【侯亚君版本《概率论与数理统计》】1-3章习题解答

1 习 题 一 1写出下列随机试验的样本空间 S . 一枚硬币掷两次 ,观察朝上一面的图案 . 向蓝筐投球直到投中为止 ,记录投篮的总次数 . 公交车五分钟一辆 ,随机到车站候车 ,记录候车时间 . 解 1S 正 正 ， 正 反 ， 反 正 ， 反 反; 样本空间为 2 1, 2, 3, .； 样本空间为 3 05S t t . 2. 设 ,示三个事件 ,试用 ,示下列事件 . A 与 B 都发生 ,而 C 不发生 ; ,少有一个发生 ; ,发生 ; ,不发生 ; ,都发生 ; ,少有两个发生 ; ,最多有一个发生 . 解 A B C ; A B B C C A; A B B C C A或 A B B C C A. ,三个事件 ,计算下列各题 . 若 ( ) 0 . 4 , ( ) 0 . 2 5 , ( ) 0 . 2 5 ,P A P B P A B 求 B 发生 ,但 A 不发生的概率 . 若 ( ) 0 . 2 , ( ) 0 . 6 ,P A B P B ,求 , 若 ( ) 0 . 7 , ( ) 0 . 3 ,P A B P B ,求 A 发生 ,但 B 不发生的概率 . 若 ( ) ( ) ( ) 0 . 2 5 , ( ) ( ) 0 , ( ) 0 . 1 2 5P A P B P C P A B P B C P A C ,求 ,少有一个发生的概率 ; ,不发生的概率 ; C 发生 , , 2 若 111( ) , ( | ) , ( | ) ,432P A P B A P A B 求 , 若 ( ) 0 . 2 , ( | ) 0 . 5 , ( | ) 0 . 6 ,P A B P B A P B A 分别求事件 , 解 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 1 5 ,P A B P A P A B P A B B 发生 ,但 A 不发生的概率： ( ) ( ) ( ) 0 . 1P B A P B P A B ; ( ) 1 ( ) ( ) 0 . 2P A B P B P A B ; ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B ， A 发生 ,但 B 不发生的概率： ) 0 B； ( ) 0 ( ) 0P A B P A B C ， ,少有一个发生的概率： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 6 2 5P A B C P A P B P C P A B P B C P A C P A B C ； ,不发生的概率： ( ) 1 ( ) 0 . 3 7 5P A B C P A B C ； C 发生 , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 1 2 5P C A B P C P A C B C P C P A C P B C P A B C ; ( ) 1( | ) ( ) ,( ) 1 2P A A P A ( ) 1( | ) ( ) ,( ) 6P A B P ,1( ) ( ) ( ) ( ) 3P A B P A P B P A B ; ( ) ( )( | ) ( ) 0 . 4 ,()P A P A A P , ( ) ( )( | ) ( ) 0 . 5 6 )P B P A A P ,1,2, ,9 这十个数字中任意选出三个不同的数字 ,试求下列事件的概率 . 三个数字中不含 0 和 5; 三个数字中不含 0 或 5; 三个数字中含 0 但不含 5. 解 设事件 ,个数字中不含 0 和 5，则三个数字中不含 0 和 5 的概率： 3 383107()15 ； 三个数字中不含 0 或 的概率： 3 3 39 9 831014( ) ( ) ( ) ( )15C C B P A P B P A ; 三个数字中含 0 但不含 5 的概率： 33983107( ) ( ) ( )30 B P B P A . 个球随机地放入 4 个杯子中 ,求有球最多的杯子中球数是 1,2,3 的概率各是多少 . 