《概率论与数理统计》课后习题答案1

1习题 1 . 1 解答1 . 将一 枚均匀 的硬币 抛两次 ，事件 , 分别 表示 “ 第一 次出现 正面 ” ， “ 两次出现 同一面 ” ， “ 至少 有一次 出现正 面 ” 。试 写出样 本空间 及事件 , 中的 样本点。解： = ( 正，正 ) ，（正，反），（反，正），（反，反） =A ( 正，正 ) ，（正，反） ； =B （正，正），（反，反） =C ( 正，正 ) ，（正，反），（反，正） 2 . 在掷 两颗骰 子的试 验中， 事件 , 分别 表示 “ 点数 之和为 偶数 ” ， “ 点数之和 小于 5 ” ， “ 点数 相等 ” ， “ 至少 有一颗 骰子的 点数为 3 ” 。试 写出样 本空间 及事件 + , 中的 样本点 。解： )6,6(,) ,2,6() ,1,6(,) ,6,2(,) ,2,2() ,1,2() ,6,1(,) ,2,1() ,1,1( = ； )1,3() ,2,2() ,3,1() ,1,1(=A B ； )1,2() ,2,1() ,6,6() ,4,6() ,2,6(,) ,5,1() ,3,1() ,1,1( =+ = )2,2() ,1,1(= )4,6() ,2,6() ,1,5() ,6,4() ,2,4() ,6,2() ,4,2() ,5,1(= 以 , 分别 表示某 城市居 民订阅 日报、 晚报和 体育报 。试用 , 表示 以下事件 ：（ 1 ）只 订阅日 报； （ 2 ）只 订日报 和晚报 ；（ 3 ）只 订一种 报； （ 4 ）正 好订两 种报；（ 5 ）至 少订阅 一种报 ； （ 6 ）不 订阅任 何报；（ 7 ）至 多订阅 一种报 ； （ 8 ）三 种报纸 都订阅 ；（ 9 ）三 种报纸 不全订 阅。解：（ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） + ；（ 4 ） + ; （ 5 ） + ；（ 6 ） （ 7 ） + 或 +（ 8 ） A （ 9 ） +4 . 甲、 乙、丙 三人各 射击一 次，事 件 321 , 别 表示甲 、乙、 丙射中 。试说 明下列 事件所 表示的 结果： 2A , 32 , 21 21 , 321 313221 + 未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。5 . 设事 件 , 满足 A 试 把下列 事件表 示为一 些互不 相容的 事件的 和：+ ， ， 如图：2A +=+=+=+=+;6 . 若事 件 , 满足 =+ ，试 问 是否 成立？ 举例说 明。解： 不一定成立。例如： 5,4,3=A ， 3=B ， 5,4=C ，那么， =+ ， 但 。7 . 对于 事件 , ，试 问 = )()( 是否 成立？ 举例说 明。解： 不一定成立。 例如： 5,4,3=A ， 6,5,4=B ， 7,6=C ，那么 3)( = 但是 7,6,3)( =+ 8 . 设 31)( = 21)( =试 就以下 三种情 况分别 求 )( （ 1 ） =A B ， （ 2 ） ， （ 3 ） 81)( =A 解：（ 1 ） 21)()()()( = A （ 2 ） 61)()()()( = （ 3 ） 838121)()()()( = A 9 . 已知 41)()()( = 161)()( = P ， 0)( =A 事 件, 全不 发生的 概率。( ) )(1)( +=+= )()()()()()()(1 A +83016116104141411 = +=1 0 . 每个 路口有 红、绿 、黄三 色指示 灯，假 设各色 灯的开 闭是等 可能的 。一个 人骑车经 过三个 路口， 试求下 列事件 的概率 ： =A “ 三个 都是红 灯 ” =“ 全红 ” ； =B“ 全绿 ” ； =C “ 全黄 ” ； =D “ 无红 ” ； =E “ 无绿 ” ； =F “ 三次 颜色相同 ” ； =G “ 颜色 全不相 同 ” ； =H “ 颜色 不全相 同 ” 。