初三数学方案设计与决策专题总复习.docx

初三数学方案设计与决策专题总复习 本资料为 woRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 专题六 方案设计与决策 方案设计与决策在中考中是常见题型涉及代数方面 的有方程、不等式和函数两类；涉及几何方面的有测量、 包装等 考向一 利用方程或不等式进行方案设计 生活中许多实际问题需借助方程或不等式的求解，不 仅如此还需要对方程或不等式的解，进行有针对性的分析 作出方案设计与决策 【例 1】某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不 超过 3000 元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍， 已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为 832，且其 单价和为 130 元 请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？ 若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是 80 个，羽毛球拍的数量是篮球数量的 4 倍，且购买乒乓球拍 的数量不超过 15 副，请问有几种购买方案？ 分析：已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为 832，且其单价和为 130 元可以设它们的单价分别为 8x,3x,2x 元，列一元一次方程来解决；根据购买篮球、羽 毛球拍和乒乓球拍的总数量是 80 个，羽毛球拍的数量是篮 球数量的 4 倍，找出羽毛球拍和乒乓球拍与篮球的关系， 再根据购买乒乓球拍的数量不超过 15 副和不超过 3000 元 的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍这两个不等关 系列不等式组，求出篮球数量的范围，从而制定出方案 解：因为篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为 832，所以，可以依次设它们的单价分别为 8x,3x,2x 元，于是，得 8x3x2x130，解得 x10. 所以，篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为 80 元、 30 元和 20 元 设购买篮球的数量为 y 个，则购买羽毛球拍的数量为 4y 副，购买乒乓球拍的数量为副，根据题意，得 80y304y203000，80y4y15， 由不等式，得 y14，由不等式，得 y13. 于是，不等式组的解集为 13y14， 因为 y 取整数，所以 y 只能取 13 或 14. 因此，一共有两个方案： 方案一，当 y13 时，篮球购买 13 个，羽毛球拍购买 52 副，乒乓球拍购买 15 副； 方案二，当 y14 时，篮球购买 14 个，羽毛球拍购买 56 副，乒乓球拍购买 10 副 方法归纳 本类型题目主要特点有：当利用不等关系来确定取值 范围时，要结合不等式的取值范围来讨论； 当利用方程来确定取值范围时，往往利用解的整数性 来解答 需要说明的是利用方程或不等式进行方案设计常常可 借助一次函数的性质进行决策 考向二 利用二次函数进行方案设计 在商业活动或生产活动过程中常常遇到最优化问 题解决此类问题一般可借助二次函数以及二次函数的最 大值进行最优方案的选择或设计 【例 2】在“五个重庆”建设中，为了提高市民的宜居 环境，某区规划修建一个文化广场，其中四边形 ABcD 是矩 形，分别以 AB，Bc，cD，DA 边为直径向外作半圆，若整个 广场的周长为 628 米，设矩形的边长 ABy 米，Bcx 米 试用含 x 的代数式表示 y. 现计划在矩形 ABcD 区域上种植花草和铺设鹅卵石等， 平均每平方米造价为 428 元，在四个半圆的区域上种植草 坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为 400 元； 设该工程的总造价为 w 元，求 w 关于 x 的函数关系 式 若该工程政府投入 1 千万元，问能否完成该工程的 建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理 由 若该工程在政府投入 1 千万元的基础上，又增加企 业募捐资金 64.82 万元，但要求矩形的边 Bc 的长不超过 AB 长的三分之二，且建设广场恰好用完所有资金，问：能否 完成该工程的建设任务？若能，请列出所有可能的设计方 案，若不能，请说明理由 分析：根据圆周长列出关于 x，y 的等式；根据三个 区域的面积和价格标准，列出关于 x 的函数关系式；比 较二次函数的最小值与 1 千万的大小，给出判断；根据 “建设刚好把政府投入的 1 千万与企业募捐资金 64.82 万 元刚好用完”列出相应的一元二次方程，解出方程的根， 根据长宽的要求进行取舍 解：由题意得 yx628. 