《概率论与数理统计》习题及答案 第七章

90 概率论与数理统计 习题及答案 第 七 章 1对某一距离进行 5 次测量，结果如下： 2 7 8 1 , 2 8 3 6 , 2 8 0 7 , 2 7 6 5 , 2 8 5 8（米） . 已知测量结果服从 2( , )N ，求参数 和 2 的矩估计 . 解 的矩估计为 X ， 2 的矩估计为2 2 * 211 () X 1 ( 2 7 8 1 2 8 3 6 2 8 0 7 2 7 6 5 2 8 5 8 ) 2 8 0 9 . 05X ， *2 1 5 8 5 4 . 0 1 1 7 0 . 8 45S 所以 22 8 0 9 , 1 1 7 0 . 8 2设12, , , 1( ) , ( 0 1 , 1 , 2 , )(1 ) k p kl u p k 的一个样本，求 p 的矩估计 . 解 1 111 1 1l n (1 ) l n (1 ) l n (1 ) 1p p p （ 1） 因为 p 很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩 121 1 11l n (1 ) l n (1 ) l n (1 )k k k p k p xp p p 21l n ( 1 ) 1 l n ( 1 ) ( 1 )x pp x p p （ 2） （ 1） （ 2）得 121 p 所以 212p 所以得 p 的矩估计 91 212 21111 3设总体 X 服从参数为 N 和 p 的二项分布，12, , , 的样本，试求参数 N 和 p 的矩估计 解 122,(1 ) ( )p p N p 解之得 1 / ， 21(1 )p N p ， 即 1N p， 22111p ， 所以 N 和 p 的矩估计为 *21 . 4设总体 X 具有密度 11( 1 )1,( ; )0 , .C x x 其他其中参数 0 1,C 为已知常数，且 0C ，从中抽得一个样本，12, , , X，求 的矩估计 解 1 1 1 1111 1 111 C x d x C x 111 ()11 C ， 解出 得 11,C 92 于是 的矩估计为 1 . 5设总体的密度为 ( 1 ) , 0 1 ,( ; )0 , 其他试用样本12, , , 的矩估计和极大似然估计 . 解 先求矩估计： 1 1121 00 11( 1 ) ,22E X x d x x 解出 得 1112,1 所以 的矩估计为 121 . 再求极大似然估计： 1 1 21( , , ; ) ( 1 ) ( 1 ) ( )n nn i X x x x x ， 1l n l n ( 1 ) l nn n x ， 1ln l n 01 n ， 解得 的极大似然估计： 1(1 ) . 6已知总体 X 在 12 , 上服从均匀分布，1 的样本，求12,的矩 估计和极大似然估计 . 解 先求矩估计： 121 2 ， 2 2 2 22 2 1 1 2 1 1 2 22( ) ( )1 2 4 3 93 解方程组 121221 1 2 2223 得 21 1 2 13 ( ) , 22 1 2 13 ( ) . 注意到 12 ，得 12,的矩估计为 *1 3 ， *2 3 . 再求极大似然估计 1 1 2 1 2 1 2 111( , , ; , )()nn X ，1 1 2 2, , , nx x x， 由极大似然估计的定义知， 12,的极大似然估计为 11 ( 1 )m i n ( , , ) X ； 21 ( )m a x ( , , ) X . 7设总体的密度函数如下，试利用样本12, , , nx x x，求参数 的极大似然估计 . （ 1） 1( ) , 0 ,( ; )0 , e 其 它 ; 已 知（ 2） |1( ; ) , ,2 xf x e x . 解 （ 1）111111( , , ; ) ( ) ( )xx i X x e x x e 1 11l n ( ; ) l n l n ( 1 ) l i X n n x x 1 n 解似然方程 1x ， 得 的极大似然估计 94 （ 2）1|1111( ; )22 X e e 由极大似然估计的定义得 的极大似然估计为样本中位数，即 1()2( ) ( 1 )22,1 ( ) , n 为奇数,为偶数8设总体 X 服从指数分布 () ,( ; )0 , 其他试利用样本12, , , 的极大似然估计 . 