解 设 事件 ,别表示 有球最多的杯子中球数是 1,2,3，则 有球最多的杯子中球数是 1 的概率是： 3433() 48； 有球最多的杯子中球数是 3 的概率是：341() 4 1 6；有球最多的杯子中球数是 2 的概率是： 9( ) 1 ( ) ( )16P B P A P C . 球中有 4 个是白色 ,8 个是红色 2 个球中随机地取出两个 ,求 下列事件的概率 . 取到两个白球 ; 取到两个红球 ; 取到一个白球 , 一个红球 . 解 取到两个白球的概率： 242121()11； 取到两个红球的概率： 2821214()33； 取到一个白球 , 一个红球的概率： 114821216()33。 0 件产品 ,已知其中有 4 件次品 ,从中随机取 5 件 ,求（结果保留三位小数） : 恰有一件是次品 的概率 ； 没有次品的概率； 至少 有一件是次品 的概率 . 解 恰有一件是次品 的概率： 144 4 6550( ) 0 . 3 0 8； 4 没有次品的概率： 546550( ) 0 . 6 4 7； 至少 有一件 是次品 的概率： ( ) 1 ( ) 0 . 3 5 3P B P B 。 8. 从 1,2, ,9 这九个数字中 ,有放回地取三次 ,每次取一个 ,试求下列事件的概率（结果保留三位小数） . 三个数字全不同 ; 三个数字没有偶数 ; 三个数字中最大数字为 6; 三个数字形成一个严格单调数列 ; 三个数字之乘积能被 10 整除 . 解 三个数字全不同的概率： 393( ) 0 . 6 9 19; 三个数字没有偶数的概率： 335( ) 0 . 1 7 19 ; 三个数字中最大数字的 概率： 33365( ) 0 . 1 2 59; 三个数字形成一个严格单调数列的概率： 3932( ) 0 . 2 3 09; 三个数字之乘积能被 10 整除的概率： 32 438 ( 3 ! 4 3 ) ( 4 3 ) 1 156( ) 1 0 . 2 1 49 7 2 9 。 已知两颗骰子点数之和为 7,求其中有一颗为 1 点的概率 . 解 设事件 ,颗骰子点数之和为 7，两颗骰子中有一颗为 1 点，则所求概率： 21()63P B A 10. n 个人排成一排 , 已知甲排在乙的前面 ,求甲乙相邻的概率 . 解 设事件 ,乙相邻， 则所求概率： ( ) ( 1 ! ) / ! 2() ( ) 1 / 2P A B n A P A n . 5 11. 已知在 10 件产品中有 2 件是次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样 , 求下列事件的概率 . 两件都是正品 ; 两件都是次品 ; 一件是正品 ,一件是次品 ; 第二次取出的是次品 . 解 两件都是正品 的概率： 2821028()45; 两件都是次品 的概率： 222101()45; 一件是正品 ,一件是次品的概率： 112821016()45; 设事件12,次取出的是次品，由全概率公式， 2 1 2 1 1 2 1 8 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 9 1 0 9 5P A P A P A A P A P A A . 个红球 ,4 个白球 ,从中取 3 次 ,每次取 1 个球 . 如果作 不放回抽样 ,求前 2 次取到红球 ,后 1 次取到白球 的概率 ; 如果取到红球 ,将红球拿出 ,放回 2 个白球 ,否则不放回 ,求前 2 次取到红球 ,后 1 次取到白球的概率 . 解 设事件 , 1, 2, 3示第 i 次取出红球， 前 2 次取到红球 ,后 1 次取到白球的概率：1 2 3 1 2 1 3 1 2 5 4 4 1 0( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 1 5 8 79 8 7 6 3P A A A P A P A A P A A A ； 前 2 次取到红球 ,后 1 次取到白球的概率： 1 2 3 1 2 1 3 1 2 5 4 8 1 6( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 1 69 1 0 1 1 9 9P A A A P A P A A P A A A 13. 8 支步枪中有 5 支已校准过 ,3 支未校准 中靶的概率为 未校准的枪射击时 , 中靶的概率为 支步枪中任取一支 ,求击中靶子的概率 ;若已知中靶了 ,求所使用的枪是校准过的概率 . 