《应用泛函分析》习题解答

1 泛函分析与应用 第 一 章 第 一 节 3 设 中的 ，证明 kk 证明： 0 ，0N，当0, 时，有 妨 设mn ，则0, , 。取0 则 有0 ,0 n ，令 ,m a x 0021 NN ，则1 , 6 设 是 间， 中的点列满足 1k 此时称级数 1k 对收敛），证明存在 x ，使 1此时记 x 为 1k 即 1k . 证明：令 nk 于 1k 对收敛，则它的一般项 0此 0 ，总0N，当0, 时，有 所以 中的 ，又因为 是 间，则必存在 x ，使得 11 9 （ ）设 A 是线性空间 的非空子集，若 A 中任意多个元素都是线性无关的，则称 A 是线性无关的。若 A 是线性无关的，且 则称 A 是 是的一个 。此时若 A 是无穷集，则称 是无穷维的；若 A 是有限集，则称 是有限维的，并定义 的维数为 A 中所含有的元素个数。通常用 示 的维数，并约定当 0 时， 0 ，可以证明任何线性空间都存在 明酉空间 维数为 n ，并问当视 实线性空间时，其维数是多少？ 证明：设 , ， C, ，则有 。令)0,0,1,0,0( 项共项第e，则对任意的 ),(21 ，必有 nk 因此 , 21 是空间 当视 实线性空间时，可令基为 ,11 nn ii ，则对任意的),( 21 ，有 nk ( e( 所以 。 10 证明 ,这里 。 证明：取 ,0,)( ，只需证 ,10 此对0n ，令 01nk 则 00!01 求导 。因此必有011nk 求该式求 1n 导后有 00)!1( 11 nn 依次类推，有001 ，所以对任意的 0n ，都有 , 10 线性无关，即, 第 二 节 2.（点到集合的距离）设 A 是 的非空子集， x 。定义 x 到 A 的距离为： |in f ),( 证明： 1) x 是 A 的内点 0),( ； 2) x 是 A 的孤立点 Ax ，且 0),( ； 3) x 是 A 的外点 0),( 解： 1 ）必要性： x 是 A 的内点 内点的定义 ，使得 2 A ),( x ),( ，都有 0|i n f ),( 充分性： 0),( 距离的定义 ，使得 ),( ，使得A ),( x 内点的定义 x 是 A 的内点。 2 ） 必要性： x 是 A 的孤 立点 孤立点的定义 Ax ，且 ，使得),( A Ax ，且 ，使得 /),( 距离的定义 Ax ，且 0),( 。 充 分 性 ： Ax ，且 0),( 距离的定义 ，使得 /),( ，使得 ),( A 孤立点的定义 x 是 A 的孤立点。 3）必要性： x 是 A 的外点 外点的定义 ，使得 A),( x Ay ，都有 0|in f 离的定义 0),( 充分性： 0),( 离的定义 ，使得 A),( x 外点的定义 x 是 A 的外点。 3 设 A 是 中的非空闭集，证明： Ax 0),( 解 ： 必 要 性 ： Ax Ay ，使得 0|i n f 离的定义 0),( 充分性： 0),( 离的定义 0|in f A 得 是闭集A Ax 。 7 举例说 明无穷多个闭集之并不一定是闭集。 解： 1)1,011,0k k。 8 证明 。 证明：设 Ax A 得 。若 有无穷项互异，则Ax ；否则有无穷多相取同一个值，则 Ax ，由此可知： x ，则 。另一方面，由于 且 ，所以 。综上所述，有 。 9 证 明 ： 1 ） A 的 内 部 是 含 于 A 的 最 大 开 集 ， 即|in t 是开集，且 ； 2） A 的闭包是包含 A 的最小闭集，即 | 是闭集，且 。 证明： 1）设 G 是含于 A 的最大开集，则 AA GA设Gx 是开集G ，使得 G ),(x ，使得A ),(x 内点的定义 x 。所以 AG 。综上所述， AG ，则表明 A 的内部是含于 A 的最大开集。 2）设 G 是包含 A 的最小闭集，且 。设 Ax A 得 G 得 是闭集G Gx ，所以 。综上所述， ，则表明 A 的闭包是包含 A 的最小闭 集。 10 利用习题 9 的结论证明： 1） )( A ， 2） )()(A 。 证明： 1） A )( 。 c)(A 是开集，而由习题 9 的结论可知， )最大开集，所以 )( A 。 此外，设 ) ，而 (A 。由 ) 是开集) ，使得 3 A in t),( ，使得 A),(x 。 （ 1） 而由 (A Ax ，都有 A),( x ，此与（ 1）式矛盾，故(A ，所以 () 。综上所述，有 )( A 。 2） AA )A 。