《概率与数理统计》练习册及答案

1 第一章 概率论的基本概念 一、选择题 1将一枚 硬币 连抛两次，则此随机试验的样本空间为（ ） A （正，正），（反，反），（一正一反） B.(反，正 )，（正，反），（正，正），（反，反） C 一次正面，两次正面，没有正面 D.先得正面，先得反面 ， 事件 ( 示 （ ） A必然事件 B 恰有一个发生 C不可能事件 D 不同时发生 3设 A， 下列各 式中正确的是（ ） . B)=P(A)P(B) P(A) P(B) C. )()( +B)=P(A)+P(B) ,则下列各式中不能恒成立的是 ( ). B)=P(A) P( B)=P(B)P(A|B),其中 P(B)0 +B)=P(A)+P(B) )+P(A )=1 则下列各式中错误的是（ ） . A 0)( B. 1)( +B)=P(A)+P(B) P(A) 则 ( ). A. A, B. C. P(A) 则 下面答案错误的是 ( ). A. )( B. 0 2 可能 发生 可能不发生 关于概率的不等式 ,不正确的是 ( ). A. )(),(mi n )( B. , 若 1 2( ) A A P A A A D. ni 9. ( 1, 2 , , )iA i n为一列随机事件 ,且12( ) 0 A A ,则下列叙述中错误的是 ( ). 则 ni )( 则1 1( ) 1 (1 ( ) )nn P A 则11( ) ( )n P A D. )|()|()|()()(1231211 a 个白球 ,b 个黑球 ,从中任取一个 ,则取得白球的概率是( ). C. . 其中只有两张座号在第一排 ,现采取抽签方式发放给名同学 ,则 ( ) 12.将 n 个小球随机放到 )( 个盒子中去 ,不限定盒子的容量 ,则 3 每个盒子中至多有 个 球的概率是 ( ). A.! C. D. r 个人 , 365r ,并设每 个 人的生日在一年 365 天中的每一天的可能性为均等的 ,则此 r 个人中至少有某两个 人 生日相同的概率为( ). 65B. rr 365 C. 365!1 rD. 00件产品中有 5件是不合格品 ,今从中随机抽取 2件 ,设 1A 第一次抽的是 不 合格品 , 2A 第二次抽的是 不 合格品 ,则下列叙述 中错误的是 ( ). A. 1 B. )( 2值不依赖于抽取方式 (有放回及不放回 ) C. )()( 21 D. )( 21依赖于抽取方式 ,B,且 ,1)(0 下列给定的四对 事件中 ,不独立的是 ( ). A. B. 与 C C. D. 张中奖的奖券 ,现有三人每人购买张 ,则恰有一个中奖的概率为 ( ). 407C. D. 310 与 事件 则 ( ). A. 1)()()( B. 1)()()( )=P( D. ( ) ( )P C P A B 4 1)()|(,1)(0,1)(0 则 ( ). A. 不相容 B. 相容 C. 不独立 D. 独立 , ( ) 0 , ( ) 0P A P B，则下列结论正确的 是 ( ). |B)=0 B. ( | ) ( )P A B P A C. ( ) ( ) ( )P A B P A P B |A) 0 (A)=P,P(B)=q 且 则 A 与 B 恰有一个发生的概率为( ). A. B. 1 C. 1 D. 发生的概率为 P,现重复进行 n 次独立试验 则事件 ). A. B. C. (1 D. 1(1 ) (1 )n p p 现有放回地摸球 4次 ,若至少摸 到一个白球的概率为8180,则袋中白球数是 ( ). 枚均匀硬币 ,则恰 有 2枚正面朝上的概率为 ( ). 已知各人能译出的概率分别为61,31,41,51则密码最终能被译出的概率为 ( ). B. 21C. 52D. 3225. 已知 11( ) ( ) ( ) , ( ) 0 , ( ) ( ) ,4 1 6P A P B P C P A B P A C P B C 则事件A,B, ). 5 A. 81B. 83C. 85D. 乙两人独立地对同一目标射击一次 ,其命中率分别为 目标被击中的概率为 ( ). A. B. C. D. 若现已知 目标被击中 ,则它是甲射中的概率为 ( ). A. 第一箱中有 4 个黑球 1 个白球 ,第二箱中有 3 个黑球 3个白球 ,第三个箱中有 3 个黑球 5 个白球 ,现随机取一个箱子 ,再从这个箱中取出一个球 ,则取到白球的概率是 ( ). A. 12053B. 199C. 12067D. 箱中装有黑、白两种颜色的小球 ,各类箱子中黑球、白球数目之比为 ,2:3,2:1,1:4 已知这三类箱子数目之比为 1:3:2 ，现随机取一个箱子，再从中随机取出一个球，则取到白球的概率为（ ） . 