解 设事件 A 表示 击中靶子，事件 B 表示 校准过步枪，则 ( ) 0 . 8 , ( ) 0 . 3P A B P A B， 53( ) , ( )88P B P B， 6 5 3 4 9( ) 0 . 8 0 . 38 8 8 0 ; ( ) ( ) 40()( ) 4 9P B P A . 盒粉笔 ,其中的 3 盒 ,每盒有 3 只白粉笔 ,6 只红粉笔 ,记作第一类 ;另外 2 盒 ,每盒有 3 只白粉笔 ,3 只红粉笔 , 记作第二类 ;还有 1 盒 ,盒内有 3 只白粉笔 ,没有红粉笔 ,记作第三类 盒中任取 1只粉笔 ,求取到红粉笔的概率 ;如果知道取到了红粉笔 ,求红粉笔取自第一类的概率 . 解 设事件 A 表示 取到红粉笔，事件 , 1, 2, 3示在 第 i 类取 出的，则 1 2 363( ) , ( ) , ( ) ,96P A B P A B P A B3 6 2 3 1 0 1() 6 9 6 6 6 3 2 ; 1 2()3P B A . ,互独立，证明： C 与 互独立； C 与 相互独立 ; A 与 相互独立 . 证明： ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P C A B P C A B P C P A P B P C P A B ， C 与 互独立； ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )P C A B P C A C B P A C P B C P A B C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P C P A P B P A B P C P A B ， C 与 相互独立 ; ( ( ) ) ( ) ( ) ( )P A B C P A B C P A B P A B C ( ) (1 ( ) )P A B P C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P C P A P B C P A P B C ， A 与 相互独立 . 16 ( ) 0 . 5 , ( ) 0 . 8 ,P A P A B 计算 : ()P ()P A B . 解 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 . 6P A B P A P B P A P B P B ( ) ( ) ( ) 0 . 2P A B P A P B; ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 0 . 7P A B P A B P A P B . 若事件 A 的概率 ( ) 0,则 A 与任意事件独立 ; 7 若事件 A 的概率 0 ( ) 1,则事件 , 互 独 立 的 充 分 必 要 条 件 是( | ) ( | )P B A P B A . 证明 设 B 是任一事件，则 ( ) 0A B A P A B ，得 ( ) ( ) ( )P A B P A P B ， A 与任意事件独立； 必要性：若 事件 , ( ) ( ) ( )P A B P A P B ，有 ()( | ) ( )()P A A P ， ()( | ) ( )()P A A P ，因此， ( | ) ( | )P B A P B A 充分性：若 ( | ) ( | )P B A P B A ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 ( )P A B P B P A B P A B P A P P A ， 因此， 事件 , 18. 三个 人独立地去破译一份密码 ,他们译出的概率分别为 1 1 1,5 3 解 设事件 , 1, 2, 3示 第 i 个人独立地破译了密码，则 能译出此密码的概率： 1 2 3 1 2 3( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 . 6P A A A P A P A P A 自动报警器的电路即自动闭合而发出警报 ,我们可以用两个或多个报警器并联 ,以增加可靠性 这些并联中的任何一个报警器电路闭合 ,就能发出警报 ,已知当危险情况发生时 ,每一警报器能闭合电路的概率为 如果两个警报器并联 ,则报警器的可靠性是多少 ? 