问题引路,培养学生的数学思维能力

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 问题引路,培养学生的数学思维能力 摘 要 数学源于生活，又高于 生活。新课程教学理念下的数学课堂应 该是贴近学生生活的。这就使得我们的 教学要让生活走进数学课堂，让数学课 堂更富有生活气息。教学中我们可以尝 试让学生观察身边的事物，再现学生熟 悉的生活背景，在教师的指导和帮助下 提炼现实生活情境，引导他们把所学的 数学知识应用到现实中去，培养学生的 应用意识和解决实际问题的能力，从中 感受生活与数学之间的联系，体会到数 学学习的有用、有趣及其价值。 中国论文网 /8/view-12902506.htm 关键词 数学思维 分马传说 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 问题的提出： 古阿拉伯民间流传着如下一则非 常有趣的传说：一个老牧民有十一匹马， 临终前对三个儿子说，我死后，你们按 老大得一半，老二得，老三得的比例把 马分掉。老人死后，三兄弟为分马一事 绞尽脑汁，想来想去也没有想出一个恰 当的方法。因为根据当时的教规，不准 把马杀了，只能整头分，而老人的遗嘱 又必须无条件服从。 后来三兄弟只好找娘舅帮忙了， 他们的娘舅不愧是位聪明人，思索之后 对他们说，这好办，把我家的一匹马添 加进去一起分配，于是老大得 6 匹，老 二得 3 匹，老三得 2 匹，还剩一匹物归 原主，由我带回去好了。 马是分完了，人们在钦佩娘舅聪 明之余有些疑惑： 娘舅的分配方案是否带有某种巧 合呢？ 另外老大分得 6 匹马，11 匹马的 一半又怎会是 6 呢？同样老二分得的 3 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 匹马，也不是 11 匹马的四分之一？老 三分得的 2 匹马，也不是 11 匹马的六 分之一啊？ 更加奇怪的是三人分得的马匹数 都比自己预期的要多啊！ 古希腊先哲亚里士多德说过:“思 维自疑问和惊奇开始。 ”学起于思 ,思起于 疑;小疑则小进,大疑则大进。疑是思维 的开端,是创造的基础,是产生求知欲望 和兴趣的源泉。在数学教学中,教师要善 于利用问题设疑来鼓励和激发学生独立 思考、积极探索,帮助他们点燃其智慧的 火花。同时青少年学生对事物也充满着 兴趣和好奇心,这也是开创思维的有利因 素,在课堂教学中,教师要善于设置疑问 来激发求知欲望,吸引学生寻根究底；同 时不断提出新问题, 并逐步深入到学科 知识的内核中去，通过这样不断的智能 的刺激与催发，使学生始终处于探索之 中,从而激发学生的思维与灵感,增加他 们的求知欲望和解决问题的办法。 下面，我们尝试用不同的方法与 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 策略给出问题的一个答案。 学生的解答： 方法策略一：小学生的解答 分数与整数观点 根据遗嘱，三兄弟分马时所获马 匹数之比为，化成整数比即为 6:3:2， 而 6+3+2=11。 所以老大分得 6 匹，老二分得 3 匹，老三分得 2 匹。 方法策略二：初中生的解答 代数与方程观点 思路 1：设老大、老二、老三所 得分别为 x、y、z 匹，则依题意： 解 得 x=6, y=3 , z=2 所以老大、老二、老三所获马匹 数分别为 6、3、2。 思路 2：设老大所得为 x 匹，则 老二、老三所得分别为，则依题意： 解得 x=6 所以老大、老二、老三所获马匹 数分别为 6、3、2。 显然思路 1 与思路 2 并没有本质 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 区别。 方法策略三：高中生的解答 极限观点 从极限的角度来看，分马的过程 是这样的： 按照遗嘱： 就是说老大分得匹，老二分得匹， 老三分得匹，通过第一次分配，这 11 匹马并没有一下子分完，还得进行再分 配，此时剩下的马匹为匹。 第二次分配时，老大分得匹，老 二分得匹，老三分得匹，此时剩下的马 匹为匹，剩下的马匹还得进行第三次分 配，如此等等，这个过程可以一直延续 到无穷，只是每次所剩越来越少罢了。 一般地第 n 次分配后，还剩匹马。 这样每人在每次分配后所得马匹数构成 三个不同的无穷递缩等比数列。 根据无穷递缩等比数列各项和公 式可得： 这一结果与娘舅分配的结果是 一致的，看来娘舅的确是个聪明人。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 我们的质疑： 马是分完了，但问题还没有解决， 娘舅的分配方案是不是有点巧合？假如 有 23 匹马呢？按照娘舅的分法，他带 一匹马来，老大分得 12 匹，老二分得 6 匹，老三分得 4 匹，三兄弟共分得 22 匹马，还剩一匹马怎样处理？ 利用上述等比数列求和方法结果 又如何呢？ 易求老大所得马匹数： 显然，这是不能把马分完的。 同样利用上述策略一、策略二也不能把 马分好！这就是说，本题是无解的。 看来，问题不是出在分法上，也 就是说，不在于娘舅是否带马来，或先 带几匹马来最后又牵几匹马回去。而在 于分配数值上，按遗嘱三兄弟所获马匹 数之比为 6:3:2，而 6+3+2=11，这个和 值能够被 11 整除，那么结果必然皆大 欢喜，又何须再带一匹马来，之后又牵 一匹马回去？如果遗嘱中分马数值之整 数比的和不能被 11 整除，那么娘舅再 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 聪明，结果也只能是一阵空忙。 新的数学课程标准指出： “学生的学习活动应当是一个生动活泼、 主动感悟和富有个性的过程，在探究活 动过程中，由于学生经验背景的差异， 他们对问题的理解常常有不同的表现。 这些都折射出每位学生不同的知识水平、 心理状态和思维能力。教师要认识到这 种差异就是宝贵的学习资源。教师可以 根据学生的回答，识别他们的想法，洞 察这些想法的由来。促进学生主动感悟 调整自己的理解，使各自的想法，思路 明晰化和外显化。在这一环节中不仅仅 是要提出问题，还要对学生的回答进行 恰当的评论。 相应的结论： 设 n 为老牧民的马匹数， 分别 为三兄弟每人所分得的分数，则上述问 题即为求不定方程： 的正整数解的问题。 一般地，对于正整数，若，且的 最小公倍数为，即(互质且为正整数)， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 又，则不定方程 存在正整数解。 显然此时整数解即为。 数学家解决的是未知问题，他们 的工作是发现与创造，是在做前人所没 有的事。数学教师解决的是已知问题， 他们的工作则是再发现与再创造，是帮 助和指导学生站在巨人的肩膀之上重复 前人的发现与创造。是新的数学课程 标准对数学教育工作者的最起码要求。 最后的说明： 分马传说有多个版本，有说故事 发生在古印度或波斯，有说是分牛、分 羊的，分的数目有说是 17 或 19 的等等。 传说中的娘舅是聪明的，在那样的时代 里，方程、代数、极限还没有在人们的 思想中有所体现，而娘舅能想到那样绝 妙的分马方案，说明娘舅智慧超凡。然 而故事流传到今天，我们发现各种不同 水平的学生，都可