4519C. 157D. 若已知取到的是一只白球 ,则此球是来自第二类箱子的概率为 ( ). A. 21B. 31C. 75D. 00枚贰分硬币 ,其中有一枚 为“残币”中华人民共和国其两面都印成了国徽 00 枚硬币中随机取出一枚后，将它连续抛掷 10 次，结果全是“国徽”面朝上，则这枚硬币恰为那枚“残币”的概率为（ ） . 6 每箱 20只 ,假设各箱含 0,1,2只残品的概率分别是 顾客欲购一箱玻璃杯 ,在购买时 ,售货员随意取一箱 ,而顾客随机察看 1 只 ,若无残次品 ,则买下该箱玻璃杯 ,否则退回 ,如果顾客确实买下该箱 ,则此箱中确实没有残次品的概率为 ( ). 97 二 、填空题 1. E ：将一枚均匀的硬币抛三次，观察结果：其样本空间 . 2某商场出售电器设备，以事件 A 表示“出售 74 以事件 B 表示“出售 74 佳电视机”，则只出售一种品牌的电视机可以表示为 ；至少 出售一种品牌的电视机可以表示为 ；两种品牌的电视机都出售可以表示为 . 3设 A， B， C 表示三个 随机事件，试通过 A， B， C 表示随机事件 ， ；随机事件 A， B， . （ A） =P（ A+B） =事件 互斥，则 P（ B） = ；若事件 独立，则 P（ B） = . 的概率 P（ A） =机事件 （ B） =（ B|A） = P（ = 、 P（ = . 、 P（ A） =P（ = P（ = . 7 )(,0)(,41)()()( , 全不发生的概率为 . 、 （ =P（ ，且 P（ A） =p,则 P（ B）= . 、 个随机事件，则 ( ) ( ) ( ) ( ) P A B A B A B A B = . 11设两两相互独立的三事件 A 、 B 和 C 满足条件： 21)()()( 已知 169)( _)( 0个正品和 2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 . 0个乒乓球，其中 20个是黄球， 30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 . 14将 C、 C、 E、 E、 I、 N、 个字母随机地排成一行，恰好排成 . 15 设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1%和 2%，现从由 A 和0%和 40%的一批产品中随机抽取一件，发 现是次品，则该次品属于 . 0件产品有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是 . 两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 它是甲射中的概率是 . 18 假设一批产品中一、二、三等品各占 60%， 30%， 10%，从中随意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是 . 19一种零件的加工由三道工序组成，第一 道工序的废品率为1p，第二道工序的废品率为2p，第三道工序的废品率为3p，则该零件的成品 8 率为 . 20做一系列独立试验，每次试验成功的概率为 p，则在第 . 第二章 随机变量及其分布 一、选择题 , ,0)( ( ). A. . 对立 )=0或 P(B)=0 服从参数为 的泊松分布，且 ,21 2 值为 ( ） . A. 2e e e e . 服从 5,1 上的均匀分布 ,则 ( ). 3 140 1 ,4,( ( ). A. )1,0(4 )1(12 D. 0 的密度函数为 其他,010,2)( 以 的三次独立重复观察中事件 21 （ ） . A由于 其函数 B 既不是连续 型的，也不是离散型的 C6492 )21,3( 1,951),3(),2( 若( ). 的 概率 密度函数为 ( ) , 2 3Xf x Y X 则的密度函数为( ). A. 13()22X B. 13()22X C. 13()22X D. 13()22X 的密度函数 )(满足条件 ( ). A. 1)(0 B. )(偶函数 C. )(调不减 D. ( ) 1f x d x 1,1( 记其密度函数为 )(分布函数为 )(则 ( ). A. 0 0 P X P X B. )(1)( C. 1 1P X P X D. )()( 10. 设 )5,(),4,( 22 记 ,5,4 21 ( ). A. 21 B. 21 C. 21 2P 大小无法确定 ,( 2随着 的增大 , | ( ). 