高考函数与导数综合题的探究与教学构想

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 高考函数与导数综合题的探究与教 学构想 【摘要】函数与导数综合题的考 查要求紧紧扣住数学知识与数学学习的 本质，对函数与导数的教学应回归本源， 注重对基本初等函数的基本性质的研究， 即对函数的单调性、奇偶性、周期性、 函数的极值、函数的零点的研究，包括 对基本技能、基本思想方法、基本活动 经验的研究，提高发现问题、提出问题、 解决问题的能力.通过对函数与导数综合 题解法进行分析研究，可以看出，题目 的命制都有其高等数学的背景，更有教 材的痕迹在里面.所以，教师要充分发挥 自己的主观能动性，全过程地、详细地、 全方位地展示函数与导数问题求解的过 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 程，不可以去头去尾，烧中段.要回归基 础，回归教材. 中国论文网 /9/view-13003144.htm 【关键词】函数与导数；命题背 景；命题建构；命题解法 下面我以 2014 年全国课标卷 理科 21 题函数导数试题为例，通过分 析试题的解析过程.研究导数试题的命题 背景、命题建构和命题解法. 设函数 f（x）=aexlnx+bex-1x， 曲线 y=f（x）在点（ 1，f （1） ）处的切 线方程为 y=e（x-1 ）+2.（）求 a，b；（）证明： f（x ）1. 点评本题以曲线的切线为背景， 考查导数的几何意义，用导数研究函数 的单调性求函数的极值、最值以及证明 函数不等式.本题目设置两问，第一问是 基础题考查导数的几何意义，多数学生 可以求出 f（1）=2 ，f（ 1）=e 从而求 出 a=1，b=2.第二问看起来似乎不难， 实际操作出来比较困难.其实本问是考查 用导数研究函数不等式，背景丰富，有 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 难度和区分度，研究的空间很大，下面 我们探讨第二问. 解析（）由（）问知 a=1，b=2，f（x）=exlnx+2ex-1x，从而 要证明不等式 exlnx+2ex-1x1（x0） ， 等价于证明不等式 lnx+2ex1ex（x0）. 方法一令 g（x）=lnx+2ex- 1ex， （x0） ，下面证明 g（x）0 ，求 导得 g（x）=ex（ex-2 ）+ex2ex2ex，令 h（x）=ex（ex-2 ）+ex2（x0） ，则 h（x）=ex（ex+e-2 ）+2ex0 ， 故 h（x）在（0，+）上递增 . 又 h32e=94e-12e32e0，根据函数 零点定理知，h（x）在（0，+）上有 唯一零点 x0=32e，1，即 h（x0）=0， 即 ex0（ex0-2）+ex20=0 ， 当 00， （x） =ex2-（e+2） x+4ex30，x 32e，1，故 （x）在 32e，1 上递增， （x） 32e，ln32+13-2e90，故得证. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 评析方法一是处理函数与导数的 常见方法，即将所证明不等式证明问题 转化为另一个函数不等式成立问题，利 用函数的单调性和函数的零点定理（必 修 1）得到构造的新函数在定义域上的 最大值小于或等于零，或最小值大于等 于零，即得原函数不等式恒成立.这里有 时构造一个函数可能得不到所需要的不 等式成立，还需构造两个或三个函数方 可得到结论，有时可能对原函数求二次 或三次导数，判断所构造的函数的单调 性和极值、最值的符号、函数的零点， 才能得到要C 明的不等式 . 方法二利用不等式的基本性质先 进一步适当放缩后再构造函数不等式. 不等式 exlnx+2ex-1x1， （x0） 等价于 elnx+2x1ex-1（x0） ，我们利 用教材选修 2-2 第 32 页复习参考题 B 组第 1 题和第（3）和（4）题的结论： 即对 xR ，exx+1 和对 xR+，lnx1（x0） ，等价于 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 elnx+2x1ex-1（x0）.又因为 exx+1，ex-1x，当 x0 时，1ex- 11x，故只需要证明： elnx+2x1x（ x0） ， 令 g（x）=exlnx+1， （x0） ， g（x）=e（1+lnx） ，令 g（x）0 得 x=1e， 当 00，g（x）0. 函数 g（x）=exlnx+1， （x0） 的减区间为 0，1e ，增区间为 1e，+. （g（x） ） min=g1e=0， x0 ，elnx+1x0（当且 仅当 x=1e 时，不等式取等号）. 而对 x0，ex-1x （当且仅当 x=1 时，不等式取等号） ，又 1e1，当 x0 时， elnx+1x0 ，即 elnx+2x1x， elnx+2x1x1ex- 1，exlnx+2ex-1x1 成立 点评方法二根据教材习题上的恒 成立的函数不等式 exx+1，利用证明 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 不等式的基本方法放缩法，先将原 不等式进行等价转换，再进行放缩，可 以看出要证明原函数不等式，只要证明 不等式 elnx+1x0（x0 ） ，这里我们要 注意放缩时要整体放缩、局部放缩相结 合，不可放“ 过” ，即放“大”了或放“小” ， 而得不到不等式的证明. 分析问题的能力是学习数学的一 个最核心的能力，表面上看好像很具体， 其实很抽象，伴随学生完成他们的学习 全过程.所以教师要充分发挥自己的主观 能动性，全过程详细、全方位地展示函 数与导数问题求解的过程，不可以去头 去尾，烧中段.要回归基础，回归教材， 避免让学生和自己跳入“ 题海 ”.要精讲精 练