北航大学数值分析计算实习报告

1 北 航大学 数值分析 计算实习报告 实习题目： 第一题 设有 501501 的实对称矩阵 A， 5011其中， 0 6 5 0 1,2,1(i n ()0 2 矩阵 A 的特征值为 )501,2,1( 并且有 |m , 501150121 ，501和s的值。 的与数40 15011 39,2,1( 的 (谱范数 )条件数 2)A(行列式 说明： 是要给出精度水平 的，都取 12 。 使矩阵 （ 1） 全部源程序； （ 2） 特征值 ）， 39,.,2,1(,以及 A(值。 且至少显示 12 位有效数字。 2 一、算法设计方案 1、求 1 ，501和s的值。 由于 |m ,501150121 ，可知绝对值最大特征值必为 1 和501其中之一，故可用幂法求出绝对值最大的特征值 ，如果 =0，则 1 = ，否则501= 。将矩阵 （ 1） 对 A 用幂法求出其绝对值最大的特征值 ，则 或501为 + 。 s为按模最小特征值， |5011 ，可对 2、求 5011 39,.,2,1( 计算 1)1,2,.,50=(- k ，其模值最小的值对应的特征值 k 与 k 最接近。因此对 )39,2,1 （I （ 2） 对 反幂法 求得其模最小的特征值 k ，则 k = k + k 。 3、求 谱范数 )条件数 2)(行列式 由矩阵 对称矩阵可得： |)( m a （ 3） 其中 为按模最大特征值， 为按模最小特征值，通过第一问我们求得 3 的 和s可以很容易求得 在进行反幂法求解时，要对 A 进行 解得到。因 L 为单位下三角阵，行列式为 1， U 为上三角阵，行列式为主对角线乘积，所以 A 的行列式等于 U 的行列式，为 二、 算法实现 1、 矩阵存储 原矩阵 A 为一个上、下半带宽都为 2 的 501 501 的带状矩阵，由于矩阵中的 0 元素太多，如果分配一个 501 501 的空间保存矩阵的话会浪费很多空间。因此，为了节省存储量， 值存储带内元素，如下 000000501500499321（ 4） 501 的矩阵，相比 数组 j1, 中的元素的带内元素 5） 2、 幂法 幂法迭代公式如下： 任取非零向量（ 6） 4 其中 断迭代当 |/| 1 k 。 在程序中计算1u 据 化如下： )499,3()2()1()()()1()2()()501()500()499()501()501()500()499()498()500()4()3()2()2(C)1()2()3()2()1(C)1(35013500323137） 3、反幂法 反幂法迭代公式如下： 任取非零向量（ 8） 当 k 1s 。 在求解1 kk 先对 A 进行 解，由于 A 是带状结构，所以分解出的 L、 用 （ 1）作分解 A=于 n,2,1k 执行： 5 ),m i n (,2,1/)(:),m i n (,1,:,11),1m a x (,1,1,1,11),1m a x (,1,1,1,1（ 9） 由 于 开始的，所以在程序中矩阵元素 。 （ 2） 求解 , （数组 b 先是存放原方程组右端向量，后来存放中间向量 y,在程序中 b和 y 都保存在数组 y501中。） )1,2,1(/)(/),3,2(,1),m i n(1,1,11),1m a x(,110） 求出他部分与幂法求解相同。 6 三、 结果分析 实验表明，本程序中，初始向量 , 对结果影响较大，合适的初始向量对得到正确的收敛结果比较重要，如表 1是不同初始向量的情况下的得到的部分结果。（实验结果截图见附录） 1501 迭代次数 501 迭代次数 11u 0 0 0370 8 0 9 8 1 0 8 5 0 0787 2 4 6 3 4 0 9 9 e 381 121 0 0 0 0 9 8 1 0 8 5 160 0 0 0787 2 4 6 3 4 0 9 9 e 381 14001 0 0 0962 0 8 5 5 3 1 5 9 0 0087 2 4 6 3 4 0 9 8 e 573 14611 0 0 0659 5 3 9 7 8 9 7 8 0 0407 2 4 6 3 4 0 9 8 e 592 14621 0 0 15 0 0 0 1 1 3 6 11- 0 0727 2 4 6 3 4 0 9 8 e 611 1462 u 0 0 15 0 0 0 1 1 3 6 11- 0 0727 2 4 6 3 4 0 9 8 e 611 1481 u 0 0 1 1 3 6 11- 0 0727 2 4 6 3 4 0 9 8 e 611 1501462 0 0 15 0 0 0 1 1 3 6 11- 0 0727 2 4 6 3 4 0 9 8 e 611 15011 0 0 15 0 0 0 1 1 3 6 11- 0 0727 2 4 6 3 4 0 9 8 e 611 2,1 0 0 15 0 0 0 1 1 3 6 11- e 343 0 0 0727 2 4 6 3 4 0 9 8 e 611 表 1 不同初始向量对应的 1 和501及其迭代次数 由表 1可以得到如下结论： 1. 不同的初始向量对本程序的 1 影响大，对 501 没有影响，都能保证收敛到正确值。 7 2. 初始向量中必须保证 501462 至少有一个为 1才能保证 1 收敛到正确值。 3. 初始向量非零值的多少和大小对迭代次数并没有明显影响。 4. 为解决初始向量对程序的影响，可以先对 。 四、 实验程序 #b=c=#b501,y501); x,y);/计算两个向量内积 p);/ a,b);/ 范数 y,u);/y u,y,a);/u p);/初始化初始向量 u a,u,(a,*I 5501);/初始化数组 C 5501,n,s,r);/进行 解 a,b);/取返回 a,b 最小值 a,b);/求最大值 5501,y501,u501,n,s,r); 5501,u,n,s,r, 5501);/求 A 的行列式 ;/特征值最大值 ;/模最大特征值 ;/A 的条件数 ;/最大值迭代次数 ; 8 0,0,0,0; ; u501=0;/,y501;/为 初值 ;/范数 5501 = 0; );/初始化 C i=0,*u); & 2,u,; 2, i=0; 最 小 特 征 值 为 ： %迭 代 次 数为： %dn, 最 大 特 征 值 为 ： %迭 代 次 数为： %dn, /*/ /*以下利用反幂法求解模最小的特征值 */ /*/ );/初始化 C u); ,501,2,2); ); & 9 ,u,501,2,2, 绝 对 值 最 小 特 征 值 为 ： %迭 代 次 数为： %dn, A 的行列式为： %, A 的条件数 )2 为： %n, /*/ /*以下利用反幂法求与数列 元素最相近的特征值 */ /*/ k39;/保存 值并保存与 Uki最接近的 39; &i=1; 迭代次数超长，请 更改初始向量 n); _ * i; _ 5501,u,n,s,r, y501 = 0,; b501 = 0;/储存 y 值的中间向量 i=0; ) +i; y,u); b,y);/保护 y 向量 ,y,u,501,2,2); y,b); y,u);/是否判断 否为 0？ )/(1/_;/(_(_;/if( 迭代次数超长，请更改初始向量 n); _ * i; 1/ 5501,y501,u501,n,s,r) 13 i,t; e; i = 2;i =1; e = 0; t = i+1;t=b) a; b; 15 附录：部分实验程序截图 1、 ,1,15011 16 2、