机变量 X 的概率密度函数为 ( ) , ( ) ( ) , ( )f x f x f x F x是 X 的分布函数 ,则对任意实数 a 有 ( ). A. a (1)(B. a (21)( C. )()( D. 1)(2)( 10 的密度函数为 3 , 0 1() 20, 其 他，则 14 ( ). 2 C. 14 31 2 x d x ( 1 , 4 ) , ( 0 . 5 ) 0 . 6 9 1 5 , ( 1 . 5 ) 0 . 9 3 3 2 , | | 2 X N P X 则为 ( ). 服从参数为91的指数分布 ,则 93 ). A. )93()99( B. )11(91 3 13 D. 93 9服从参数 的指数分布 ,则下列叙述中错误的是 ( ). A. 0,00,1)(x ,0 有 |,0,0 有 D. 为任意实数 ,( 2下列叙述中错误的是 ( ). A. )1,0(2 B. )()( C. ( , ) ( ) ( ) a b D. )0(,1)(2| 服从 (1,6)上的均匀分布 ,则方程 012 实根的概率是 ( ). 0,2),2( 2 （ ） . 11 A ( , )N ，则随 的增大，概率 | | （ ） . 单调增大 单调减少 保持不变 增减不定 二、填空题 1随机变量 X 的分布函数 )(事件 的概率 . 2已知随机变量 X 只能取 0， 1， 2 四个数值，其相应的概率依次是61,81,41,21，则 c 3当 a 的值为 时， ,2,1,)32()( 的分布列 . 4一实习生用一台机器接连独立地制造 3个相同的零件，第 i 个零件不合格的概率 )3,2,1(11 i，以 X 表示 3 个零件中合格品的个数，则 _)2( 5. 已 知 X 的 概 率 分 布 为 1，则 X 的分布函数)( . 变 量 X 服从 参 数为 的 泊松 分 布， 则 X 的分 布 列为 . 7设随机变量 X 的概率密度为其它,06,3,921,0,31)( 若k 使得 32 则 k 的取值范围是 . 12 8设离散型随机变量 X 的分布函数为： 2,21,3211,1,0)(且21)2( _, _. 9设 5,1 当 51 21 ， )( 21 = . 10设随机变量 ),( 2则 X 的分布密度 )( Y 的分布密度 )( . 11设 )4,3( 则 72 . 12若随机变量 ),2( 2且 2( 则 _)0( . 13设 )2,3( 2若 )()( ，则 c . 14. 设某 批 电 子 元 件 的 寿 命 ),( 2若 160 ， 欲 00120( 允许最大的 = . 的分布列为 1，则 12 分布列为 . ，）的二项分布，随机变量服从参数为（，）的二项分布，若 ，则 . ，）上的均匀分布，则随机变量 2，）内 的概率密度为 () . ( , ) ( 0 )N ，且二次方程2 40y y X 无实根的概率为，则 . 13 第三章 多维随机变量及其分布 一、选择题 相互独立 ,且都服从 1,0 上的均匀分布 ,则服从均匀分布的是( ). A.(X,Y) Y ,Y 独立同分布 , 11 1 1 , 1 1 ,22P X P Y P X P Y 则（ ） . Y B. 0 1 (1 )(2 别是随机变量 X 与 Y 的分布函数 ,为使)()( 21 是某个随机变量的分布函数 ,则 的值可取为 ( ). 3 2 1 1 121 0 1 ( 1 , 2 ) 0 1 ,1 1 14 2 4iX i X X 且 P X X( ). ). 但边缘分布可能相同 X,Y) 的联合分布为 : 则 应满足 ( ). 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 a b X Y 14 A 1 B. 131 上题，若 X， （ ） . 2 1 1 2 ,分别以 X,Y 表示第 1 颗和第 2 颗骰子出现的点数 ,则 ( ). A. 1 , , , 1 , 2 , 636P X i Y j i j X,Y)的联合概率密度函数为 其他，0,6),( 2 ,则下面 错误的是 ( ). A. 10 B. 0 0 不独立 X,Y)落在 ( , ) | 0 1 , 0 1 D x y x y 内 的概率为 1 设 则下列结论中错误的是 ( ). A. ( , ) ( , ) Y G f x y d x d y ( , ) 6 Y G x y d x d y C. 1200 6 Y d x x y d y D. x d ,()(X,Y)的联合概率密度为 ( , ) 0 , ( , )( , )0,h x y x y Df x y 其 他,若 ( , ) | 2 G x y y x为一平面区域 ,则下列叙述错误的是 ( ). A. , ) ( , ) Y G f x y d x d y B. ,(102C. ,(02D. ,(2X,Y)服从平面区域 若 并以S 分别表示区域 G 和 D 的面积 ,则 下列叙述中错误的是( ). 