《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)2

1 习题二 只乒乓球，编号为 1， 2， 3， 4， 5，在其中同时取 3 只，以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律 . 【解】 53524353 , 4 , 51( 3 ) 0 . 14 ) 0 . 35 ) 0 . 6 故所求分布律为 X 3 4 5 P 5 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽样，以 X 表示取出的次品个数，求： （ 1） X 的分布律； （ 2） X 的分布函数并作图； (3) 1 3 3 , 1 , 1 , 1 2 222P X P X P X P X . 【解】 2 313315122 1 33151133150 , 1 , 2 2( 0 ) 52( 1 ) 5C 1( 2 ) 5 故 X 的分布律为 X 0 1 2 P 2235 1235 135 （ 2） 当 ， F（ x） =1 即分布函数 0 , 0( ) , 01,x x 在 2， 5上服从均匀分布 进行三次 独立观测，求至少有两次的观测值大于 3 的概率 . 【解】 XU2,5，即 13 1 , 2 5() 30, 其 他5312( 3 ) x 故所求概率为 2 2 3 3332 1 2 2 0C ( ) C ( )3 3 3 2 7p （以分钟计）服从指数分布 1()超过 10 分钟他就离开 次，以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出 Y 的分布律，并 求 PY 1. 【解】 依题意知 1 ( )5其密度函数为 51 e , 0() 50, 25101( 1 0 ) e d e5 x 2 (5, e ),即其分布律为 14 2 2 5525( ) C ( e ) ( 1 e ) , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5( 1 ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 e ) 0 . 5 1 6 7k k k P Y 两条路可走 需时间 X 服从 N（ 40， 102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时 间 X 服从 N（ 50， 42） . （ 1） 若动身时离火车开车只有 1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （ 2） 又若离火车开车时间只有 45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】 （ 1） 若走第一条路， XN（ 40， 102），则 4 0 6 0 4 0( 6 0 ) ( 2 ) 0 . 9 7 7 2 71 0 1 0 P 若走第二条路， XN（ 50， 42），则 5 0 6 0 5 0( 6 0 ) ( 2 . 5 ) 0 . 9 9 3 844 P + 故走第二条路乘上火车的把握大些 . （ 2） 若 XN（ 40， 102），则 4 0 4 5 4 0( 4 5 ) ( 0 . 5 ) 0 . 6 9 1 51 0 1 0 P 若 XN（ 50， 42），则 5 0 4 5 5 0( 4 5 ) ( 1 . 2 5 )44 P 1 (1 . 2 5 ) 0 . 1 0 5 6 15 故走第一条路乘上火车的把握大些 . N（ 3， 22）， （ 1） 求 P20; (2) f(x)=.,0,21,1,10,2其他a,b，并求其分 布函数 F（ x） . 【解】（ 1） 由 ( )d 1f x x 知 |021 e d 2 e aa x a x 19 故 2a 即密度函数为 e , 02() 当 x 0 时 1( ) ( ) d e d x f x x x 当 x0 时 00( ) ( ) d e d e x f x x x x 11e2 x故其分布函数 11 e , 02()1 e , 02 (2) 由 12201111 ( ) d d d 22bf x x b x x 得 b=1 即 X 的密度函数为 20 2, 0 11( ) , 1 20,x 其 他当 x 0 时 F（ x） =0 当 00 时， ( ) ( ) ( e ) ( l n )y P Y y P y P X y )x x 故 2 / 2 ) 1 1 1( ) ( l n ) e , 0d 2 y f y yy y y (2) 2( 2 1 1 ) 1P Y X 当 y 1 时 ( ) ( ) 0YF y P Y y 当 y1 时 2( ) ( ) ( 2 1 )YF y P Y y P X y 24 2 1 1 12 2 2y y P X ( 1 ) / 2( 1 ) / 2 ( ) f x x 故 d 1 2 1 1( ) ( )d 4 1 2 2Y Y X y F y f ( 1 ) / 41 2 1 e , 121 2 y (3) ( 0) 1 当 y 0 时 ( ) ( ) 0YF y P Y y 当 y0 时 ( ) ( | | ) ( )YF y P X y P y X y ( )f x x 故 d( ) ( ) ( ) ( ) X Xf y F y f y f 2 /22 e , 02 y yU（ 0,1），试求： 25 （ 1） Y= （ 2） Z=2分布函数及密度函数 . 【解】 （ 1） ( 0 1) 1 故 (1 e e ) 1 当 1y 时 ( ) ( ) 0YF y P Y y 当 10 时， ( ) ( ) ( 2 l n )ZF z P Z z P X z /2( l n ) ( e )2 P X /21 /2e d 1 ez 即分布函数 - / 20 , 0()1 - e ,Z 0故 Z 的密度函数为 /21 e , 0() 20, 的密度函数为 f(x)= 22 ,0 ,0 , .x x 其 他试求 Y=密度函数 . 【解】 ( 0 1) 1 当 y 0 时， ( ) ( ) 0YF y P Y y 27 当 00） =1，故 06,则 P（ ， ( ) ( ) ( e ) ( l n )y P Y y P y P X y d 1y x x y 即 11 , 1()0 , 1 故 21 , 1()0 , 1 的密度函数为 fX(x)=)1( 1 2x, 求 Y=13x 的密度函数 fY(y). 【解】 33( ) ( ) ( 1 ) ( ( 1 ) )YF y P Y y P X y P X y 33 2 ( 1 )( 1 )311d a r c t 1 ) 1 a r c t g ( 1 ) 2yy 40 故 263 (1 )() 1 (1 )t 的时间内发生故障的次数 N（ t）服从参数为 t 的泊松分布 . （ 1） 求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布； （ 2） 求在设备已经无 故障工作 8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率 Q.（ 1993 研考） 【解】 （ 1） 当 N(t)=0等价，有 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ( ) 0 ) 1 e t P T t P T t P N t 即 1 e , 0()0 , 0 即间隔时间 T 服从参数为 的指数分布。 （ 2） 16 88e( 1 6 | 8 ) ( 1 6 ) / ( 8 ) T T P T P T 的绝对值不大于 1， PX=1=1/