3.14，3.14y3.14x628. xy200.则 y200x. w428xy400y22400x22428x4003.1424 4003.14x24200x240000x12560000. 仅靠政府投入的 1 千万元不能完成该工程的建设任 务，其理由如下： 由知 wXX1.056107107， 所以不能 由题意，得 x23y，即 x23，解得 x80. 0x80. 又根据题意，得 wXX1.0561071076.482105. 整理，得 2441，解得 x179，x2121 只能取 x79，则 y20079121. 设计的方案是：AB 长为 121 米，Bc 长为 79 米，再 分别以各边为直径向外作半圆 方法归纳 利用二次函数解决方案设计问题一般地需要先建立二 次函数解析式，然后根据求二次函数最值的方法，即当 xb2a 时，y 有最大值 4acb24a 求得最值最后要结 合问题情境确定方案注意有时确定最值时，需要考虑要 在 x 的取值范围内 考向三 利用几何知识进行方案设计与决策 利用几何知识进行方案设计，不仅要有一定的几何作 图能力，而且要能熟练地运用几何的有关性质及全等、相 似、图形变换、方程及三角函数的有关知识，并注意充分 发挥分类讨论、类比归纳、猜想验证等数学思想方法的作 用 【例 3】某校数学研究性学习小组准备作测量旗杆的数 学实践活动，来到旗杆下，发现旗杆 AB 顶端 A 垂下一段绳 子 ABc 如图 1.经研究发现，原来制定的一系列测量方案， 在此都不需要如今只借助垂下的绳子和一根皮尺，在不 攀爬旗杆的情况下，测量相关数据，就可以计算出旗杆的 高度 图 1 请你给出具体的测量方案，并写出推算旗杆高度的过 程； 推测这个数学研究性学习小组原来制定的一系列测量 旗杆的方案是什么？ 分析：针对该问题所提供的情境知道：旗杆垂直于地 面；旗杆 AB 顶端 A 垂下一段绳子，即绳子比旗杆长出的部 分可度量因此可联系相关的数学知识利用勾股定理探讨 具体测量方案 解：测量方案设计如下： 测量绳子比旗杆多出的部分 Bcam； 把绳子 ABc 拉紧到地面 D 处如图 2，测量 B 到 D 的距 离 BDbm. 图 2 推算过程：设旗杆的高度为 xm，则 AD 是 m. 在直角ABD 中，根据 AB2BD2AD2 得 x2b22，x2b2x2a22ax，解得 xb2a22a. 这个数学研究性学习小组原来制定的测量旗杆的方案 可能有以下几个： 图 3 图 4 方法归纳 关于物体的测量是一个实际问题，因此必须考虑实际 环境，结合实际环境，充分运用所学知识制定方案，制定 方案时要遵循可操作性强、简单易行原则第 2 个问题的 测量方案还可有其他的，有兴趣的同学可自行进一步探 讨对于以上 2 种测量方案的相关计算方法，请同学们自 己给出 一、选择题 小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地 砖建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密辅 地面的，便向她推荐了几种形状的地砖你认为要使地面 密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是 2现有球迷 150 人欲同时租用 A，B，c 三种型号客车 去观看世界杯足球赛，其中 A，B，c 三种型号客车载客量 分别为 50 人，30 人，10 人，要求每辆车必须载满，其中 A 型客车最多租 2 辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案 有 A3 种 B4 种 c5 种 D6 种 二、填空题 3某班为筹备运动会，准备用 365 元购买两种运动服， 其中甲种运动服 20 元/套，乙种运动服 35 元/套，在钱都 用尽的条件下，有_种购买方案 4如图，点 A1，A2，A3，A4 是某市正方形道路网的 部分交汇点，且它们都位于同一对角线上某人从点 A1 出 发，规定向右或向下行走，那么到达点 A3 的走法共有 _ 三、解答题 5某楼盘一楼是车库，二楼至二十三楼均为商品 房商品房售价方案如下：第八层售价为 3000 元/米 2，从 第八层起每上升一层，每平方米的售价增加 40 元；反之， 楼层每下降一层，每平方米的售价减少 20 元已知商品房 每套面积均为 120 平方米开发商为购买者制定了两种购 房方案： 方案一：购买者先交纳首付金额，再办理分期付款 方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受 8%的优 惠，并免收五年物业管理费 请写出每平方米售价 y 与楼层 x 之间的函数解析式 小张已筹到 1XX0 元，若用方案一购房，他可以购买哪 些楼层的商品房呢？ 