若想使报警器的可靠性达到 ,则需要用多少个报警器并联 ? 解 设事件 , 1, 2 , ,iA i n 表示 第 i 个 自动报警器能闭合电路 两个警报器并联 ,则报警器的可靠性是：1 2 1 2( ) 1 ( ) ( ) 0 . 9 9 8 4P A A P A P A ; 1 1( ) 1 ( ) 1 0 . 0 4 0 . 9 9 9 9 3nn P A n . 若想 使报警器的可靠性达到 ,则至少需要 3 个报警器并联 . 只蓝球 ,2 只绿球 ,2 只白球 ;乙盒子中装有 2 只蓝球 ,3 只绿球 ,4 只白球 8 求至少有一只 蓝 球的概率 ; 求有一只蓝球一只白球的概率 ; 已知至少有一只蓝球 ,求有一只蓝球一只白球的概率 . 解 至少有一只 蓝 球的概率： 3 2 3 2 5()7 9 7 9 9 ； 有一只蓝球一只白球的概率： 3 4 2 2 1 6()7 9 7 9 6 3 ； 已知至少有一只蓝球 ,则有一只蓝球一 只白球的概率： 16()35P B A 。 台同类型的供水设备 ,调查表明在一小时内平均每个设备使用 6 分钟 ,问在同一时刻， 恰有 2 台设备被使用的概率是多少 ? 至少有 2 台设备被使用的概率是多少 ? 解 恰有 2 台设备被使用的概率： 2 2 355 19( 2 ) ( ) ( ) 0 . 0 7 2 91 0 1 0； 至少有 2 台设备被使用的概率：551 ( 0 ) ( 1 ) 0 . 0 8 1 4 6 。 习题二 1 将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情况，记 X 为正面出现的次数 ,求 X 的分布律 . 解 311 0 ( ) ,28 123 1 1 3 1 ( )2 2 8P X C ， 223 1 1 3 2 ( )2 2 8P X C ， 311 3 ( )28 。 个小球和两个杯子 ,将小球随机地放入杯子中 ,随机变量 X 表示有小球的杯子数 ,求 X 的分布律 . 解 42 1 0 . 1 2 5 ,2 2 0 5 , 只球 ,编号为 1,2,3,4, 只 , 随机变量 X 表示取出的 3 只球中的最大号码 ,求 X 的分布律 . 9 解 351 3 0 . 1 , 2535 4 0 . 3 , 5 0 4 一球队要经过四轮比赛才能出线 ， 记 X 表示球队结束比赛时的比赛次数，求 X 的分布律 . 解 1 0 X 2 2 0 . 5 0 . 2 5 , 3 3 0 4 0 5 设每次试验成功的概率为 ,失败的概率为 1 . (1)将试验进行到出现一次成功为止 ,以 X 表示所需的试验次数 ,求 X 的分布律 (此时称 p 的几何分布 ). (2)将试验进行到出现 r 次成功为止 ,以 Y 表示所需的试验次数 ,求 Y 的分布律 (此时称 项分布 分布或巴斯卡分布 ). 解 (1) 1 , 1 , 2 , k p q k ； (2) 11 , , 1 ,r r k k C p q k r r 的分布律为 2 ( ) , 1 , 2 ,3 k A k 求 A 的值及概率 1 3. 解 121( ) 132 ， 19 1 3 1 2 3 27P X P X P X P X 0%已损坏 ,若从这批元件中随机选取 20 只来组成一个线路 ,问这线路能正常工作的概率是多少？ 解 设随机变量 X 表示 线路 中 电子元件损坏 的个数，则 ( 2 0 , 0 B ， 线路能正常工作的概率 ： 20 0 ( 0 . 9 ) 0 . 1 2 1 5 8 。 8 某高速公路每周发生的汽车事故数服从 参数为 3 泊松分布， (1)求每周 事故数 超过 4 个的概率； (2)求每周 事故数不 超过 3 个的概率 . 解 设随机变量 X 表示 事故数 ， 则 (3) (1)每周 事故数 超过 4 个的概率 ： 10 41 4 1 0 . 1 8 4 7 P X i ， (2)每周 事故数不 超过 3 个的概率 ： 31 3 0 . 6 4 7 2 P X i 。 9某城市在长度为 t （单位：小时）的时间间隔内发生火灾的次数 X 服从参数为 松 分布，且与时间间隔的起点无关，求下列事件的概率： （ 1）某天中午 12 时至下午 15 时发生火灾； （ 2）某天中午 12 时至下午 16 时至少发生两次火灾 . 