构造特殊三角形,巧解向量客观题

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 构造特殊三角形,巧解向量客观题 【摘要】平面向量解决三角形问 题可以让学生深刻体会到向量在几何中 的作用.本文就向量问题的解决方法几何 法、坐标法、基底法解决三角形问题做 以探讨. 中国论文网 /9/view-13003262.htm 【P 键词】构造；特殊三角形； 平面向量；客观题 平面向量的运算性质使其具有数 的属性、其可度量性又使其具有几何特 征，所以平面向量具有数形二象性，所 以它也在数与形之间作为一个“中间人” 的角色，起着桥梁作用.三角形是我们认 识过程中所接触到的第一个封闭图形， 并且其他平面图形都可看作是三角形的 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 衍生物，几何度量中的角度、长度、面 积等都可通过三角形来达到深刻认识， 三角形也就成了高中数学各板块知识的 战场，平面向量也不例外，用平面向量 解决三角形问题可以让学生深刻体会到 向量在几何中的作用，用平面向量来解 决三角形问题，在三角形问题中考查向 量的应用，也就成了高考试题中的常客. 向量问题的解决无非三种：几何 法、坐标法、基底法.而用坐标法解决向 量问题首先是要建立合适的平面直角坐 标系，坐标系建立的好坏决定运算的繁 与简，我们最好使得几何图形的顶点都 置于坐标轴上，这在一般的三角形中比 较难以办到，而客观题的问题特征使得 我们可以构造特殊图形来解答，我们可 以构造符合条件的等腰三角形、直角三 角形等特殊三角形，使得我们能更容易 建立坐标系，然后通过坐标解决向量问 题与几何问题.本文将就此做以探讨. 1.已知 P 为 ABC 所在平面上的 一点，且满足 AP=15AC+25AB，则 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 APB 的面积与 PAC 的面积之比为 . 解析本题若用常规方法，则需要 根据平行四边形法则找到点 P 的位置， 然后根据相似三角形分析出 B 点与 C 点到线段 AP 的距离之比，学生在解决 的过程中感觉很困难.但若是构造特殊三 角形：等腰直角三角形，就会简单很多. 如下述解法. 解构造如图的等腰直角三角形 ABC，并且令 AB=5，并建立如图的平 面直角坐标系，则 A（0，0） ， B（5， 0） ，C（0，5）.由 AP=15AC+25AB 可得 P（2，1） ，而 APB 的面积与 PAC 的面积之比为即为 P 点的纵坐标与横坐标之比，即为 12. 2.已知 P 是 AOB 所在平面上的 一点，向量 OA=a，OB=b，且 P 点在线 段 AB 的垂直平分线上，OP=c，若 |a|=2，|b|=1，则|c （a-b）|=. 解析构造如右图的 RtAOB，令 |OA|=2，|OB|=1，直线 l 为线段 AB 的 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 垂直平分线，取 P 点为 AB 的中点，并 建立如图所示的平面直角坐标系，则 A（2，0） ，B（0，1） ，P1，12，则 c=1，12，a-b= （2，-1） ，故|c （a- b）|=32. 3.在ABC 中，M 是 BC 的中点， AM=3，BC=10，则 AB AC=. 解析由 BM=5，AM=3，联想到 勾股数，令 AB=4，构建如右图的三角 形并建立平面直角坐标系，则 A（0，0） ，B（4，0） ，M（0，3） ，则 C（-4，6） ，故 AB AC=-16. 本题也可构造以 BC 为底边的等 腰三角形 ABC，然后建立平面直角坐 标系，则 C（5，0） ，B （-5，0） ， A（0，3） ，则 AB=（-5，-3） ， AC=（5，-3 ） ，所以 AB AC=-16. 但要注意不能构造以A 为直角 的直角三角形，此时不满足直角三角形 的性质：“直角三角形斜边上的中线是 斜边的一半” ，需提醒学生构造三角形 时，所构造的三角形必须要满足题目条 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 件. 4.已知ABC 中，角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c ，且满足 5a2=b2+c2，BE 与 CF 分别为边 AC，AB 的中线，则 BE 与 CF 夹角的 余弦值为. 解析如右图所示，构造等腰三角 形 ABC，令 a=2，b=c=10，并构建如右 图所示的平面直角坐标系，则 B（- 1，0） ， C （1，0） ，A（0，3） ，由此得 到 E12，32，F-12，32，所以 BE=32，32，CF=-32，32，故 BE CF=0. 所以 BE 与 CF 夹角的余弦值为 0. 评析：学生再用常规方法去做时 找不到思路，找不到突破口，显然构造 特殊三角形，将两条直线夹角问题转化 为