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XX 初中数学知识点总结 一.函数的相关概念： 1.变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量， 保持不变的量叫做常量。 注意：变量和常量往往是相对而言的，在不同研究过 程中，常量和变量的身份是可以相互转换的. 在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每 一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说 x 是自变量， y 是 x 的函数. 说明：函数体现的是一个变化的过程，在这一变化过 程中，要着重把握以下三点： (1)只能有两个变量. (2)一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化. (3)对于自变量的每一个确定的值，函数都有唯一的值 与之对应. 二.函数的表示方法和函数表达式的确定： 函数关系的表示方法有三种： 1解析法：两个变量之间的关系，有时可以用一个含 有这两个变量的等式表示，这种表示方法叫做解析法.用解 析法表示一个函数关系时，因变量 y 放在等式的左边，自 变量 y 的代数式放在右边，其实质是用 x 的代数式表示 y; 注意：解析法简单明了，能准确地反映整个变化过程 中自变量与因变量的关系，但不直观，且有的函数关系不 一定能用解析法表示出来. 2.列表法：把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值 列成一个表来表示函数关系的方法叫列表法; 注意：列表法优点是一目了然，使用方便，但其列出 的对应值是有限的，而且从表中不易看出自变量和函数之 间的对应规律。 3图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法. 图象法形象直观，是研究函数的一种很重要的方法。 三.函数(或自变量)值、函数自变量的取值范围 2.函数求值的几种形式： (1)当函数是用函数表达式表示时，示函数的值，就是 求代数式的值; (2)当已知函数值及表达式时，赌注相应自变量的值时， 其实质就是解方程; (3)当给定函数值的取值范围，求相应的自变量的取值 范围时，其实质就是解不等式(组)。 3函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量 的取值的全体.求自变量的取值范围通常从两个方面考虑： 一是要使函数的解析式有意义;二是符合客观实际.下面给 出一些简单函数解析式中自变量范围的确定方法. (1)当函数的解析式是整式时，自变量取任意实数(即 全体实数); (2)当函数的解析式是分式时，自变量取值是使分母不 为零的任意实数; (3)当函数的解析式是开平方的无理式时，自变量取值 是使被开方的式子为非负的实数; (4)当函数解析式中自变量出现在零次幂或负整数次幂 的底数中时，自变量取值是使底数不为零的实数。 说明:当函数表达式表示实际问题或几何问题时，自变 量取值范围除应使函数表达式有意义外，还必须符合实际 意义或几何意义。 在一个函数关系式中，如果同时有几种代数式时，函 数自变量取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公 共部分。 四.函数的图象 函数图象的意义 2.函数图象的画法 确定了函数解析式，要画出函数的图象。一般分为以 下三个步骤： (1)列表：取自变量的一些值，计算出对应的函数值， 由这一系列的对应值得到一系列的有序实数对; (2)描点：在直角坐标系中，描出这些有序实数对的对 应点; (3)连线：用平滑的曲线依次把这些点连起来，即可得 到这个函数的图象。 常见考法 (1)考查函数的概念; (2)求函数值或自变量的取值范围。 误区提醒 (1)忽略因变量的唯一性; (2)画函数图象时，忽略了实际问题的意义。 【典型例题】(XX 年广州中考数学模拟试题一)某游客 为爬上 3 千米高的山顶看日出，先用 1 小时爬了 2 千米， 休息小时后，用 1 小时爬上山顶。游客爬山所用时间 t 与 山高 h 间的函数关系用图形表示是( ) 【解析】本题意错选 A，要注意问题的实际意义，本题 正确答案是 D 不等式与不等式组 不等式：用符号 ，=， 号连接的式子叫不等式。 不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不 变。不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方 向不变。不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等 号方向相反。 不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫 做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组 成这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫做解不等 式。 一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未 知数，且未知数的最高次数是 1 的不等式叫一元一次不等 式。 一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元 一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。一 元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这 个一元一次不等式组的解集。求不等式组解集的过程， 叫做解不等式组。 一元一次不等式的符号方向： 在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的， 他是随着你加或乘的运算改变。 在不等式中，如果加上同一个数(或加上一个正数)， 不等式符号不改向;例如：AB,A+CB+C 在不等式中，如果减去同一个数(或加上一个负数)， 不等式符号不改向;例如：AB，A-CB-C 在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向;例 如：AB，A*CB*C(C0) 在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向;例如： AB，A*C 如果不等式乘以 0，那么不等号改为等号 所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中 是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以 的数就不等为 0，否则不等式不成立; 3、函数 变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的 数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 一次函数：若两个变量 X，Y 间的关系式可以表示成 Y=KX+B(B 为常数，K 不等于 0)的形式，则称 Y 是 X 的一次 函数。当 B=0 时，称 Y 是 X 的正比例函数。 一次函数的图象：把一个函数的自变量 X 与对应的 因变量 Y 的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标 系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数 的图象。正比例函数 Y=KX 的图象是经过原点的一条直线。 在一次函数中，当 K0，BO，则经 234 象限;当 K0，B0 时，则经 124 象限;当 K0，B0 时，则经 134 象限;当 K0，B0 时，则经 123 象限。当 K0 时， Y 的值随 X 值的增大而增大，当 X0 时，Y 的值随 X 值的 增大而减少。 空间与图形 A、图形的认识 1、点，线，面 点，线，面：图形是由点，线，面构成的。面与 面相交得线，线与线相交得点。点动成线，线动成面， 面动成体。 展开与折叠：在棱柱中，任何相邻的两个面的交线 叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长 相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方 体。N 棱柱就是底面图形有 N 条边的棱柱。 截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面 叫做截面。 视图：主视图，左视图，俯视图。 多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次 首尾相连组成的封闭图形。 弧、扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半 径所组成的图形叫扇形。圆可以分割成若干个扇形。 2、角 线：线段有两个端点。将线段向一个方向无限延 长就形成了射线。射线只有一个端点。将线段的两端无 限延长就形成了直线。直线没有端点。经过两点有且只 有一条直线。 比较长短：两点之间的所有连线中，线段最短。 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 角的度量与表示：角由两条具有公共端点的射线组 成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。一度的 1/60 是一分，一分的 1/60 是一秒。 角的比较：角也可以看成是由一条射线绕着他的端 点旋转而成的。一条射线绕着他的端点旋转，当终边和 始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转， 当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。从一个角的 顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条 射线叫做这个角的平分线。 平行：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 如果两条直线都与第 3 条直线平行，那么这两条直线互 相平行。 垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线 互相垂直。互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。平 面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂直平分线：垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分 线。 垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直 线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的， 垂直平分线是一条直线，所以在画垂直平分线的时候，确 定了 2 点后(关于画法，后面会讲)一定要把线段穿出 2 点。 垂直平分线定理： 性质定理：在垂直平分线上的点到该线段两端点的距 离相等; 判定定理：到线段 2 端点距离相等的点在这线段的垂 直平分线上 角平分线：把一个角平分的射线叫该角的角平分线。 定义中有几个要点要注意一下的，就是角的角平分线 是一条射线