有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此 方案还不如不免收物业管理费而直接享受 9%的优惠划 算你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你 的看法 6一块洗衣肥皂长、宽、高分别是 16cm,6cm,3cm.一 箱肥皂 30 条，请你为雕牌肥皂厂设计一种符合下列要求的 包装箱，并使包装箱所用材料最少 肥皂装箱时，相同的面积要互相对接； 包装箱是一个长方形； 装入肥皂后不留空隙 7如图，飞机沿水平方向飞行，前方有一座高山，为 了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶 m 到飞行路线 AB 的 距离 mN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离，请设计一 个求距离 mN 的方案，要求： 指出需要测量的数据； 用测出的数据写出求距离 mN 的步骤 8知识背景：恩施来凤有一处野生古杨梅群落，其野 生杨梅是一种具有特殊价值的绿色食品在当地市场出售 时，基地要求“杨梅”用双层上盖的长方体纸箱封装 实际运用：如果要求纸箱的高为 0.5 米，底面是黄金 矩形，体积为 0.3 立方米 按方案 1 做一个纸箱，需要矩形硬纸板 A1B1c1D1 的 面积是多少平方米？ 小明认为，如果从节省材料的角度考虑，采用方案 2 的菱形硬纸板 A2B2c2D2 做一个纸箱比方案 1 更优，你认 为呢？请说明理由 拓展思维：北方一家水果商打算在基地购进一批“野 生杨梅” ，但他感觉中的纸箱体积太大，搬运吃力，要求将 纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，你 认为水果商的要求能办到吗？请利用函数图象验证 纸箱示意图 纸箱展开图 纸箱展开图 备用图形 参考答案 专题提升演练 B 正八边形的内角度数为 135，正三角形一个内 角度数为 60，设密铺时，一个接缝点周围有 m 块正八边 形，n 块正三角形，则有 135m60n360，通过试根，没 有满足条件的正整数 m，n 的值使方程成立，因此 A 选项错 误；依次类推，分别把 60换成 90，120，经过试根， 只有 90可以找到满足条件的正整数 m，n 的值使方程成立， 因此，选 B. 2B 因为 A 型车最多租用 2 辆，所以有两种情况， 租用 1 辆 A 型车或租用 2 辆 A 型车，设租用 B 型车 x 辆，c 型车 y 辆租用 1 辆 A 型车时，5030x10y150，其 正整数解为 x1，y7，x2，y4，x3，y1；租 用 2 辆 A 型车时，10030x10y150，其正整数解为 x1，y2. 综上所述，共有 4 种情况 32 设购买甲、乙两种运动服分别为 x 套和 y 套， 依题意，得 20x35y365， 整理，得 4x7y73. y734x711471. x，y 为正整数，x1 是 7 的倍数 734x7，x17k，解得 27k52， 整数 k1 或 2， x6，y7，或 x13，y3. 46 种 从点 A1 出发，先向下走有三种走法，先向右 走也有三种走法，共 6 种 5解：1当 2x8 时，每平方米的售价应为： 30002020x2840 2当 9x23 时，每平方米的售价应为： 30004040x2680 y20x2840，40x2680，x 为正整数 由知： 当 2x8 时，小张首付款为 12030%3636108000 元1XX0 元 28 层可任选 2当 9x23 时，小张首付款为 12030%36 元 361XX0，解得：x4931613. x 为正整数，9x16. 综上得：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一 层 若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为： y112092%60a 若按老王的想法则要交房款为： y212091% y1y2398460a， 当 y1y2 即 y1y20 时，解得 0a66.4，此时老 王想法正确； 当 y1y2 即 y1y20 时，解得 a66.4，此时老王 想法不正确 6解：方案一：以 163 的面相对连放三块构成底层， 再如此放 10 层，整个表面积为最小值 2616cm2； 方案二：以 163 的面相对连放五块构成底层，再如 此放 6 层，整个表面积仍为最小值 2616cm2. 7解：答案不唯一 如图，测出飞机在 A 处对山顶的俯角为 ，测出飞机 在 B 处对山顶的俯角为 ，测出 AB 的距离为 d，连接 Am，Bm. 第一步，在 RtAmN 中， tanmNAN，ANmNtan； 第二步，在 RtBmN 中， tanmNBN，BNmNtan； 其中 ANdBN，解得 mNdtantantantan. 8解：设这个纸箱底面的长为