这表明 )包含 闭集，而由习题 9的结论可知， )( 包含 最小闭集，所以 ( 。 此外，设 (。由 ( x 是开集 ，都有A ),( x ，都有 ),( 。特别有 c ,)1,( A ，因此取 )1,( A，所以有 且 ，故 )( ，所以 )()(A 。综上所述，有 )()(A 。 12 设 )2,0(s 2,0(|),( A。试写出 )A ， A 及 解： s 2,0(|),() A ； )2,0(s 2,0|),( A ； A 的孤立点 )2,0( 。 13 设 A 、 B 、 C 均是 的子集，且 ，证明： 1）若 A 在 C 中稠密，则 A 在 B 中稠密 ； 2）若 A 不 B 中稠密，则 A 不在 C 中稠密。 证明： 1） A 在 C 中稠密 Cx ，存在 A得 Bx ，存在 A得 中稠密。 2） A 不在 B 中稠密 Bx 和 ，使得 A),( x Cx 和 ，使得 A),( x A 不在 C 中稠密。 第 三 节 2 设 T ， G ，且 ，证明： )()()( 111 。 证明：设)(1D)(1D)()()( 111 ； 另一方面，设)( 11 D )(1D D)( )()(1D )()()( 111 。 综上所述， )()()( 111 。 4 设 1: ， 0，证明： 1） T 在0 只要 满足0，则0k ； 2） T 在0 对于任意 0 ，存在 0 ，使 ),(),(00 。 证明： 1）必要性：若 ，且0xx k 对于任意 01 ，存在0N，使得当0，有 ),(10 xx k 。再由 T 在0 对于任意 02 ，存在 0 ，使得当 ),(0 ， ),(20 。若取 1 ，则表明对于任意 02 ，存在0N，当0，有 ),(20 k ，因此0k 。 充分性：0对于任意 0 ，存在0N，使得当0，有),( 0 ； 0k 对于任意 0 ，存在 1N ，使得当 1时，有 ),(0 k ，显然对于特定的 ，也存在 1N ，使得当 1时，有 ),(0 k 。因 4 此取 ),0 ，对于任意的 0 ，存在 0 ，使得当 ),(0 ，有 ),(0 ，所以 T 在0 2）必要性： T 在0 对于 0 ，存在 0 ，使得当 ),(0 时，有 ),(0 。所以对于 ),(0 ，都有 ),(0 ，因此 ),(),(00 。 充分性：设 ),(0 ),(),( 00 ，由条件可知，0 ，存在 0 ，使得当 ),( 0 时 ，都有 ),( 0 ，由 T 连续的定义可知， T 在0 5 （集合的边界）称集 AA 为集合的边界，记为 A ，并称 A 中的点为 A 的边界点。证明： 1） ，即 A 的任何领域内既有 A 的点，又有 点； 2） Ax 0),( 0),( 。 证明： 1） 必要性： Ax Ax 且 。由 Ax A 得 ，存在 0N ，使得当 0时，有 ),( x 的任何领域内既有 A 的点。由 存在 ，且 ，存在 1N ，使得当 1时，有 ),( 点。 充分性：显然成立。 2） 必要性： Ax Ax 且 。由 Ax A 得 ，而 0),( AA 连续性 。由 ，使得 ，而 0),( A 的连续性 。 充 分 性 ： 由 0|in f ),( AA A 得 Ax 。 由 0|in f ),( cc A ，使得 。所以， A Ax 。 6 验证例 4 中构造的泛函 f 满足题给条件。 已知：),(),(),()(211 ， 1F 和 2F 是 中互不相交的非空闭集。 验证：由于 0),(,0),( 21 FF 1),(),(),(0211 当1Fx 时， ( ) 1； 2Fx 时， ( ) 0。 9 证明开集总可以表示为可列个闭集之并，而闭集总可以表示为可列个开集之交。 证明： （ 1）设 F 是闭集，不妨设 F 。令 1),(| )1( 是 1n 另一方面，设 1 )1( nx 即)1(,1),( 的连续性 0),( F Fx 。因此 1n n。综上所述， )(1的可列交 n n。因此闭集总可以表示为可列个开集之交。 （ 2 ） 利 用 （ 1 ） 中 的 结 论 以 及 式 ， 可 得 ：)(1的可列并 显然 开集， 闭集，这表明开集总可以表示为可 列个闭集之并。 10 设 1, 均是实赋范空间， 1: T 是连续映射，且满足可加性：对任意 5 ，恒有 )( 。证明： T 是线性算子。（提示：注意到非零有理数 r 形如 ， n 与 m 互质），先对有理数 r 说明)()( ，然后利用连续性。） 证明：令 )( 为（ 1）式。