15 A. ( , ) Y D S B. 0),( 1),(D. ( , ) 1P X Y G 是由两个相互独立的子系统 1 与 2 连接而成的 ;连接方式分别为：（） 串联；（）并联；（）备用 (当系统 1 损坏时 ,系统 2 开始工作，令 21,别表示 21 和 的寿命，令321 , 则错误的是 ( ). A. 211 B. ,212 D. ,211 X,Y)在矩形 10,20|),( 服从均匀分布 2,12,0;,1,0 ). X,Y)服从二维正态分布 ),( 222121 N ,则以下错误的是( ). A. ),( 211 B ),( 221 ,则 X,(),( 222211 ( , )一定服从二维正态分布 ,(),( 222211 且 X,则 ( ). A. )(,( 22121 B. ),( 222121 C. )4,2(2 222121 D. )2,2( 222121 17设 X， 都服从标准正态分布 (0,1) N ，令 ,22 则 ） . 16 A N（ 0， 2）分布 的 瑞利 分布 ,1)分布 量4321 , 0 0 1 0 ( 1, 2, 3, 4)i ， 记 1234则 0 ） . ( 3,1)， (2,1)且 ,记 2 7 ,Z X Y ). A. )5,0(N B. )12,0(N C. )54,0(N D. )2,1(N s i n ( ) , 0 , ,( , ) ( , ) 40,C x y x f x y 其 他则 ). 12 D. 12 其他,020,10,31),(),( 2 则 1 ( ) 其他,00,),( )32( X,Y)的联合密度 ,则 ). ,Y 相互独立 ,则它们的连续函数 )( )(确定的随机变量 ( ). 17 为 a 的线段上随机地选取两点 ,则被分成的三条短线能够组成三角形的概率为 ( ). 服从 0 1分布 , 6.0p , 的泊松分布 ,且 X, ( ). 的概率为 0 ,1,0 上的均匀分布 ,令 ,则 ( ). 1,0 上的均匀分布 B. 0 2,0 上的均匀分布 D. )1,0( ,且 2,0 上的均匀分布 , 的指数分布 ,则 ). A. )1(41 4414e 设 其他,010,20,23),(),( 2 则 (X,Y) 在以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点的三角形内取值的概率为 ( ). A. ,Y 独立 ,且分别服从参数为1和2的指数分布 ,则 , 1211 ). A. 1e B. 2e C. 11 e D. 21 e 2 ( 5 ) 8 ( 5 ) ( 3 ) 2 5 ( 3 ) ( , ) ( , ) x x y f x y A e ,则 ). 18 .3C. 2 的时间均匀分布在 8 点 12 点 ,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在 7 点到 9 点 则他们到达办公室的时间相差不超过 5分钟的概率为 ( ). , , 服从 ),( 2N ,则 ( ). X B. 2121 ( ) ( , ) X C. )34,32(32 21 D. ),0( 222121 , ) 0 , ( , )( , ) ( , )0,g x y x y f x y 其 它,D 为一平面区域 ,记 G,D 的面积为 ,S,则 ( , ) P x y D =( ). C.,(D.,(二 、填空题 1 ),( 二维连续型随机变量，用 ),( 联合分布函数 ),( 示下列概率： （ 1） ;_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _),( （ 2） ;_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _),( （ 3） ;_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _)0( （ 4） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _),( 2随机变量 ),( 分布率如下表，则 , 应满足的条件是 . 