解 1()11( , , ; ) , , 1 , 2 , , X e e x i n 1ln n n X 由极大似然估计的定义， 的极大似然估计为(1)x9设12, , , 1( ) ( 1 ) , 1 , 2 , , 0 1 k p p k p ， 试求未知参数 p 的极大似然估计 . 解 1111( , , ; ) ( 1 ) ( 1 )x x p p p p p ， 1l n l n ( ) l n (1 ) ,n n p X n p 1,1 nd p p p 解似然方程 95 11 ， 得 p 的极大似然估计 1 10设12, , , 12112 21 ,( ; , )0 , 其它其中 12,0 ，求参数 1 和 2 的（ 1）极大似然估计；（ 2）矩估计。 解 （ 1） 121 1 2 11 21( , , ; , ) , , 1 , 2 , , X e x i n 21121l n l n ( )n X n 12 由极大似然估计的定义，得 1 的极大似然估计为 1(1)x ； 12 12 2 2l n 1 ( ) 0n 解似然方程得 2 的极大似然估计 2(1)（ 2） 1 1 2 2 2 2 22 2 1 2 ( ) ( )E X D X E X 解方程组 1 1 2222 2 1 2,( ) , 得 222 2 1 , 21 1 2 1 . 所以 12,的矩估计为 96 *1 , * 2 *2 11罐中有 N 个硬币，其中有 个是普通硬币（掷出正面与反面的概率各为 余 N 个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复 n 次，若掷出 0 次、 1次、 2 次正面的次数分别为0 1 2,用（ 1）矩法；（ 2）极大似然法去估计参数 。 解 设 X 为连掷两次正面出现的次数， A 取出的硬币为普通硬币，则 21( 0 ) ( ) ( 0 | ) ( ) ( 0 | ) ( ) ,24P X P A P X A P A P X A 122 1( 1 ) ( ) ( 1 | ) ( ) ( 1 | ) ( )2P X P A P X A P A P X A 2N, ( 2 ) ( ) ( 2 | ) ( ) ( 2 | )P X P A P X A P A P X A 21 4 3()24 N ， 即 X 的分布为 0 1 2434 2 4 N （ 1）1 4 3 222 N 解出 得 1( 2 ),N 的矩估计为 121( 2 ) 2 ( 2 ) N X N n 1 2 0 1( 2 2 ) ( 2 )n n n （ 2） 0 1 2143( ; )4 2 4n n N ， 0 1 2l n ( l n l n ( 4 ) ) ( l n l n ( 2 ) ) ( l n ( 4 3 ) l n ( 4 ) )L n N n N n N N 0 12l n 3 043 n ， 解似然方程 01 23 ,43nn 97 得 的极大似然估计 014 ()3N . 12设总体的分布列为截尾几何分布 1( ) (1 ) , 1 , 2 , , , k k r ( 1 ) r ， 从中抽得样本12, , , X，其中有 m 个取值为 1r ，求 的极大似然估计。 解 1()111( , , ; ) ( 1 ) ( 1 ) , n mX m r n m m X 1l n ( ( ) ) l n ( ) l n (1 ) ,nm n m m r n m 1l n 1 1( ) ( ) 0 ,1 n m m r n 解似然方程 11n m m r 得 的极大似然估计 1111n m m n m m r X nX m r X m . 13设总体 X 服从正态分布 212( , ) , , , , X X是其样本，（ 1）求 2211()n X 是 2 的无偏估计量；（ 2 ）求 k 使得1|n X 为 的无偏估计量 . 解 （ 1） 112 21 1 1( ) ( ) ( ) i i i i E X X C D X X E X X 1 211 ( ) 2 ( 1 ) X D X C n 可见当 12( 1)C n 时， 12 211 () X是 2 的无偏估计量 . 