解 (1) (P ，中午 12 时至下午 15 时发生火灾的概率： 1 . 51 1 . 5 0 . 3 3 4 6 9 5 ;P X e (2) (2) 中午 12 时至下午 16 时至少发生两次火灾的概率： 22 1 0 1 1 3 0 . 5 9 3 9 9 P X P X e 10 一工厂有 20 台机器，每台机器在某日发生故障的概率是 0 05，每台机器是否发生故障相互独立。 (1)用二项分布计算其中有 2 台机器发生故障的概率； (2)用泊松分布近似计算 2 台机器发生故障的概率。 解 设随机变量 X 表示 机器发生故障 的个数，则 ( 2 0 , 0 ) (1)有 2 台机器发生故障的概率 ： 2 2 1 8202 ( 0 . 0 5 ) ( 0 . 9 5 ) 0 . 1 8 8 7 C (2)用泊松分布近似计算 2 台机器发生故障的概率 ： 112 0 . 1 8 3 9 e 11 若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等于 有 10000 个人参加这类人寿保险，试求在未来一年中在这些保险者里面， 有 40 个人死亡的概率 ; 死亡人数不超过 70 个的概率 . 解 设 随机变量 X 表示 死亡人 数，则 (1 0 0 0 0 , 0 . 0 0 5 ) （ 1） 有 40 个人死亡的概率 4 0 4 0 9 9 6 0100004 0 ( 0 . 0 0 5 ) ( 0 . 9 9 5 ) 0 . 0 2 1 4P X C ； （ 2） 死亡人数不超过 70 个的概率 70 100001000007 0 ( 0 . 0 0 5 ) ( 0 . 9 9 5 ) 0 . 9 9 7k k C 。 11 12. 设 随机变量 X 的分布律为 X 0 2 4 求 随机变量 X 的分布函数 . 解 0 , 00 . 0 4 , 0 2()0 . 3 6 , 2 31 , 3 13. 设随机变量 X 的概率密度 ()22 1 , 1 10, 其 他, 求 随机变量 X 的分布函数 () 解 2210 , 1 0 , 12 1 1( ) 1 , 1 1 1 a r c s i n , 1 121 , 1 1 , 1x x d x x x x 。 14. 已知随机变量 X 的概率密度 (), 0 10,c 其 他(1)确定 常数 c； (2)求 分布函数 () （ 3）求概率 PX PX= 解 (1) 10111 2c d x ; (2) 00 , 0 0 , 01( ) , 0 1 , 0 12 1 , 11 , 1xx xF x d x x x xx ; (3) PX 2 0 . 5 ( 0 . 5 )2P X F ， PX=0. 12 的概率密度 , 0 1( ) , 1 20,x A x x 其 他（ 1） 确定 常数 A； （ 2） 求 分布函数 ()； （ 3） 求 概率 ) 解 (1) 1201 ( ) 1 2x d x A x d x A ; (2) 2012010 , 00 , 0, 0 1, 0 12()( 2 ) , 1 2 2 1 , 1 221 , 21 , 2d x d x x d x ; (3) 3( 0 . 5 1 ) ( 1 ) ( 0 . 5 )8P X F F . 的分布函数为 （ 1）常数 A， B； （ 2） 随机变量 X 的概率密度 )( 解 (1)1( ) 1 112 ,( ) 0 202B ； (2) 21 1 1( ) ( ) ( a r c t a n )2 ( 1 )f x F x x x . 在 2， 5 上服从均匀分布， 现对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率 . 解 随机变量 X 在 2， 5 上服从均匀分布 ， 233； 设随机变量 Y 表示 三次独立观测 中 观测值大于 3的次数，则 2 (3, )3 的概率： 2 2 33 2 1 2 2 02 ( ) ( )3 3 3 2 7P Y C 。 13 (小时 ) 服从参数为 1/2000的指数分布， (1) 任取一只这种灯管，求能正常使用 1000 小时以上的概率； (2) 有一只这种灯管已经正常使用了 1000 小时以上，求还能使用 1000 小时以上的概率 . 