则在（ 1）式中，当 0 ，有 00T ；当 时，有 )( ，令此式为 （ 2）式。此外利用（ 1）式还可得：1,)( 令 此 式 为 （ 3 ） 式 。 又1),1()1( )3( 1),1(1 ( )1,(),( ，且 0r ，有 )(式)2( ，有 )( ，令此式为（ 4）式。 由 Q 在 R 中稠密 R ， ，使得 此 )( 续 )。 由 ,)()( T 是线性算子。 第 四 节 2 设 , 示定义于 , “直至 k 阶连续导数”的函数 )(全体，按通 常 函 数 的 加 法 与 数 乘 ， , 线 性 空 间 。 对 , k ，)(0 ，其中 )()0( 示 )(则 , 为赋范空间。证明它是 间。 证明： （） 证明赋范空间。 正定性与绝对齐性是显然的。下证此范数满足三角不等式。 设 , k ，则 )()(m )(m ()(0)()(0 )(m m (0)(0。所以按 此范数它是赋范空间。 （）证明完备性。 设 , 的 。则 0 ，0n，当0, 时，有 mn 即 )()(m a x )()(0（）式。特别的，对于每个i ，（）式都成立。所以 )( , 的 。于是 , 使0)()(ma x )( 所以 )()( 致收敛到 )( 当 0i 时有， 1(1(00 d)()()( 莱公式 ta y d)(1 ，所以 )()( 1)1(0 。 同理可得：当 1i 时，有 )()()1(1 。最终有 ,)()()(0 ，所以 ,)(0 k。 综上所述，它是 间。 5 设 A 、 B 是赋范空间 的子集，且 ，证明： （） 若 A 是第二纲集，则 B 必是第二纲集； （） 若 B 是第一纲集，则 A 必是第一纲集； 证明：先证明（）。 B 是第一纲集，则 1n 其中 稀疏集。令 ，则 是稀 疏的。下面来证 1n 设 Ax ，按 定 6 义必有 1n ，则 1n 另一方面，设 1n ，则必存在 0n ，使得0，按x ，所以 1n n。由此可知： 1n 所以 A 必是第一纲集。 （） 若 B 必是第一纲集的话，按（）中的结论可知 A 必是第一纲集，此与 以 A 是第一纲集。 6 设 A 是赋范空间 中的闭集，且 A 不是稀疏集，证明 A 必包含 中某个闭球。 证明： A 不是稀疏集 存在 中某个开集 G ，使得 A 在 G 中稠密。取0, ，使得 G),( 所以有 闭),( 7 设 A 是赋范空间 的真闭子空间，证明 A 是 中稀疏集。 证明：由习题 6 的结论可知：如果 A 不是稀疏集，则 0,0 得A),( 0 因此 x ，有 A ),(00 则是 子 空 间 ( 0 ，所以 A ，此与 A 是 的真闭子空间矛盾。由此可知： A 是 中稀疏集。 8 证明 , , 的第一纲集。 证明：用 , n 的多项式，则 , , 真闭子集，由习题 7 的结论可知 , , 稀疏的。又 1,n 这表明 , , 的第一纲集。 第 五 节 1 证明紧集必是完备子集。 证明：设 A 是紧集，且 中的 列。则 0 ， 00 N，使得当0, 时，有 lk 因为 A 是紧集，则 A0x，使得0xx 。因此当0时，也有 i 0此可知： 且极限为 A0x。则 A 是完备子集。 2 证明紧集的闭子集是紧集，紧集必是闭集。 证明：设 A 是紧集，且 是闭集。 B A紧集A A 使得 0xx B 子列 使得0xx （ 1）式。 又因为 B 是闭集，则 B0x （ 2）式。 由（ 1）（ 2）式可 知， B 是紧集 紧集的闭子集是紧集。 设 A 是紧集。 A 0是紧集A A 得1xx ，且A1x 。由收敛序列的极限与其子列的极限一致，可知 A 10 由此可知 3 证明列紧集的闭包是列紧集，因而列紧集的闭包是紧集。 证明：设 A 是列紧集。 A 接触点的性质，存在 A得1,1 （ 1 ）式。 A 列紧A A 使得0式)1( A 0xx 。因此 A 是列紧的。又 A 式闭集，则 A0x ，所以 A 是紧集。 4 证明：若 K 是紧集， ，则 K 也是紧集。 证明： K 是紧集 K 子列 得0，且K0x K 子列 ， 使 得 0xx ，且 7 K 0x K 是紧集。 5 证明紧集的有限并是紧集，紧集的任意交是紧集。 证明：设 ,21 是一列有限的紧集，记 ni P 则必存在整数 )1( ，使得为。由 子列 得0xx ，且0。因此 P 存在它的子列0 xx ，且 P0x。所以紧集的有限并是紧集。 设 1| 1n Q 则对任意整数 )1( 都有。由 子列 得0xx ，且)1(0 jx 即 1n P 。