98 （ 2）111|ni i i ji j iE k E X X k E X X 111j X 设 11 ，因 2 221 1 ( 1 ) ( , )in n n n 221 1 1 ( , )n n ，所以 21 ( 0 , )n ( 0 , 1 )1Z . 因为 21，所以 2 ( 1 )| 于是 1| | 2 ( 1 ) /k E Z k n n 故当 2 ( 1)k 时1|n X 是 的无偏估计。 14设12, , , 的泊松分布总体的样本，试证对任意的常数 k ，统计量 2(1 )kX k S 是 的无偏估计量。 证 22( ( 1 ) ) ( 1 )E k X k S k E X k E S k k （此处利用了 X 是 无偏估计， 2S 是 无偏估计），所以对任意的2(1 )kX k S 是 的无偏估计。 15设总体 X 有期望12, , , , X为一样本，问下列统计量是否为 的无偏估计量？（ 1）121 ()2 （ 2） 122;（ 3）1 2 11 ( 2 3 3 2 )10 X X ; （ 4）(1)X；（ 5）() 6）(1 ) ( )1 ()2 解 （ 1），（ 2），（ 3）都是样本的线性组合，而且组合系数之和为 1，故它们都是 的无偏估计。但（ 4），（ 5），（ 6）一般不是 的无偏估计，如 (1, )X B p ，则 ( 1 ) , ( 0 ) 1 ,P X p P X p E X p ，而(1) 就是 1，且 99 ( 1 ) 1 2 1( 1 ) ( 1, 1, , ) P X X X p ， 故 (1) p p即 (1)p 的无偏估计。 16设 是参数 的无偏估计量，且有 0D ，试证明 2 不是 2 的无偏估计量。 证 2 2 2 2()E D E D ， 即 2 不是 2 的无偏估计量 . 注：该题说明：当 是未知参数 的无偏估计时， 的 函数 ()g 不一定是 的函数 ()g 的无偏估计。 17设总体 2 ( , ) ，1 2 3, 的样本，试证估计量 1 1 2 31 3 15 1 0 2X X X ；2 1 2 31 1 53 4 1 2X X X ， 3 1 2 31 1 13 6 2X X X . 都是 的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效 . 证 1 2 31 1 3 1 1 3 1()5 1 0 2 5 1 0 2E E X E X E X 2 1 1 5()3 4 1 2E 3 1 1 1()3 6 2E 故1 2 3, 都是 的无偏估计 . 221 2 31 1 9 1 3 9 0 . 3 92 5 1 0 0 4 1 0 0D D X D X D X , 2 2 22 1 1 2 5 5 0( ) 0 . 3 4 79 1 6 1 4 4 1 4 4D ， 2 2 23 1 1 1 1 4( ) 0 . 3 8 99 3 6 4 3 6D . 所以2最有效 . 18设总体 X 服从区间 1, 上的均匀分布， 1 未知，1 , 的样本。（ 1）求 的矩估计和极大似然估计量；（ 2）上述两个估计量是否为无偏估计量，若不是，请修正为无偏估计量；（ 3）问在（ 2）中两个无偏估计 100 量哪一个更有效。 解 （ 1）先求矩估计 1 1 2 ， 121， 所以 的矩估计为 21X 再求极大似然估计 . 1 111( ; )1 ( 1 )nn x x ，121 , , , nx x x 所以 的极大似然估计为 ()L （ 2） ( 2 1 ) 2 1 1 1E E X E X 可见 矩估计是 的无偏估计 . 为求 L 的数学期望，先求()L 的密度 ()总体 X 的分布函数为 0 , 1 ,1( ) , 1 ,11 , x ()( ) ( ) ,x F x 所以 11( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x F x n F x F x n f x F x 1( 1 ), 1 ,( 1 )0 , x 其他1 11 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 )n x nE x d x x d x x d x 1111( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) 1 ( 1 ) 1n n n x x nn n n n 1 1 11 1 1nn n n n n 101 可见 L 不是 的无偏估计，若将 L 修正为 11L Ln ，则 L 是 的无偏估计。 （ 3） 2( 1 )( 2 1 ) 43D D X D X n 122 211 1( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 )( 1 ) ( 1 )nn x n x xE x d x x x d 21 111( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nn x x x d xn n n n n 2222 ( 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) 2 2 1 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) n n nn n n n n 2 2()L L E 22 2 22 2 2 1( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )n n n nn n n n n n n n 2 2222 2 12 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 )n n n nn n n n n n 2 2 2 22 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) 2 ( 1 ) 1( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )Ln n n n n n n n n n n 2 2 222 1 ( 1 ) ( 1 )( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 3 Dn n n n n n n n . 故 L 较 有效 . 19设总体 X 的数学期望 已知，试证统计量 211 ()n 是总体方差 2 的无偏估计 . 证 2 2 21111( ( ) ) ( ) E ， 证毕 . 20 设总体 212 ( , ) , , , , X X X为来自 X 的样本，试证2211 ()1 是 2 的相合（一致）估计 . 102 证 2 2 2 21111() X X n 因为12, , , 以 2 2 212, , , 大数定理，对任意的 0 有 2211l i m 0 E . 即 211 n依概率收敛于 22 ，而 X 依概率收敛于 1 ，由依概率收敛的性质 . 2 2 2 2 2 2 2211111( ) ( )nn X X E X E 又由于 11（当 n 时）而 2 *21，故 2S 依概率收敛于 2 ，从而 2S 是 2 的相合估计。 21设12, , , , )的一个样本，1( , , )n 的一个估计量，若 2,k D 且 2l i m l i m 0 试证 n 是 的相合（一致）估计量。 证 由切比雪夫不等式，对任意的 0 有 2( | | ) 于是 20 l i m ( | | ) l i m 0nn 即 n 依概率收敛于 ，故 n 是 的相合估计。 22设12, , , 0, 上的一个样本，试证12m a x ( , , , ) X X是 的相合估计。 证 ()分布函数为 0 , 0 ,( ) ( ) , 0 ,1 , 0 t F t 103 11 , 0 ,( ) ( ) ( ) ( )0 , tf t F t n f t F 10 11n t d 22 1 20 22n t d 所以 2222222 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )nn n n n n 由切比雪夫不等式有 2221 ( 1 ) ( 2 )n n 当 n 时 l i m l i m 01 P 故 的相合估计 . 23从一批钉子中抽取 16 枚，测得长度（单位：厘米）为 钉长分布为正态，试在下列情况下，求总体期望 的置信度为 置信区间。 （ 1）已知 厘米； （ 2） 为未知 . 解 22 . 1 2 5 , 0 . 0 0 2 9 , 0 . 0 1 7X S S （ 1） 的置信区间为0 . 0 5 0 . 0 5( , )X u X 0 . 