19 X Y 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 1/2 3设平面区域 及直线 2,1,0 所围成，二维随机变量 ),( 区域 D 上服从均匀分布，则 ),( 联合分布密度函数为 . 4 设 ),(),( 22121 则 相 互 独 立 当 且 仅当 . 、 P（ X=0） =1/2， P（ X=1） =1/2，则随机变量 Z=,Y的分布律为 . 6设随机变量 321 , 互独立且服从两点分布 0，则 31i 分布 . 和 Y 是两个随机变量，且 PX 0， Y 0=3/7，PX 0=PY 0=4/7,则 PX， Y） 0= . 服从参数为 ( 0) 的泊松分布 ，每位乘客在中途下车的概率为 p(0p1),且中途下车与否相互独立 表示在中途下车的人数，则在发车时有 途有 ；二为随机变量（ X， Y）的概率分布为 . 服从参数为 1/5 的指数分 20 布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障时工作 2小时便关机，则该设备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数 . 与 P（ X=P（ Y=1/2，P（ X=1） =P（ Y=1） =1/2，则 P（ X=Y） = ； P（ X+Y=0） = ； P（ ） = . 21 第四章 随机变量的数字特征 一、选择题 1 ( ) 1 , ( ) 3E X D X ，则 23( ) 2 0 =（ ） . A. 18 D. 32 2. 设 二维随机向量 (X,Y)的概率密度函数为 () , 0 , 0( , )0,x yf x y 其 它， 则 ()E ( ). A. 0 D. 1 3. (X,Y)是二维随机向量 ,与 0),( 等价的是 ( ). A. )( B. )( C. )( D. 独立 4. X,且方差均存在 ,则 )32( ). A. 2 B. 4 C. 4 D. 2 5. 若 X,则 ( ). A. )3( B. )( C. 0 D. 1 ),( 则下列结论中正确的是 ( ). A. X, B. ()D X Y D X D Y C. )( D. )( 为两个随机变量 ,且 ,0)( X,Y( ). A. 独立 B. 不独立 C. 相关 D. 不相关 )( 则以下结论正确的是 ( ). A. X, B. X, C. 1D. 1 22 ). A. )( B. )( C. ( , )C o v X a X b a D X D. 1)1( ). A. ),(2)( o B. ( , ) ( )C o v X Y E X Y E X E Y C. )(21),( o v D. ),(694)32( o ). A. 22 )( B. )32( C. 3)3( D. 0)( 服从二项分布 , 2 . 4 , 1 . 4 4E X D X,则二项分布的参数为( ). A. B. C. D. 4 13. 设 0, 2 则对任何常数 c,必有( ). A. 222)( B. 22 )()( C. 2)( D. 22)( 14. () ( , ) ,() n p 则( ). A. n B. p1 C. p D. p11 23 的概率分布律为 1 , 1 , 2 , , ,P X k k ()( ). A. )1(121 2 )1(121 2 2)1(12 n D. 2)1(121 随机变量 0,00,101)( 10)12( ( ). A. 1104B. 4 10 14 C. 21 D. 20 与 服从同一正态分布，数学期望为 0，方 差为 1，则（ X， Y）的概率密度为（ ） . A. 22()21( , )2x y e B. 22()21( , ) 2x y e C. 2()21( , ) 2x y e D. 2241( , )2x y e 2,0 上的均匀分布 ,则 ). A. 21B. 121 19. ,),1,0( 3则 ). A. 2 B. 0 D. 若12 , ( 0 , 1 ) , 1 , 2 , X X N i 则 ( ). A. B. C. (0,1) D. (0, 2)21. 设 2( , ) , ( , )X b n p Y N ，则 ( ). A. 2( ) ( 1 )D X Y n p p B. ()E X Y n p C. 2 2 2 2 2()E X Y n p D. 2( ) (1 )D X Y n p p 22.将 n 只球放入到 M 只盒子中去 ,设每只球落在各个盒中是等可能的 ,设