因此 P 都存在它的子列0 xx ，且 P0x。所以紧集的任意交是紧集。 6 设 中一列不增的非空紧集，证明 1n 若将条件中“紧集”改为“闭集”，试问结论是否成立？ 证明：由取。再由题意知 1，则)1( 。显然 11 K 由 1K 是紧集，则 1l 的子列 )1(使得 )1()1( ，且 1)1( Kx ；此外取21)1(2 K n，由 2K 是紧集，则 2l 的子列 )2(得 )2()2( ，且 2)2( Kx 。由收敛序列的极限与其子列的极限一致，则 )2()1( ，且 21 x 。依此类推，当 2i 时，有 , 11)1( ，子列 )(得 )()( ，且)(。 由 收 敛 序 列 的 极 限 与 其 子 列 的 极 限 一 致 ， 则 )()1()2()1( 。由此可知： 1n ，则 1n 7 设 A 是 中的非空紧集，映射 1: T 连续，证明 )( 1 中的紧集，即紧集的连续像仍是紧集。 证明：设 (的序列，由像与原像的性质，可知 A 由 A 是非空紧集，可知存在子列0 xx ，而 T 是连续的，则00 )()( ii ，因此 )( 1 中的紧集。 8 设 A 是 中的紧集，映射 1: T 连续，证明 T 在 A 上一致连续，即对于任何 0 ，存在 0 ，当 A，且 ，恒有 证明：用反证法。 0 ， 0 ，当 A ，且 有 不妨取 ，则 （）式。由于 紧集 A 中的序列，则必存在子列0 xx ，由（）式可知，0 xy 。再由 T 的连续性，则 000 与 以 T 在 A 上一致连续。 9 设 A 是 中的非空紧集，泛函 :f 连续，证明 f 在 A 上有界，且 f 在A 可达到其最大值和最小值。 证明：由习题 7 结论可知， )(紧集，则 )(有界。设 )(，则必 存在一列 A得 )(kk A 是紧集，则 A0x，使得0xx 。 由 f 的连续性，存在 )( )()(0 ，使得 )()(0。由此可知： A )()( 同理可证：存在 )()(i n f 1 8 11 设 K 是 中的非空紧集， 0x，证明存在 K0,(000 。 证 明 ： 显 然 泛 函 :d 连 续 ， 且 K 是 非 空 紧 集 。 再 由)|in f (),( 00 根据习题 9 的结论可知：必存在 K0y ，使得 ),(000 。 第 六 节 5 设 ),2,1,( 是一组实数，满足条件 1)(1,2 ，其中0,1 。 证 明 代 数 方 程 组 ),2,1( ,1对任何 ,( 都存在唯一 解。 分析：代数方程组 ),2,1( ,1等价于 ， 其中 A， ,( x。显然 ，证明解的唯一性等价于证明映射 ( T 有唯一的不动点。 证明：令 R : 的映射为 ( T ， 1)(1,2 。 21121122 )(,)(,)()( 21 1212)1(121)()()()( ( 。所以 10 , T 。 上述推导过程中，（ 1）应用了许瓦尔兹不等式，（ 2）利用了条件。 由 T 是压缩映射，且 完备子空间，由压缩映射原理可知： T 存在唯一的不动点。 6 已知 1,0C ，证明函数方程 )()(s 在 1,0 上存在唯一的连续解。 证明：令 1,01,0: 为： )()(s ( 。 2 )()(s i ()(co s)(s i n)(s i ()( 2 )()(s i nm a ()(c o sm a ()(s i ()(c o s 1,01,0 )()(21)()(m a ()(s i nm a x 1,01,0 。 所以 T 是 1,01,0 上的压缩映 射，且 1,0C 是完备的。由压缩映射原理可知：映射 T 存在唯一的不动点 1,0)(0 。 7 设 ),( 足 1| i 证明无穷代数方程： ij ，对任何 )( )(。 证 明 ： 令 A， )(kxx， 11 方 程 组 ij 等价与。 令 : 为 T 。则对 )(kx(ky )( 1 11 11 1 )( j i j j 9 111s 10 。 由上述推导可知 T 是压缩 上的压缩映射，又 l 是完备的。所以 T 在 l 上有唯一的不动点。 8 （第二类 程解的存在唯一性）设有线性积分方程： b a d)(),()()( ， 其中 ),(2 ， 是参数，积分核 ),( , 上连续，且满足： ba ba ( 2 ， 则上述积分方程对绝对值充分小的 ，在 ),(2 存在唯一解。（ 提示 ：令 1,|),(m a x )( 1 。） 证明：令 ,: 22 为： b d)(),()()( 。