解 （ 1） 1 12000 2100011 0 0 0 0 . 6 0 72000 e d x e ； （ 2） 1121220002 0 0 0 1 0 0 0 0 . 6 0 71000PX X e （ 这是 指数分布的重要性质： “无记忆性 ”） . 19 从某地乘车往火车站有两条路线可走 ,第一条路线穿过市区 ,路程较短 ,但交通拥挤 ,所需时 间 X (50,100)N ； 第二条路线走环线 ,路程较远 ,但意外阻塞少 ,所需时间 Y (60,16)N . 若有 70 分钟时间可用 ,问应走哪条路线 ? 若只有 65 分钟时间可用 ,问又应走哪条路线？ 解 7 0 5 0( 7 0 ) ( ) ( 2 ) 0 . 9 7 7 210 ， 7 0 6 0( 7 0 ) ( ) ( 2 . 5 ) 0 . 9 9 3 84 ， 若有 70分钟时间可用 ,走线路一赶到的概 率是 走线路二赶到的概率是 走第二 条路线 . 6 5 5 0( 6 5 ) ( ) ( 1 . 5 ) 0 . 9 3 3 210 ， 6 5 6 0( 6 5 ) ( ) ( 1 . 2 5 ) 0 . 8 9 4 44 ， 若只有 65 分钟时间可用 , 走线路一赶到的概率是 走线路二赶到的概率是 走 第一 条路线 . 20. 设 1,2求 2的概率密度 解 2 2 411l n , ,22x e x y e y ed y y ； 14 1 , 1 20,X 其 他 241 ,20,ye y 其 他21. 设随机变量 X 的概率密度 其它,010),1(6)( 2 概率密度 )( 解 112 1 , , 1 322y d xy x x ； 1 1 1 36 (1 ) , 1 3 ( 1 ) ( 3 ) , 1 32 2 2 40 , 0 ,y y y 其 他 其 他22. 设随机变量 X 的概率密度 ,0()0 , 0 （ 1） 求 随机变量 的概率密度 () (2） 求 概率 (1 2) . 解 （ 1） 1l n , , 1x e x y yd y y ； 11( ) , 1y e ； （ 2） 2211( 1 2 ) 0 . 5P Y d . 23. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 服从同一分布， X 的分布律为 PX = 0 = P X = 1 )= 1/2， 求： Z = X, Y 的分布律 . 解 0 , 0 0 , 0 0 . 2 5P Z P m a x X Y P X Y 0),m a x( 5 习题三 1. 设随机变量 X 在 1， 2， 3， 4 四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量 Y 在1X 中等可能取一整数值。试求 ),( 分布律 . 解 ),( 分布律： X Y 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 2. 若甲袋中有 3 个黑球 2 个白球，乙袋中有 2 个黑球 8 个白球。现抛掷一枚均匀硬币，若出现正面则从甲袋中任取一球，若出现反面则从乙袋中任取一球，设 0 , 0 ,11反 面 向 上 取 到 白 球正 面 向 上 取 到 黑 球， ，求 :（ 1） ( , )联合分布律； （ 2）判断 X 与 Y 是否独立 . 解 （ 1） 1 8 4( 0 , 0 ) ( 0 ) ( 0 0 )2 1 0 1 0P X Y P X P Y X ， ( , )合分布律 ： X Y 0 1 0 4/10 2/10 1 1/10 3/10 （ 2） 4( 0 , 0 )10P X Y 1 3 3( 0 ) ( 0 ) 2 5 1 0P X P Y ， X 与 Y 不 独立 . 3. 将一枚均匀硬币抛掷三次，以 X 表示在 3 次中出现正面的次数，以 Y 表示在 3 次中出现正面的次数与出现反面次数之差的绝对值 . 求 :（ 1） ( , )联合分布律； （ 2）判断 X 与 Y 是否独立 . 