解：271333111)()()( = 278333222)()( = 91271271271)( =+=92333!3)( =98911)(1)( = 1 1 . 设一 批产品 共 1 0 0 件， 其中 9 8 件正 品， 2 件次 品，从 中任意 抽取 3 件（ 分三种情 况：一 次拿 3 件； 每次拿 1 件， 取后放 回拿 3 次； 每次拿 1 件， 取后不 放回拿 3次） ，试求 ：（ 1 ） 取出 的 3 件中 恰有 1 件是 次品的 概率；（ 2 ） 取出 的 3 件中 至少有 1 件是 次品的 概率。解：一次拿 3 件：（ 1 ） 01229 8 = （ 2 ） 019 82229 812 =+=每次拿一件，取后放回，拿 3 次：（ 1 ） 2 =P ； （ 2 ） 3 =P ；每次拿一件，取后不放回，拿 3 次：（ 1 ） 7982 = =P ；（ 2 ） 697981 = = . 从 9,2,1,0 中任 意选出 3 个不 同的数 字，试 求下列 事件的 概率： 501 与三个数字中不含=A ， 502 或三个数字中不含=A 。4解：157)(31 0381 = 15142)(31 038392 =15141)(31 0182 = . 从 9,2,1,0 中任 意选出 4 个不 同的数 字，计 算它们 能组成 一个 4 位偶 数的概率 。解： 904145 41 02839 = . 一个 宿舍中 住有 6 位同 学，计 算下列 事件的 概率：（ 1 ） 6 人中 至少有 1 人生 日在 1 0 月份 ；（ 2 ） 6 人中 恰有 4 人生 日在 1 0 月份 ；（ 3 ） 6 人中 恰有 4 人生 日在同 一月份 ；解：（ 1 ） 6 = P ； （ 2 ） 46 = （ 3 ） 16 24611 2 = . 从一 副扑克 牌（ 5 2 张） 任取 3 张（ 不重复 ），计 算取出 的 3 张牌 中至少 有 2张花 色相同 的概率 。解：13 921 31431 314 =+= 11 311 311 334 = . 2 解答1 . 假设 一批产 品中一 、二、 三等品 各占 6 0 %， 3 0 % 、 1 0 % ，从 中任取 一件， 结果不是三 等品， 求取到 的是一 等品的 概率。解：令 = 取到的是 i 等品 ” ， 3,2,1=)()()()(3133131 = 2 . 设 1 0 件产 品中有 4 件不 合格品 ，从中 任取 2 件， 已知所 取 2 件产 品中有 1 件不 合格品 ，求另 一件也 是不合 格品的 概率。解：令 =A “ 两件中至少有一件不合格 ” ， =B “ 两件都不合格 ”511)(1)()()()|(21 02621 024= 为了 防止意 外，在 矿内同 时装有 两种报 警系统 I 和 I I 。两 种报警 系统单 独使用时， 系统 I 和 I I 有效 的概率 分别 0 . 9 2 和 0 . 9 3 ，在 系统 I 失灵 的条件 下，系 统 I I 仍有 效的概 率为 0 . 8 5 ，求（ 1 ） 两种 报警系 统 I 和 I I 都有 效的概 率；（ 2 ） 系统 I I 失灵 而系统 I 有效 的概率 ；（ 3 ） 在系 统 I I 失灵 的条件 下，系 统 I 仍有 效的概 率。解： 令 =A “ 系统（ ）有效 ” ， =B “ 系统（ ）有效 ”则 (, = 1 ） )()()()( P =()()( = 2 ） )()()( = A 3 ） )()|( = 设 1)(0 0 ， )( 0 ，则 有（ 1 ） 当 A 与 B 独立 时， A 与 B 相容 ；（ 2 ） 当 A 与 B 不相 容时， A 与 B 不独 立。证明： 0)(,0)( 1 ）因为 A 与 B 独立，所以 0)()()( = A 与 B 相容。（ 2 ）因为 0)( =A 而 0)()( )()()( P ， A 与 B 不独立。7 . 已知 事件 , 相互 独立， 求证 与 C 也独 立。