则 212 ()()(,(d)()()(,()()( ba 2122)1(212 )(d),()(),( ba ba ba 212212212 (d)()( 。 上述推导过程中，（ 1）利用的 等式。 令 1,|),(m a x 则 2122212 )( )( 。显然，如果 )( 1 ， 则 10 。所以 T 是,: 22 上的压缩映射，又因为 ,2 完备的，所以 T 在,2 在唯一的不动点。 9（ ),( , 上连续，则 )(d)(),()( 对任意 , 及任何参数 都存在 唯 一 的 连 续 解 （ 提示： 令 ,|),(m a x ，映射,: 为 )(d)(),()( ta 。 然后用归纳法说明1212 !/)()()( 。取 !/)( 。 在利用定理 4。） 证明：令映射 ,: 为 )(d)(),()( ta ，且,|),(m a x 。 利用数学归纳法：当 1n 时， a 12a 1212 d)()()(,(m a ()()(,()()( 1212a 12 )(d)()(m a )(),(m a x ta 设121111121 )!1/()()()( ，则： )()()()( 112112 t a 1121a 1121 d)()(m ()(),(m ta nn d)()!1(d)()( 112a 1121 10 12!)( 。 因此当 n 充分大时， 1!/)(0 。所以 , 上的压缩映射，又 , 完备的，所以 , 有唯一的不动点。由书上的定理 4 可知： T 在 , 有唯一的不动点。 第 七 节 2 设 )(t 是 , 的实函数，对 , ，令 , ),()()( ，证明 ,( 等价于 , 。 证明：充分性显然。下证必要性。令 1)(0 )()(0 ，由于,)(0 ，且 ,( ，则 ,)()( 0 。 3 定义 1,01,0: 为 10 d)()( 定义 1,01,0: 为)()( ，试问 S 与 T 是否可换（即 ）？并求 S ， T ， 。 注：定义域空间中的范数为： 10 d)()( 域空间中的范数为：)(m 1,0 t 。 解： 102 d)()()()( 。 10 d)()()()( 。取 1)(0 则)()(2)()( 020 ，因此 S 与 T 是不可换。 （ 1 ） )()(m a x)(m a x)(m a x)()(1,01,01,0 ，所以1S ；又当 1)(0 ， 1)(0 故 1)(0 综上所述，1S 。 （ 2） 101,010101,010 d)(m a x)d)(d)(m a )( tt 1010 1,0 m a x ，所以 1S ；又当 1)(0 ， 1)(0 故 1)(0 上所述， 1T 。 （ 3 ） 1021,0101021,0102 d)(m a x)d)(d)(m a )()( 1010 1,0 m a x ，所以 1；又当 1)(0 ， 1)(0 故 1)()( 20 。综上所述， 1。 （ 4） 10 1,010101,010 d)(m a d)(m a )()( 1d)(m a (m a x( 101,010 1,0 ，所以 21 ；又当 1)(0 1)(0 2121d)()(100 。综上所述，21。 4 设无穷矩阵 )( 1定义 为：对 lx i )( ，)( ，其中 )( ,1 。证明： 1 证明： 1 1111111)s u p(s u ps u ps u p)(j 11 1j 所以 1j 另一方面，对任意固定的 10i ，令 (0 ，且 10 x 。则 110 000)s gn(j 由0以 11综上所述， 11 5 （ 型 积 分 算 子 ） 设 ),(),( 2 ，令,: 22 为： b a d)(),()( 。 证 明21a2 ( （ 提示 ：利用 等 式212212 d)(d)()()( 证明： 212),(),(d)(),()( 2122122)1( ( 所以 21a2 ( 上述推导过程中，（ 1）利用了 等式。 6 设 ),(),( ，定义 ,: 为： b a d)(),()( 。证明： d),(m a x 。 证明： d)(),(m a ),(m a ),()( aa d),(m m (m 所 以 d),(m a x 。令一方面，令 1)(0 则 1)(0 因此 d),(m a ( ；再令 1)(0 又 有 d),(m a ( 。由此可知： d),(m 综上所述， d),(m a x。 7 证明 上的非零线性泛函 f 不是连续的等价于 )f 在 中稠密。 证明：必要性： f 不连续