反应物浓度的乘积成正比 . 若反应物 A 与 B 的初始浓度分别为 a 和 b, 并设 生成物 C 在时刻 t 的浓度为 x(t), (1)若 ab, 分离变量得 满足初始条件的特解 : 反应物 A 与 B 在时刻 t 的浓度为 : (2) 若 a=b, 则 分离变量后 , 两边定积分 ,得 反应物浓度 (a-x) 的倒数是时间 t 的线性函数 反应物 A 与 B 在时刻 t 的浓度为 : (三 ) 连串反应 设反应物 A、 B、 C 在时刻 t 的量分别为 x(t) 、 y(t)、 z(t). A、 B、 C 的初始量为 a, b, 0. 由初始条件 : 代入第二式 ： 代入第三式 ： 二、微分方程在药物动力学中的应用 药物动力学 (pharmacokinetics) 是应用动力学原 理和数学方法 , 定量地研究药物通过各种途径进 入机体后的吸收、分布、代谢和排泄等过程的 动态变化规律的一门学科 . 当药物进入机体后 , 其在体内某一部位的药物 减少速率与该部位药物浓度 C 的关系可表示为 称药物在体内的变化符合 N 级速率过程 。 一级速率过程：抗生素类，磺胺类等药物 0级速率过程：恒速静脉滴注给药 (一 ) 一室模型 将机体看作一个动力学上同质的单元 , 就得 到一室模型 . 它适用于给药后 , 药物能在血液及各种组织 间很快分布 , 并迅速达到平衡的情况 . Vd 为表观分布容积 D/C D(t) 表示体内的药量 . 把机体视为一个系统 , 系统内部按动力学 特点分为若干个隔室 (房室 ). 分成一室、二室及多室等模型 . kD0 iv D(t), Vd 1. 快速静脉注射 则有 D(t)=D0e-kt 血药浓度 C(t)=D(t)/Vd=C0e-kt 血药浓度的对数 ln C 与时间 t 呈线性关系 当 t 时 , 反映了药物的最终吸收程度 kD0 iv D(t), Vd 2. 恒速静脉滴注 当 t 时 , 称为稳态血药浓度 . k k0 D(t), Vd 解得 3.血管外给药 口服、肌肉注射、栓剂给药等多种给药方式 . 机体为房室 , 代表吸收部位为吸收室 Da(t) 吸收室 D(t) d kkaD0 初始药量为 D0 , F (0F1) 称为生物利用度 血药浓度函数 由 C (x) 0 求得驻点： 由上式 , 达峰时 tm 与药物的吸收速率 ka 及消 除速率常数 k 有关 , 与给药剂量 D0 无关 ; 在驻点取极大值 Cmax.达峰时为 峰浓度 Cmax与给药剂量 D0 成正比 . (二 ) 二室模型 如果将机体分为两个房室 , 其中代表血液及血流灌注充沛的器官 (肝、 肾等 )和组织的称为中央室 , 代表其它器官、 组织的称为周边室 , 得到二室模型 . 中央室 Dc Vc 周边室 Dpk 21 k12D 0 iv k10 解得中央室的药量为 : Dc=Ae-t+Be-t 由第一个方程 代入第二个方程得 Vc 为中央室的静观分布容积， 则血药浓度 由初始条件 ： (三 ) Michaelis-Menten非线性药物动力学模型 其中 C 为时刻 t 的血药浓度 , Vm 为该过 程在理论上的最大速度 , km 为常数 .