一元二次方程的几何应用附解析（中考数学知识点分类汇编）

一元二次方程的几何应用附解析（中考数学知识点分类汇编）一元二次方程的几何应用一、选择题1. （2018贵州安顺，T6，F3）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2 -7x+10 = 0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9【答案】A【解析】解x2 -7x+10 = 0，得x=2或5.已知在等腰三角形中，有两腰相等，且两边之和大于第三边，腰长为5，底边长为2.该等腰三角形的周长为5+5+2=12.【知识点】解一元二次方程，三角形两边的和大于第三边.二、填空题1. （2018湖北黄冈，12题，3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为_【答案】16【解析】解该方程得x1=3，x2=7，因为两边长为3和6，所以第三边x的范围为：6-3x6+3，即3x9，所以舍去x1=3，即三角形的第三边长为7，则三角形的周长为3+6+7=16【知识点】解一元二次方程，三角形三边关系2. （2018江西，12，3分）在正方形ABCD中，AB6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD2AP，则AP的长为_【答案】2，23，142【解析】PD2AP，设APx，则PD2x，当P在AD边上时，如解图，AD6，APPD6，x2x6即x2，AP2当P在DC上时，如解图在RtADP中，APPD，PD2AP， 第12题解图 第12题解图当P在BC边上时，如解图，DP最大为62，AP最小为6，PD2AP，当P在AB上时，如解图，在RtADP中，AP2AD2PD2，x262(2x)2，解得x123，x223(舍)，AP23； 第12题解图 第12题解图 第12题解图 第12题解图当P在AC对角线上时，如解图，在RtADC中，ACAB2BC262，AO12AC32，在RtPDO中，PO32x，PD2x，DOAO32，PD2PO2DO2，(2x)2(32)2(32x)2，解得x1142，x2142(舍)，AP142；当P在DB对角线上时，如解图，在RtAPO中，AP2AO2PO2，x2(2x32)2(32)2，整理得：x242x120，(42)24112160，方程无解，综上所述：AP2或23或142【知识点】正方形，一元二方程的解法，勾股定理3. （2018浙江省台州市，16，5分） 如图，在正方形 中， ，点 ， 分别在 ， 上， ， ， 相交于点 .若图中阴影部分的面积与正方形 的面积之比为 ，则 的周长为 【答案】 【思路分析】通过正方形的边长可以求出正方形的面积，根据“阴影部分的面积与正方形的面积之比为2:3”可以求出空白部分的面积；利用正方形的性质可以证明BCECDF，一是可以得到BCG是直角三角形，二是可以得到BCG的面积，进而求出 ；利用勾股定理可以求出 ，这样就可以求出 ，因而BCG的周长就可以表示出来了.【解题过程】在正方形ABCD中，AB=3， ， 阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3， 空白部分的面积与正方形ABCD的面积之比为1:3， ， 四边形ABCD是正方形， BC=CD，BCE=CDF=90 CE=DF, BCECDF(SAS) CBE=DCF,DCF+BCG=90,CBE+BCG=90,即BGC=90，BCG是直角三角形易知 ， ， ，根据勾股定理： ，即 ， ， BCG的周长=BG+CG+BC= 【知识点】正方形的性质，三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；一元二次方程的解法；三、解答题1. （2018浙江杭州，21，10分） 如图，在ABC中，ACB=90，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD。（1）若A=28，求ACD的度数；（2）设BC= ，AC= 线段AD的长度是方程 的一个根吗？说明理由；若AD=EC，求 的值。 【思路分析】（1）先求B,再根据等腰三角形知识求BCD，在用直角求出ACD；（2）根据勾股定理表示出AB，表再示出AD，根据一元二次方程的解表示出 的解进行对比；由AD=AE,则可得AD= ，从而可列方程求解出比值【解题过程】 【知识点】三角形内角和，等腰三角形角度计算，勾股定理，线段转换1. （2018湖北鄂州，20，8分）已知关于x的方程 （1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根；（2）若该方程的两实数根x1，x2为一菱形的两条对角线之长，且 ，求k值及该菱形的面积【思路分析】（1）只需证明根的判别式0，即可证得无论k为何值，原方程都有实数根；（2）利用韦达定理求出k值，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半就能求出该菱形的面积【解析】解：（1）证明：由题意可知，a1，b（3k3），c ，b24ac ， 0，0，无论k为何值，原方程都有实数根；（2）由根与系数的关系可知 ， ， ，化简得 ， ，解得k2或7，x1，x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x23k3，3k30，k7舍去，k2，该菱形的面积为 9【知识点】根与系数的关系；一元二次方程；根的判别式；菱形的性质；菱形的面积公式2. （2018湖北宜昌，21，8分）如图，在 中， . 以 为直径的半圆交 于点 ，交 于点 .延长 至点 ，使 ,连接 .(1)求证:四边形 是菱形；(2) 若 ，求半圆和菱形 的面积. (第21题图) 【思路分析】(1)先由 ，以及到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，得到 ，证明四边形 是平行四边形；再由一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明平行四边形 是菱形.(2) 设 ，则 ，连接 ，在RtBDA中， ,在RtBDA中， , ,从而建立方程，求出x的值，并求出BD的值，求出半圆和菱形 的面积.【解析】(1)证明： 为半圆的直径， , , ,又 ,四边形 是平行四边形.又 ,（或 ，）平