证明： 因为 A 、 B 、 C 相互独立， )() ( =)()()() ()()()()()()()()()()()()(P=+=+=+= 与 C 独立。8 . 甲、 乙、丙 三机床 独立工 作，在 同一段 时间内 它们不 需要工 人照顾 的概率 分别为 0 . 7 ， 0 . 8 和 0 . 9 ，求 在这段 时间内 ，最多 只有一 台机床 需要工 人照顾 的概率 。解：令 321 , 别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，那么 , 321 = 表示最多有一台机床需要工人照顾，7那么 )()( 321321321321 +=)()()( 321321321321=+=+= 如果 构成系 统的每 个元件 能正常 工作的 概率为 )10( ， 求常数 C 1!1= ， 而 1!0 = 1 0 = 即 1)1( = 设一 次试验 成功的 概率为 )10( 解： 2l n,21!0)0( 0 = 1()0(1)1(1)1( =+= l 12l =+=8. 设书 籍上每 页的印 刷错误 的个数 X 服从 P o i s s o n ( 泊松 ) 分布 。经统 计发现 在某本书 上，有 一个印 刷错误 与有两 个印刷 错误的 页数相 同，求 任意检 验 4 页， 每页上 都没有 印刷错 误的概 率。解： )2()1( = ， 即 2,!2!1 21 = = （842 )( = 在长 度为的 时间间 隔内， 某急救 中心收 到紧急 呼救的 次数服 从参数 为 的P o i s s o n 分布 ，而与 时间间 隔的起 点无关 （时间 以小时 计）， 求（ 1 ）某 一天从 中午 1 2 时至 下午 3 时没 有收到 紧急呼 救的概 率；（ 2 ）某 一天从 中午 1 2 时至 下午 5 时收 到 1 次紧 急呼救 的概率 ；9. 在长 度为 t 的时 间间隔 内，某 急救中 心收到 紧急呼 救的次 数 X 服从 参数为 2t 的P o i s s o n ( 泊松 ) 分布 ，而与 时间间 隔的起 点无关 （时间 以小时 计） . 求（ 1 ）某 一天从 中午 1 2 时至 下午 3 时没 有收到 紧急呼 救的概 率；（ 2 ）某 一天从 中午 1 2 时至 下午 5 时收 到 1 次紧 急呼救 的概率 ；13解：（ 1 ） 23)0(23,3 = （ 2 ） 251)0(1)1(25,5 = 1 0. 已知 X 的概 率分布 为：X - 2 - 1 0 1 2 3P 2 a 1 01 3 a a a 2 1 ） a ； （ 2 ） 12 = 概 率分布 。解：（ 1 ） 1231012 =+ 01= a 。（ 2 ） Y 1 0 3 8P 103 51 103 511 1. 设连 续型随 机变量 X 的概 率密度 曲线如 图 1 . 3 . 8 所示 （ 1 ） t 的值 ； （ 2 ） X 的概 率密度 ； （ 3 ） )22( 解： 令 1)( =+ 即 1s i = 即 2,0c = c i n)6( 2626= xx . 乘以 什么常 数将使 2 变成 概率密 度函数 ?解： 令 12 =+ + e 41)21( 2 =+ 41 =c = . 随机 变量 ),( 2其 概率密 度函数 为6 44261)( += + += 00,0,)( 2 （ 1 ） 的值 ； （ 2 ） )11( =0,00,2)()( 2 设 X 为连 续型随 机变量 ，其分 布函数 为+1)()( =当 0（ 3 ）)4( 解：（ 1 ） 4 )1(= 1(1)4 =+= （ 3 ） )4 14()4 14()4|( | +=+ )4 12(1)4 10( += 3(1)41( =+= 1 0 . 某科 统考成 绩 X 近似 服从正 态分布 )10,70( 2N ，第 1 0 0 名的 成绩为 6 0 分， 问第 2 0 名的 成绩约 为多少 分？解： 10020)60|( = )60( )()60( )60()()60|( = = XP