0 52 . 1 2 5 , 1 . 6 4 5 , 0 . 0 1 , 1 6X u n 的置信区间为 ( 2 1, 2 9 )； （ 2） 的置信区间为0 . 0 5 0 . 0 5( ( 1 5 ) , ( 1 5 ) )t X 0 (1 5 ) 1 3 1t 的置信区间为 ( 2 7 5 , 2 2 5 ). 24生产一个零件所需时间（单位：秒） 2 ( , )，观察 25 个零件的生产时间，得 5 1 ，试以 可靠性求 和 2 的置信区间 . 104 解 的置信区间为0 . 0 2 5 0 . 0 2 5( ( 2 4 ) , ( 2 4 ) )t X 其中 0 . 0 2 55 . 5 , ( 2 4 ) 2 . 0 6 3 9 , 1 . 7 3 , 2 5 .X t S n 所以 的置信度 的置信区间为 1 . 7 3 1 . 7 3( 5 . 5 2 . 0 6 3 9 , 5 . 5 2 . 0 6 3 9 ) ( 4 . 7 8 5 8 , 6 . 2 1 4 1 )55 2 的置信区间为 2222/ 2 1 / 2( 1 ) ( 1 ),( 1 ) ( 1 )n S n 2 2 20 . 0 2 5 0 . 9 7 52 . 9 9 2 9 , ( 2 4 ) 3 9 . 3 6 4 , ( 2 4 ) 1 2 . 4 0 1S 所以 2 的置信区间为 2 4 2 . 9 9 2 9 2 4 . 2 9 9 2 9 (1 . 8 2 4 8 , 5 . 7 9 2 2 )3 9 . 3 6 4 1 2 . 4 0 1 . 25零件尺寸与规定尺寸的偏差 2 ( , )，令测得 10 个零件，得偏差值（单位：微米） 2, 1, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 3, 4，试求 2, 的无偏估计值和置信度为 置信区间。 解 的无偏估计为 1011 2102 的无偏估计为 2211 1 0 4 5 . 7 7 89 的置信区间为 0 . 0 5 0 . 0 5( ( 9 ) , ( 9 ) )1 0 1 0t X t 0 . 0 52 , 2 . 4 0 4 , ( 9 ) 1 . 8 3 3 1 1 0 3 . 1 6 2 3X S t 所以 的置信度为 置信区间为 2 . 4 0 4 2 . 4 0 4( 2 1 . 8 3 3 1 , 2 1 . 8 3 3 1 ) ( 0 . 6 0 6 4 , 3 . 3 9 3 5 )3 . 1 6 2 3 3 . 1 6 2 3 ； 2 的置信区间为 2222/ 2 1 / 2( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 )n S n 0 . 0 5 0 . 9 5( 9 ) 1 6 . 9 1 9 , ( 9 ) 3 . 3 2 5所以 2 的置信度 的置信区间为 105 5 2 . 0 0 2 5 2 . 0 0 2 ( 3 . 0 7 5 , 1 5 . 6 3 9 7 )1 6 . 9 1 9 3 . 3 2 5 . 26对某农作物两个品种计算了 8 个地区的单位面积产量如下： 品种 A： 86， 87， 56， 93， 84， 93， 75， 79； 品种 B： 80， 79， 58， 91， 77， 82， 74， 66. 假定两个品种的单位面积产量，分别服从正态分布，且方差相等，试求平均单位面积产量之差在置信度为 的置信区间 . 解 此题是在 2212 的条件下 求 12 的置信区间 . 12 的置信区间为 / 2 1 21211( ( 2 ) , t n n S / 2 1 21211( 2 ) t n n S 其中 88 2 2 2111118 1 . 6 2 5 , ( 8 ( 8 1 . 6 2 5 ) ) 1 4 5 . 6 087 S X 2 2 227 5 . 8 7 5 , ( 8 ( 7 5 . 8 7 5 ) ) 1 0 2 . 1 3Y Y S Y 12( 8 1 ) 1 4 5 . 6 0 ( 8 1 ) 1 0 2 . 1 3 1 1 11 1 . 1 2 9 ,1 4 2wS 0 . 0 2 50 . 0 5 , (1 4 ) 2 . 1 4 4 8t . 所以 12 的置信度为 的置信区间为 11( 8 1 . 6 2 5 7 5 . 