解 ( 3 ) 2 3Y X X X ， Y 的取 值有 1 和 3. ( 0 , 0 ) ( 0 , 1 2 ) 0P X Y P X X X ， 1( 0 , 3 ) ( 0 , 0 3 ) ( 0 ) 8P X Y P X X X P X ， ( , )联合分布律 ： 16 X Y 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 （ 2） ( 0 , 1 ) 0P X Y 1 3 3( 0 ) ( 1 )8 4 3 2P X P Y ， X 与 Y 不 独立 。 4. 设二维随机变量 ),( 分布函数为 ( , ) ( a r c t a n ) ( a r c t a n )F x y A B x C y 求 :（ 1）常数 A 、 B 、 C ； （ 2） ),( 概率密度 ),( (3)边缘分布函数 ( ), ( )x F y. 解 (1) ( , ) ( ) ( ) 122( 0 , ) ( ) 02( , 0 ) ( ) 02F A B B B C ， 21/A , /2 , (2) 2 ( , ) ( , )F x y f x ，2 2 21( , ) ( 1 ) ( 1 )f x y , (3) 1( ) ( , ) ( a r c t a n ) ,2XF x F x x ( ) ( , )YF y F y 1 ( a r c t a n )2 y. 5. 设二维随机变量 的联合概率密度为 ( 6 ) , 0 2 , 2 40,k x y x 其 他求 :(1)常数 k ; (2)概率 1, 3P X Y; (3) 概率 4P X Y . 解 (1) 2402 ( 6 ) 1k d x x y d y 18k, (2) 130213 1 , 3 ( 6 )88P X Y d x x y d y 3/8, (3) 240212 4 ( 6 )83 Y d x x y d y . 17 6. 设二维随机变量 的联合概率密度 其它,00,0,),( )( 求：（ 1）随机变量 X 和 Y 的边缘概率密度 )( )( （ 2）概率 )( . 解 (1) ()0 ,0 ,00 , 00 , 0xy d y x , ()0 ,0 ,00 , 00 , 0xy d x y , (2) ()0( ) 0 . 5 Y d x e d y X, 的联合概率密度 其它,00,0,6),( )32( :（ 1）随机变量 X 和 Y 的边缘概率密度 )( )( （ 2） 随机变量 X 与 Y 独立是否独立？ 解 （ 1） ( 2 3 ) 20 6 , 0 20() 0 , 00 , 0xy d y x ， ( 2 3 ) 30 6 , 0 3 , 0() 0 , 00 , 0xy d x y ， （ 2） ( , ) ( ) ( )x y f x f y ， X 与 Y 独立 。 8. 设随机变量 的联合概率密度函数为 其他,00,),( y . 求 :(1)边缘密度函数 ）（），（ X ; (2)概率 ）（ 1 (3) 是否独立 ? 18 解 (1) ,0 ,00 , 00 , 0y e d y x , 0 ,0 ,00 , 00 , 0y y d x y y e (2) 1 1201x Y d x e d y （ ） = 1 1/ 212 , (3) ( , ) ( ) ( )x y f x f y ， 不独立 . 9. 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率（结果保留使三位小数 ） . 解 设 甲船到达的时刻是 X ， 乙船到达的时刻是 Y ，则 独立同分布均匀分布 (0,24)U ， 任何一艘都不需要等候码头空出 D ： 1 , 2X Y Y X ， 任何一艘都不需要等候码头空出的概率： 2222112 2 2 31 22( , ) 0 . 8 7 92 4 2 4 Y D d x d y 。 10. 一负责人到达办公室的时间均匀分布在 812 时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在 79 时，设他们两人到达的时间相互独立。求他们 到达办公室的时间相差不超过 5 分钟的概率 . 解 设 负责人到达办公室的时间 是 X ， 秘书到达办公室的时间 是 Y ，则 独立， ( 8 , 1 2 ) , ( 7 , 9 )X U Y U， 他们到达办公室的时间相差不超过 5 分钟 D ： 112 他们到达办公室的时间相差不超过 5 分钟的概率： 1 1 1 11 2 4 2 4 8 Y d x d y 。 11. 设随机变量 X U