8 7 5 2 . 1 4 4 8 1 1 . 1 2 9 , 8 1 . 6 2 5 7 5 . 8 7 5 2 . 1 4 4 8 1 1 . 1 2 9 )22 ( 6 . 1 8 5 , 1 7 . 6 8 5 ) . 27设 A 和 B 两批导线是用不同工艺生产的，今随机地从每批导线中抽取 5根测量电阻，算得 2 2 71 1 . 0 7 1 0 ， 2 2 62 5 . 3 1 0 ，若 A 批导线的电阻服从 212( , )N 分布， B 批导线的电阻服从 222( , )N ，求 21 22置信区间 . 解 2122的置信区间为 2 2 2 21 2 1 2/ 2 1 2 1 / 2 1 2/( 1 , 1 ) ( 1 , 1 )S S S SF n n F n n 其中 2 7 2 61 2 0 . 0 51 . 0 7 1 0 , 5 . 3 1 0 , 0 . 1 0 , ( 4 , 4 ) 6 . 3 9 F 106 0 . 9 5 0 . 0 51( 4 , 4 ) 0 . 1 5 6 5( 4 , 4 )F F. 所以 2122的置信度 的置信区间为 1 . 0 7 / 5 3 1 . 0 7 / 5 3, ( 0 . 0 0 3 2 , 0 . 1 2 9 0 )6 . 3 9 0 . 1 5 6 5 . 28两台机床加工同一种零件，分别抽取 6 个和 9 个零件测量其长度，算得22120 . 2 4 5 , 0 . 3 7 5，假定各台机床零件长度服从正态分布，试 求两个总体方差比 2212/的置信区间（置信度为 解 2122的置信区间为 2 2 2 21 2 1 2/ 2 1 2 1 / 2 1 2/,( 1 , 1 ) ( 1 , 1 )S S S SF n n F n n 其中 221 2 1 2 . 0 2 50 . 2 4 5 , 0 . 3 7 5 , 6 , 9 , ( 5 , 8 ) 4 . 8 2S S n n F 0 . 9 7 5 0 . 0 2 511( 5 , 8 ) 0 . 1 4 7 9( 8 , 5 ) 6 . 7 6F F 所以 2212/的置信区间为 0 . 2 4 5 / 0 . 3 7 5 0 . 2 4 5 / 0 . 3 7 5, ( 0 . 1 3 5 5 , 4 . 4 1 7 3 )4 . 8 2 0 . 1 4 7 9 . 29设12, , , 的指数分布总体的一个样本，试求 的置信度为 1 的置信区间 . 解 由习题六的第 7 题知 212 ( 2 )n . 对于给定的 ，查 2 分布表，求出临界值 2/2(2 )n和 21 / 2 (2 )n 使 221 / 2 / 21( ( 2 ) 2 ( 2 ) ) 1n X n 解出 得 221 / 2 / 211( 2 ) ( 2 ) 122 即 的置信度 1 下的置信区间为 107 221 / 2 / 2( 2 ) ( 2 ), n X. 30设总体 X 服从区间 0, 上的均匀分布12( 0 ) , , , , X 为来自 X 的一个样本，试利用()/的分布导出未知参数 的置信度为 1 的置信区间 . 解 X 的分布函数为 0 , 0( ) , 01,x ()0 , 0( ) ( ( ) ) , 01,t F t () 的分布函数为 () ()( ) ( ) ( ) ( )z P Z z P z P X z ()0 , 0( ) , 0 11 , 1z z 对于给定的 ，令 ()( 1 ) 1 即 (1 ) ( ) 1 t 由 Z 的分布函数的表达式即 11 从而得 即 ()( 1 ) 1P 将 暴露出来得 108 ( ) ( )( / ) 1 X 所以 的置信度为 1 下的置信区间为 ( ) ( ), / 31设 来自总体 X 的一个样本值，已知 服从正态分布 ( , 1) （ 1）求 X 的数学期望 记为 b ）； （ 2）求 的置信度为 置信区间； （ 3）利用上述结果求 b 的置信度为 置信区间 . 解 （ 1） 2()21,2 yX e E X E e e e d y 2212te e d t 令 2( 1 )112 2 212te e d t e ； （ 2） 的置信区间为 / 2 / 211( , )Y u Y 其中 11 l n ( 0 . 5 0 ) l n ( 1 . 2 5 ) l n ( 0 .